chap4.34.4罗朗Laurent级数

第五章
解析函数的洛朗（Laurent） 展式与孤立奇点
1、解析函数的Laurent展式 2、孤立奇点
§5.1 洛朗(Laurent)级数

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

4. 展开式的唯一性
由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0<R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<z - z0<R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 1 在z 0, z 1都不解析, 但在 例如，f ( z ) z(1 z )
皮埃尔· 阿方斯· 洛朗[1] （Pierre Alphonse Laurent1813年7月18日—1854年9月2日）法 国数学家，因发现洛朗级数而著名，洛朗级 数是对函数的无穷幂级数展开，它是泰勒级 数的推广。为获取法国科学院大奖，洛朗在 1843年提交了一篇研究报告，在此报告中洛 朗级数首次出现。但是他提交的研究错过了 最后期限，因此他的研究成果没有被发表、 获奖。1854年9月2日年仅41岁的洛朗在巴黎 去世。
1. 预备知识
Cauchy 积分公式推广到复连通域
设f ( z )在D : R1 z z0 R2内 解析 .作圆周：k1 : z z0 r , k 2 : z z 0 R , 且r R , k1、k 2 D, D1：r z z0 R，
R2 R r
D
R1
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n (1)
其中z0及cn (n 0,1,2,)都是常数 ---双边幂级数

1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域---见第三章第18：、且作圆周：解析在设D D k k R z z k k R D z f ⊂=−≤121021,,:.:)(有，对1D z ∈∀ζπf iz f k ∫=221)(2. 双边幂级数定义形如)(00 +++=−+∞−∞=∑n nnc c z z c 正幂项(包括常数项))(00+=−∑∞=n nnc z z c 及其中1,0(0±=n c z n 负幂项部分：)(110=−−∞=−−∑n nnc z z c3. 函数展开成双边幂级数定理()()(21:)5()()(:)(010001的任何一条简单闭曲线内绕是其中在设z D c n d z f i c z z cz f R z z R D z f k n n n nn=−=−=<−<∫∑+∞+−∞=ζζζπ在称为R z z R D z f 201:)(<−<内的在称为R z z R D z f 201:)(<−<4. 展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是的洛朗级数。

事实上，)()(:)(01∑∞+−∞=−=<n nz z az f R D z f 可表示为在设∑∞+−∞=−=n nnz af )()(0ζζcz D c ∈∀ζ的简单闭曲线，内任何一条绕为设。

ez 例1 在 0 < z < ∞ 内, 将 f ( z ) = 2 展成Laurent级数 . z 解 由已知函数 ez 的展开式
z2 z3 z4 ez = 1 + z + + + + 2! 3! 4! 可以直接得到 ez 1 z2 z3 z4 = 2 1 + z + + + + 2 2! 3! 4! z z
=
=
1 2π i
1 2π i
∫
C2
f (ξ ) 1 dξ 2π i ξ z
f (ξ ) 1 dξ + ξ z 2π i
C1
∫
f (ξ ) dξ ξ z
∫
C1
f (ξ ) dξ ξ z
∫
C2
∫
C1
f (ξ ) dξ zξ
(3.6)
= I 2 + I1
10
上连续, 若 f (ξ )在正向圆周 C 2 : ξ z0 = R1上连续,则对 该圆内一点z有 该圆内一点 有 +∞ f (ξ ) f (ξ ) dξ = ∑ ( ∫ d ξ )( z z 0 ) n ∫ ξz (ξ z 0 ) n + 1 n=0 C C
从数学研究的角度, 从数学研究的角度,应该可以取具有负幂的 f n (z ) :
∞
c n ( z z 0 ) n ∑
n =1
2
∞
先考虑级数
c0 + c1 ( z z0 )1 + c2 ( z z0 )2 + + ck ( z z0 )k + (3.1)
是复常数. 其中 z 0 , c 0 , c 1 , , c k , 是复常数. 1 的幂级数, 级数 (3.1) 可以看作是变量 的幂级数,设 z z0 该幂级数的收敛半径为R, 该幂级数的收敛半径为 , 1 | z z0 |> 时,级数 (1) (1)如果0 < R < +∞ ,那么当 R 1 (3.1)绝对收敛;当 | z z0 |< 时,级数 (3.1)发散; 绝对收敛; 发散; R (2)如果 R = +∞ ,那么级数 (3.1) 在 | z z0 |> 0 绝对收敛; 绝对收敛; (3)如果 R = 0,那么级数 (3.1)在复平面上每点 均发散. 均发散. 3

2、 Laurent 级数复变量的复值函数()()(),,f z u x y i v x y =+，f z ∈⊂C D ，（1） 全纯性（解析性） ——()f z 在0f z ∈D的邻域0z z R -<中解析，可展开成Tayler 级数()()()()000!n nn f z f z z z n +∞==-∑；且在收敛圆周0z z R-=上，至少存在一个点~z，使得级数()()~000!n nn f z z zn +∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散.（2） 亚纯性 ——()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，在邻域00z z R <-<中解析，()f z 可展开成Laurent 级数()()()()10nnnnnnn n n f z z z z z z z ααα+∞-+∞=-∞=-∞==-=-+-∑∑∑主要部分解析部分，其中()()112n n C f dz i z ρςαπς+=-⎰，0,1,2,n =±± ，0:C z z ρρ-=，0R ρ<<.（3）()f z 的孤立奇点的分类 —— 设()f z 以0f z ∈D为孤立奇点，① 可去奇点： 若 ()00lim z z f z α→=，则0z称为可去奇点；② 极点： 若存在一正整数0m >，使得 ()()00lim 0mm z zz z f z α-→-=≠，则称0z 为m 级极点；③ 本性奇点： 若Laurent 级数中含有无穷多0z z -负幂次项，则称0z 为本性奇点.（4） 将()f z 在其孤立奇点的邻域内展开成Laurent 级数补充例1 将函数()()()112f z z z =--分别在圆1z <、12z <<、2z <<+∞中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑.解 函数()()()112f z z z =--在1z =、2z =分母为零，是()f z 的不连续点（显然()f z也不会在这些点解析，因此是()f z 的孤立奇点），不能在它们的任何邻域中展开，于是，只能分别考虑三个圆周.① 在圆1z < 中 ——()()()112f z z z =--解析，因此展开成幂级数. 故()()()11111112121212f z z z z z z ==-=-------1000111222nnn n n n n z z z +∞+∞+∞+===⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，1z <；② 在环12z << 中 ——由1121,12z z z<<⇔<<，故()()()112f z z z =--在此环中可展开成 1z 的Laurent 级数，()()()1111111112122112f z z z z z z z z ==-+=--------110001111222nn n n n n n n z z z z z+∞+∞+∞++===⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，12z <<；注意：使用公式011nn z z +∞==-∑，只能在圆1z <中！③ 在区域2z <<+∞ 中 ——由 1122z z <<+∞⇔<、 1111212z z z z<<<<+∞⇔<<<，故 ()()()112f z z z =-- 在此区域中可展开成 1z 的Laurent 级数，故()()()111111112121211f z z z z z z z z z==-+=-+------1000111221nnn n n n n z z z z z+∞+∞+∞+===-⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，2z <<+∞.补充例2 将函数 ()1ze f z z =-（1） 分别在圆1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑；（2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 函数()1ze f z z=- 在 1z <解析，故可展开成幂级数；在环1z >中可展开成Laurent 级数； 在1z =时，1z <的分母为零，是()f z 的不连续点；故在 011z <-< 应展开成()1z -幂次的Laurent 级数.（1） ① 在圆1z <中 ——(){}221111!2!!z nn e z z zf z z z z z n ⎧⎫==++++++++++⎨⎬-⎩⎭()12110n n n n a b a b a b +∞-==+++∑ ， 1z <，（作Cauchy 乘积）；② 在1z >中 ——注意到，在1z >中，函数ze解析，故仍展开成幂级数；函数11z- 则只能考虑11z<，故 ()2111111!2!!1z ne z z zf z z z n z⎧⎫-==+++++⎨⎬-⎩⎭-221111111!2!!n n z zz z z z z n ⎧⎫-⎧⎫=++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2231111111!2!!n n z zz z z z z n +⎧⎫⎧⎫=-++++++++++⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭1z >，作Cauchy 乘积，即为()f z 在1z >的、z 幂次的Laurent 级数；（2） 在环011z <-<中展开成()1z -幂次的Laurent 级数，由111z <<+∞-，故()()1111111z z z e e f z e e z z z -+--===⋅⋅---()()()()2311111111!2!3!!n n z z z e z z n ⎧⎫-----⎪⎪=++-++-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭ ()()()211111111!2!3!!n z z z e z n -⎧⎫---⎪⎪=-++++++⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，011z <-< .补充例3 将函数()sin 1z f z z =-（1） 在圆 1z <、1z >中展开成级数()n n n f z z α+∞=-∞=∑； （2） 在环011z <-<中展开成级数()()1nnn f z z α+∞=-∞=-∑.解 （1） 函数()sin 1zf z z=- 在1z <解析，故可展开成幂级数；在1z >中可展开成Laurent 级数.① 在圆1z < 中 ——()3511sin 113!15!1z z z z f z z z z z ⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭35111000113!5!n n n n n n z z z +∞+∞+∞+++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ()()21101121!k kn n z k ++∞+=⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∑ ，1z <；② 在1z > 中 ——由111z z>⇔<，故展开成Laurent级数()1sin sin11z f z z z==--- ()()3211111111113!21!k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----++--+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 1z >；（2） 在环 011z <-< 中展开成 ()1z -的Laurent 级数()111sin sin sin sin 11111z z z f z z z z z -+⎛⎫==-=-=-+ ⎪----⎝⎭()()32111111111113!121!1k k z z k z +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 011z <-< .Taylor 级数、 Laurent 级数的通项较难归纳，因此很多问题要求写出前几项的表 示式就够了.补充习题1、 求函数()()21ze f z z z =+在01z <<中的Laurent 展开式. 2、 求函数()()()4111f z z z =--在1z <与1z <中的Laurent 展开式. 3、 求函数1ze 在0z <<+∞中的Laurent 展开式. 4、 求函数()2ln 1zf z z =-（在解析分支ln10=中）在011z <-<与011z <+< 中的Laurent 展开式.二、 Fourier 变换1、Fourier 变换的定义2、Fourier 变换的分析性质3、用Fourier 级数与Fourier 变换解微分方程三、 方阵1、方阵的对角化方法2、方阵的正交化方法3、二次型的标准化4、应用（四个）补充例题配方法、初等变换法例 将二次型()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++通过配方法化为标准型.解 （1） 配方法 由()222123123121323,,3422f x x x x x x x x x x x x =+++++()2221121323234232x x x x x x x x x =+++++()222221232323232324432x x x x x x x x x x x =++---+++()22212323232322x x x x x x x =++-+-()22222123223333211232393x x x x x x x x x ⎛⎫=++-++++ ⎪⎝⎭ ()2222212323331123233x x x x x x x ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭， 令 112322333213y x x x y x x y x =++⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，于是，()2221231237,,33f x x x y y y =-+；也可再令11233322323z x x xzz x⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，就可化为()222123123,,f x x x y y y=+-.（2）初等变换法将相应的矩阵121211113A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦经过初等变换化为对角型，但是变换方阵要另外求.2332213132121121121121 211031012012 113012031005L L L LL LL LA↔---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→--−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2212332112555121100100010010010005005001 L L L L L L-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故()222123123,,f x x x y y y=-+.寄语：做一个高尚的人 —— 有道德、有素质，有益社会；知识的人 —— 有科学思维、有智慧技能，服务人民； 阳光的人 —— 身心健康、光明磊落、豁达乐观。