华杯赛初二辅导第十讲高斯函数
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多练出技巧巧思出硕果
华杯赛初二辅导第十讲高斯函数
一、知识概要
1.定义：设xR，用x表示不超过x
的最大整数.则yx称为高斯函
数，也叫取整函数.显然，yx的定义域是R，值域是Z.任一实数都能写
成整数部分与非负纯小数之和，即01xxaa，因此，
xx1x
，这里，x
为x的整数部分，而xxx
为x的小数
部分.
2．性质
（1）函数yx
是一个分段表达的不减的无界函数，即当
12xx
时，有
12xx
；
（2）nxnx，其中nZ；
（3）11xxxx；
（4）若xyn，则,,xnaynb其中0,1ab；
（5）对于一切实数,xy有xyxy；
（6）若0,0xy，则xyxy；
（7）1x
x
x
（8）若nN
，则xx
nn；当1n时，xx；（x不是整数时）
（x是整数时）
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（9）若整数,ab适合abqr（0,,bqr是整数，0rb），则
a
q
b；
（10）x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有
x
n个；
（11）设p为任一素数，在!n中含p的最高乘方次数记为!pn，则有：
1
2!mm
mnnn
pnpnp
ppp．
证明：由于p是素数，所有!n中所含p的方次数等于!n的各个因数
1,2,,n所含p
的方次数之总和。由性质10可知，在1,2,,n中，有n
p
个p的倍数，有
2n
p个2
p
的倍数，有
3n
p个3
p
的倍数，，当
1mm
pnp
时，
120
mmnn
pp，所以命题成立．
高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散
的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应
用．
解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的
有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等
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等．
二、解题示例
例1若实数r使得192091
546
100100100rrr，求
100r
．
解：等式左边共73项，且因192091
,,,
100100100都小于1，则每一项为r或
1r
，注意到
737546738
，故必有7r
。进一步有：73735546
，所
以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：
5657
7;8.0.568,0.5787.437.44
100100rrrrr
例2，计算：100
123
101
nn
的值．
解：由题意得：对于任意的
231012323
1,2,,100,,
101101101nnn
nZ，
100
12310123101232323
1;22.22501100
101101101101101
nnnnnn
说明：本例采用了分组凑整的思想．
例3，对自然数n及一切实数x，求证：
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121n
xxxxnx
nnn．（厄尔密特等式）
证明：对任意的自然数n，构造函数
121n
fxnxxxxx
nnn，则：
1121
11n
fxnxxxxxfx
nnnn
，所以，函数fx为周期函数，其周期1
T
n，因此，原命题只需证0fx
在区间1
0,
n内成立即可。而这一结论显然是成立的．
例4对任意的nN
，
证明：1414243nnnnn．
证明：首先证明41143nn．令411xn，则
2
41xn．
当2xmmZ
时，22
441xmn，于是2
1mn，那么
22
44443xmnn；
当21xmmZ
时，22
44141xmmn，2
mmn即
2
1mmn，那么22
414543xmmnn
．
所以命题成立，也就是：
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41414243411nnnnn．故：
414243nnn．
又：2
2
121221241nnnnnnnn
2
2
1212212143nnnnnnnn
41143nnnn
1414243nnnnn
注：本例的证明采用了“两边夹”法则．
例5，解方程56157
85xx
．
解：令157
5x
nnZ，则57
15n
x，带入原方程整理得：
1039
40n
n，由高斯函数的定义有1039
01
40n
n
，解得：
113
3010n，则0,1nn．
若0n，则7
15x；若1n，则4
5x．
注：本例中方程为uv
型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换
元法求解．
例6，解方程11
42xx
．
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解：由高斯函数的性质，得：11
11
42xx
，即17x，令
1111
,
42xx
yy
，在同一坐标系中画出二者的图象：
分析两者在区间1,7内的图象，
显然，当1,1x时，1
0
4x
而1
1
2x
，方程不成立；
当1,3x时，11
0
42xx
；
当3,5x时，11
1
42xx
；
当5,7x时，1
1
4x
而1
2
2x
，方程不成立．
综上所述，原方程的解是：15xx
．
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注：本例为uv型方程。首先由11uv，求出x的取值区间。但
此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用ufx
和
vgx
的图象进行分析才能得到正确结果．
例7解方程3
33xx
．
解：对于次数较高的含x的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。
若1x，则3
331210.xxxxx
原方程不成立；
若10x
，则333
331311xxxx
。原方程不成立；
若01x，则333
33033.xxxx
原方程不成立；
若12x，则33
331.xxx
原方程即为3
34x；解得：
34
3x
；
若2x，则33
33324.xxxxxxx
原方程不成立；
所以，原方程的解为：34
3xx。
例8 证明：若p是大于2的质数，则1
252p
p
被p整除．
证明：本例采用“构造法”．
由二项式定理知：对于任意的,2525pp
pZ
是一个整
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数，又因为
1251,252525pppp
，于是有：
1
1224421
22522252525p
p
pppp
pppCCC,其
中p是质数。因为
121
2,4,,1
!k
pppppk
Ckp
k都能被质数p整
除，所以原命题成立．
三、巩固练习
1．如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1]
= -4，[3
]=1，则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________．
2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（）．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设[x]表示不超过x的最大整数，若M=][,][xNx，其中x≥1，
则一定有（）．
A．M>N B．M=N C．M
4．给出下面三个命题：
（1）[x + 1] = [x] + 1;（2）[x + y] = [x] + [y]（3）[x·y] = [x] ·[y]．
其中正确命题的个数是（）．
A．0 B．3 C．1 D．2
5．[x]表示取数x的整数部分，若)
4][
4][
(uxux
y且当x = 1,8,11,14
时，y = 1；x = 2,5,12,15时，y=2；x = 3,5,9,16时，y=3；x = 4,7,10,13时，
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y=0，则表达式中u等于（）．
A．
42x
B．
41x
C．
4x
D．
41x
6．实数a,b满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（）
A．大于9而小于10 B．大于或等于9而小于10
C．大于9而小于或等于10 D．整数
7．设x表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（）
A．[x] = |x| B．[x]≥2
x
C．[x]>-x D．[x] > x – 1
8．记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且
222
]1)1([)1(nnnnI
．
A．I>0 B．I<0
C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现．
9．设x≥0，求证：][]][[xx
10．记[a]为不大于a的最大整数，{a} = a – [a]，求证：如果{x} + {y} = 1，
则[x + y] = [x] + [y] + 1．
11．如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[-5] = -5，[-2,3]
= -3，[3
]=1，设x、y满足方程
16]2[32][2
yxyx
则[x+y]=__________．
12．若x = 29 + 173
,则2
x- x[x]=________．
13．已知方程[1
43
x]=x – 3，那么满足方程的x是__________．
14．方程2
x- 8[x] + 7 = 0的所有解的平方和等于_____________．
15．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x + 1] = 2x -
21
的所有根的和
是____________．
16．方程1}{][][][23
xxxx
的解是_____________．
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![高斯函数[x]及其应用](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/83f8f671561252d380eb6e29.webp)