利用勾股定理列方程解决问题
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利用勾股定列方程解决问题
勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
如图（1）即：a2+b2=c2
我们可以发现：直角三角形的三条，只要知道其中的两条的长，就可以用勾股定理去求第三条边的长。
但有时我们会遇到这样的问：如图（1）在直角三角形中，一条边a=3，另外两条边b+c=9，求b的长？
方法：遇到这样的问题，我们可以将勾股定理和方程集合起用，通常叫我们求哪一条边长，我们就设哪一条边长为x(即b=x)，则另一条边长可以用含有x的代数式来表示（即c=9－x），现在三条边都表示出来了，我们可以利用勾股定理列方程：32+x2=(9－x)2。
下面我们就列用这样的方法来解决两个例题：
例1、一张直角三角形的纸片，如图2所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若∠B=30°，AC=3，求DC的长。
分析：1、标已知,明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
（1）你能从中找到全等三角形吗？
（2）折叠后出现的相等的线段有哪些？
（3）折叠后出现的相等的角有哪些？
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。
解：由折叠可知，
△DEA≌△DEB，∠B=∠DAB=30°
在Rt△ABC中，∠C=90°
∴∠DAC=180°-∠B- ∠C -∠DAB =30°
在Rt△DCA中，∠DAC=30°
∴设DC=x，则DA=2x
在Rt△DAC中，根据勾股定理得
DC2＋CA2= DA2，即x2＋（3）2= (2x)2，
3x2=3，x2=1， EDCBA(B)图2 图（1） a
b c
∵x是正数 ∴x=1 ∴DC=1。
例2、如图3所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
分析：明确EC在Rt△EFC中，把重点放到Rt△EFC的三条边上，根据折叠可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。在Rt△ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在Rt△FEC中，可以设EC=x，则EF=8－x，根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，即x2＋42=（8－x）2。
解：由折叠可得，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得
68102222ABAFBF，
∴FC=BC-BF=4cm，
设EC=xcm，则EF=DC－EC=(8－x)cm，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC2＋FC2=EF2，
即x2＋42=（8－x）2，
x=3cm，
∴EC的长为3cm。
解题步骤归纳：
1、标已知，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
练习：1、如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上
F处，已知CE=3，AB=8，则BF=_________。
2、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AB上移动，则CP 的
最小值是___________。
EFDCBA图3
3、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形
DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当
正方形DEFH运动到什么位置，即当AE=__________米时，
有DC2=AE2+BC2。
答案：1、6 2、4.8 3、314
