专题三 立体几何专题
【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上,着重考查空间
点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算.既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解,考查画图、识图、用图的能力;解答题一般以简单几何体为载体,考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及空间几何量的求解问题,综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对空间想象能力考查的同时,关注对平行、垂直关系的探究,关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究.
【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视
图、直观图,表面积体积的计算,空间点、直线、平面的位置关系判断与证明,(理科)空间向量在平行、垂直关系证明中的应用,空间向量在计算空间角中的应用等.
【例题解析】
题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算
例1(2008高考海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 A . 22
B . 32
C . 4
D . 52
分析:想像投影方式,将问题归结到一个具体的空间几何体中解决.
解析:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算,如图设长方体的高宽高分别为
,,m n k =1n ?=,
a =
b =,所以22(1)(1)6a b -+-=
228a b ?+=,
22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号.
点评:本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个,我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影,使问题获得了圆满的解决.
例2 (2008高考山东卷、2009年福建省理科数学高考样卷第3题)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
A.9πB.10πC.11πD.12π
分析:想像、还原这个空间几何体的构成,利用有关的计算公式解答.
解析:这个空间几何体是由球和圆柱组成的,圆柱的底面半径是1,母线长是3,球的半径是1,故其表面积是22
213214112
ππππ
??+??+?=,答案D.
点评:由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则.例3(江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题)已知一个正三棱锥P ABC
-的主视图如图所示,若
3
2
AC BC
==,
6
PC=_________.
分析:正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥,根据这个主试
图知道,主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱,并且和底面三角形的一条边垂直,这样就知道了这个三棱锥的各个棱长.
解析:这个正三棱锥的底面边长是3,故底面正三角形的中心到一个顶点的
距离是
233=3=,由此知道这个
正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形,故其全面积是2
43=答案 点评:由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题,对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向,这是三视图问题的核心. 题型2 空间点、线、面位置关系的判断
例4(江苏苏州市2009届高三教学调研测试7)已知n m ,是两条不同的直线,βα,为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若βα⊥⊥n m ,,m n ⊥,则βα⊥; ②若n m n m ⊥,//,//βα,则βα//; ③若n m n m ⊥⊥,//,βα,则βα//; ④若βαβα//,//,n m ⊥,则n m ⊥.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)_______________. 分析:根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断.
解析:我们借助于长方体模型解决.①中过直线,m n 作平面γ,可以得到平面,αβ所成的二面角为直二面角,如图(1),故βα⊥①正确;②的反例如图(2);③的反例如图(3);④中由,m ααβ⊥P 可得m β⊥,过n 作平面γ可得n 与交线g 平行,由于
m g ⊥,故m n ⊥.答案①④.
点评:新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型,本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的,在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的.
例5(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题)设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是
A .若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ
B .若//,//,//,m n αβαβ则//m n
C .若,//,//m n αβαβ⊥,则m n ⊥
D .若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 分析:借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断. 解析:对于//αβ,结合,//,m n αβ⊥则可推得m n ⊥.答案C . 点评:从上面几个例子可以看出,这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异,但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的,主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度.
题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算(文科解答题的主要题型) 例6.(2009江苏泰州期末16)如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、
F 分别为1DD 、DB 的
中点.
(1)求证:EF //平面11ABC D ; (2)求证:1EF B C ⊥; (3)求三棱锥EFC B V -1的体积.
分析:第一问就是找平行线,最明显的就是1EF BD P ;第二问转化为线面垂直进行证明;第三问采用三棱锥的等积变换解决. 解析:(1)连结1BD ,如图,在B DD 1?中,
E 、
F 分别为1D D ,DB 的中点,则
111111////EF D B
D B ABC D EF EF ABC D ?
?
??????
平面平面平面11ABC D .
(2)
11111111111111
111,//B C AB
B C BC B C BD B C ABC D EF B C
AB B C ABC D EF BD BD ABC D AB BC B ⊥?
?⊥⊥⊥??????⊥??????
???=?
I 平面平面平面
(3)CF ⊥Q 平面11BDD B ,1CF EFB ∴⊥平面且2CF BF ==,
11
32
EF BD ==Q ,222211(2)26B F BF BB =+=+=,
222211111(22)3
B E B D D E =+=+=
∴2
2
2
11EF B F B E += 即190EFB ∠=o
,
11113B EFC C B EF B EF V V S CF --?∴==??=11132EF B F CF ????=11
3621
32
????=
.
点评:这个题目也属于文科解答题的传统题型.空间线面位置关系证明的基本思想是转化,根据线面平行、垂直关系的判定和性质,进行相互之间的转化,如本题第二问是证明线线垂直,但问题不能只局限在线上,要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上,通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的,但证明线面垂直又得借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目的.立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形,可以通过“换顶点”实行等体积变换,这也是求点面距离的基本方法之一. 例7.(江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题)在四棱锥P ABCD -中,
90ABC ACD ∠=∠=o ,60BAC CAD ∠=∠=o ,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中
点,22PA AB ==.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积V ;
(2)若F 为PC 的中点,求证PC ⊥平面AEF ; (3)求证CE ∥平面PAB .
分析:第一问只要求出底面积和高即可;第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明;第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决,也可以通过
证明面面平行解决,即通过证明直线CE 所在的一个平面和平面PAB 的平行解决. 解析:(1)在ABC ?Rt 中,1,60AB BAC =∠=o
,∴3BC =2AC =.
在ACD Rt Δ中,2,60AC ACD =∠=o
,∴23,4CD AD ==.
∴1122ABCD S AB BC AC CD =
?+?115132233222
=??? 则155
323323
V =
(2)∵PA CA =,F 为PC 的中点,∴AF PC ⊥.
∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA CD ⊥,∵AC CD ⊥,PA AC A =I ,∴CD ⊥平面
PAC ,∴CD PC ⊥.
∵E 为PD 中点,F 为PC 中点,∴EF ∥CD ,则EF CD ⊥,∵AF EF F =I ,∴PC ⊥平面AEF .
(3)证法一:
取AD 中点M ,连,EM CM .则EM ∥PA ,∵EM ?平面PAB ,PA
?平面
PAB ,
∴EM ∥平面PAB .
在ACD ?Rt 中,60CAD ∠=o
,2AC AM ==,∴60ACM ∠=o
.而60BAC ∠=o
,∴MC ∥AB .
∵MC ?平面PAB ,AB ?平面PAB , ∴MC ∥平面PAB .
∵EM MC M =I ,∴平面EMC ∥平面PAB . ∵EC
?平面EMC ,∴EC ∥平面PAB .
证法二:延长,DC AB ,设它们交于点N , 连PN .∵60NAC DAC ∠=∠=o
,AC CD ⊥,
∴C 为ND 的中点. ∵E 为PD 中点,∴EC ∥PN . ∵EC ?平面PAB , PN ?平面PAB , ∴EC ∥平面PAB .
点评:新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有 了诸多的变化.一个方面增加了空间几何体的三视图、 表面积和体积计算,拓展了命题空间;另一方面删除了 三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念 与性质、球的性质与球面距离,删除了空间向量,这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁,由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积
的计算、空间线面位置关系的证明(主要是平行与垂直).
题型4 空间向量在立体几何中的应用(理科立体几何解答题的主要题型)
例8.(2009年福建省理科数学高考样卷第18题)如图,在棱长为2的正方体
1111ABCD A B C D -中,E F 、分别为11A D 和1CC 的中点.
(1)求证:EF ∥平面1ACD ;
(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值;
(3)在棱1BB 上是否存在一点P ,使得二面角P AC P --的大小为30o
?若存在,求出
BP 的长;若不存在,请说明理由.
【解析】解法一:如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,
由已知得()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()12,2,2B 、()10,0,2D ()1,0,2E 、
、()0,2,1F . (1)取1AD 中点G ,则()1,0,1G ,
()1,2,1CG =-u u u r ,又()1,2,1EF =--u u u r
,
由EF CG =-u u u r u u u r ,
∴EF u u u r 与CG u u u
r 共线.从而EF ∥CG ,
∵CG ?平面1ACD , EF ?平面1ACD ,∴EF ∥平面1ACD .
(2)∵()0,2,0AB =u u u r
,
cos ,||||EF AB EF AB EF AB ?===
?u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为
3
6
. (3)假设满足条件的点P 存在,可设点()2,2,P t (02t <≤),平面ACP 的一个法向
量为(),,n x y z =r
,
则0,
0.
n AC n AP ??=???=??r u u u r
r u u u r
∵()0,2,AP t =u u u r ()2,2,0AC =-u u u r ,∴220,20,x y y tz -+=??+=? 取2(1,1,)n t
=-r .
易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =u u u r
,
依题意知, 1,30BB n =o u u u r r 或150o
,
∴14||cos ,BB N -=
=
u u u r u u r
,即22434
(2)4t t
=+
,解得t =
∵
(0,2]3∈,∴在棱1BB 上存在一点P ,当BP
的长为3
二面角P AC B --的大小为30o
. 解法二:
(1)同解法一知()1,2,1EF =--u u u r ,()12,0,2AD =-u u u u r , ()2,2,0AC =-u u u r
,
∴112
EF AC AD =-u u u r u u u r u u u u r
,∴EF u u u r 、AC u u u r 、1AD u u u u r 共面.又∵EF ?平面1ACD ,∴EF ∥
平面1ACD . (2)、(3)同解法一.
解法三:易知平面1ACD 的一个法向量是()12,2,2DB =u u u u r .又∵()1,2,1EF =--u u u r
,由
10EF DB ?=u u u r u u u u r
·
, ∴1EF DB ⊥u u u r u u u u r
,而EF ?平面1ACD ,∴EF ∥平面1ACD .
(2)、(3)同解法一.
点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力.利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种,一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线,二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论;三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.
例9(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题)已知几何体A BCED -的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值; (2)求二面角A ED B --的正弦值; (3)求此几何体的体积V 的大小.
【解析】(1)取EC 的中点是F ,连结BF ,则BF DE P ,∴FBA ∠或其补角即为异面直线
DE 与AB 所成的角.在BAF ?中,42AB =,
25BF AF ==10cos ABF ∠=
. ∴异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为
105
. (2)AC ⊥平面BCE ,过C 作CG DE ⊥交DE 于G ,连结AG . 可得DE ⊥平面ACG ,从而AG DE ⊥, ∴AGC ∠为二面角A ED B --的平面角. 在ACG ?Rt 中,90ACG ∠=o
,4AC =,
855CG =
∴5
tan 2
AGC ∠=. ∴5
sin AGC ∠=
. ∴二面角A ED B --5 (3)1
163
BCED V S AC =
??=,∴几何体的体积V 为16. 方法二:(坐标法)(1)以C 为原点,
以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则()4,0,0A ,(0,4,0)B ,(0,4,2)D ,()0,0,4E ,
(0,4,2),(4,4,0)DE AB =-=-u u u r u u u r
,
∴10
cos ,DE AB <>=u u u r u u u r
∴异面直线DE 与AB 10 (2)平面BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA =u u u r
, 设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r
,
,,n AD n DE ⊥⊥r u u u r r u u u r (4,4,2),(0,4,2)AD DE =-=-u u u r u u u r
∴0,0n AD n DE ==r u u u r r u u u r
g g
从而4420,420x y z y z -++=-+=,
令1y =,则(2,1,2)n =r , 2
cos ,3
CA n <>=u u u r r
∴二面角A ED B --的的正弦值为3
. (3)1
163
BCED V S AC =
??=,∴几何体的体积V 为16. 点评:本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法.空间向量对解决三类角(异面直线角、线面角、面面角)的计算有一定的优势.对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外,不要忽视了传统的方法,有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量.
【专题训练与高考预测】
说明:文科以选择题、填空题和解答题前三题为主.理科以选择题、填空题和解答题后三题为主. 一、选择题
1.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ( )
A . 6π
B . 184π
C . 18π+
D . 32π+
2.某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的体积是 ( )
A .323+
B .233+
C .2233-
D . 3223-
3.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则
此几何体的外接球的表面积为 ( ) A .
π34
B .π38
C .π3
16
D .π3
32
4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45o
,腰和上底长均为1的等腰梯
形,则这个平面图形的面积是 ( )
A .2221+
B .2
21+
C .21+
D .22+
5. 一个盛满水的三棱锥容器S ABC -,不久发现三条侧棱上各有一个小洞,,D E F ,且知
:::2:1SD DA SE EB CF FS ===,若仍用这个容器盛水,则最多可盛原来水的( ) A .2923 B .2719 C .3130 D .27
23
6. 点P 在直径为2的球面上,过P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的
2倍,则这三条弦长之和为最大值是
( )
A .
270 B .370 C .415
D .
615
7.正方体''''ABCD A B C D -中,AB 的中点为M ,'DD 的中点为N ,异面直线'B M 与CN
所成的角是 ( )
A .30o
B .90o
C .45o
D .60o
8.已知异面直线a 和b 所成的角为50o
,P 为空间一定点,则过点P 且与,a b 所成角都是30o
的直线有且仅有 ( ) A . 1条 B . 2条 C . 3条 D . 4条 9.如图所示,四边形ABCD 中,//,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=∠=o
o
,将
△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,构成三棱锥A BCD -,则在三棱锥
A BCD -中,下列命题正确的是
( ) A .平面ABD ⊥平面ABC B .平面ADC ⊥平面BDC
C .平面ABC ⊥平面BDC
D .平面ADC ⊥平面ABC
10.设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:① x 、y 、z 均为直线;
② x 、y 是直线,z 是平面;③ z 是直线,x 、y 是平面;④ x 、y 、z 均为平面. 其中使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题的是 ( ) A . ③ ④ B . ① ③
C . ② ③
D . ① ②
11.已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面α、β,有下列命题
①若//,m n n α?,则//m α;
②若l α⊥,m β⊥且l m P ,则αβP ; ③若,m m αα??,,m n ββP P ,则αβP ; ④若αβ⊥,m αβ=I ,n β?,n m ⊥,则n α⊥. 中正确的命题个数是 ( )
A .1
B . 2
C .3
D .4
12.直线AB 与直二面角l αβ--的两个面分别交于,A B 两点,且,A B 都不在棱上,设直
线AB 与平面,αβ所成的角分别为,θ?,则θ?+的取值范围是 ( )
A .(0,)2π
B .0,2π??
???
C .(,)2
ππ D .{}2
π
二、填空题
13. 在三棱锥P ABC -中,2PA PB PC ===,30APB BPC CPA ∠=∠=∠=o
,一只
蚂蚁从A 点出发沿三棱锥的侧面绕一周,再回到A 点,则蚂蚁经过的最短路程是 .
14.四面体的一条棱长为x ,其它各棱长为1,若把四面体的体积V 表示成x 的函数()f x ,
则()f x 的增区间为 ,减区间为 .
15. 如图,是正方体平面展开图,在这个正方体中:① BM 与ED 平行; ② CN 与
BE 是异面直线;
③CN 与BM 成60o
角; ④DM 与BN 垂直. 以上四个说法中,正确说法的序号依次是 .
16. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是11A B 的中点,则直线AE 与平面
11ABC D 所成的角的正弦值是 .
三、解答题
17.已知,如图是一个空间几何体的三视图. (1)该空间几何体是如何构成的; (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积.
18.如图,已知等腰直角三角形RBC ,其中90RBC ∠=o
,2==BC RB .点,A D 分别是
RB ,RC 的中点,现将RAD ?沿着边AD 折起到PAD ?位置,使PA AB ⊥,连结PB 、
PC .
(1)求证:BC PB ⊥;
(2)求二面角P CD A --的平面角的余弦值.
19.如下图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,11
2
AA AB =
,点,E M 分别为11,A B CC 的中点,过点1,,A B M 三点的平面1A BMN 交11C D 于点N .
(1)求证:EM P 平面1111A B C D ; (2)求二面角11B A N B --的正切值;
(3)设截面1A BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为12,V V (12V V <),求
12:V V 的值.
20. 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面为直角梯形,//,90AD BC BAD ?
∠=,PA 垂
直于底面ABCD ,N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点. (1)求证:DM PB ⊥;(2)求BD 与平面ADMN 所成的角;(3)求截面ADMN 的
面积.
21.如图,正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直,M 是CE 和AD 的交点,BC AC ⊥,
且BC AC =.
(1)求证:⊥AM 平面EBC ;
(2)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小; (3)求二面角C EB A --的大小.
22.已知斜三棱柱111ABC A B C -,90BCA ∠=o
,2AC BC ==,1A 在底面ABC 上的射
影恰为AC 的中点D ,又知11BA AC ⊥.
(1)求证:1AC ⊥平面1A BC ; (2)求1CC 到平面1A AB 的距离; (3)求二面角1A A B C --的一个三角函数值.
【参考答案】
1.解析:C 该几何体是正三棱柱上叠放一个球.故其表面积为
2
231323224182342ππ??
??+??+?=+ ???
.
2.解析:B 这个空间几何体的是一个底面边长为33
部分是一个底面边长为
3的正方形、高为2的四棱锥
,故其体积为
1
3333323323
??+???=+.
3.解析:C 由三视图知该几何体是底面半径为1,高为3的圆锥,其外接球的直径为
43
3
. 4.解析:D 如图设直观图为''''O A B C ,建立如图所示的坐标系,按照斜二测画法的规则,
在原来的平面图形中OC OA ⊥,且2OC =,1BC =,2
12122
OA =+?=+,故其面积为
()
1
1222222
?++?=+
5.解析:D 当平面EFD 处于水平位置时,容器盛水最多
21
21sin 3
1sin 3131
31h ASB SB SA h DSE SE SD h S h S V V SAB SDE SAB C SDE F ?∠????∠???=??=∴??--274
31323221=??=??=h h SB SE SA SD
最多可盛原来水得423
12727
-=
.
6.解析:A 设三边长为,2,x x y ,则2254x y +=,
令442cos ,2sin ,33cos 2sin 70555
x y x y θθθθ=
=∴+=+≤. 7.解析:B 如图,取'AA 的中点P ,连结BP ,在正方形''ABB A 中易证'BP B M ⊥.
8.解析:B 过点P 作a a 'P ,b b 'P ,若P a ∈,则取a 为a ',若P b ∈,则取b 为b '.这时
a ',
b '相交于P 点,它们的两组对顶角分别为50o 和130o
. 记a ',b '所确定的平面为α,
那么在平面α内,不存在与a ',b '都成30o 的直线. 过点P 与a ',b '都成30o
角的直
线必在平面α外,这直线在平面α的射影是a ',b '所成对顶角的平分线.
其中射影是50o
对顶角平分线的直线有两条l 和l ',射影是130o
对顶角平分线的直线不存在.故答案选B .
9.解析:D 如图,在平面图形中CD BD ⊥,折起后仍然这样,由于平面ABD ⊥平面BCD ,
故CD ⊥平面ABD ,CD AB ⊥,又AB AD ⊥,故AB ⊥平面ADC ,所以平面ADC ⊥平面ABC .
10.解析:C x 、y 、z 均为直线,显然不行;由于垂直于同一个平面的两条直线平行,故
②,可以使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题;又由于垂直于同一条直线的两个平面平行,故③可以使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题;当x 、y 、z 均为平面时,也不能使“x ⊥z 且y ⊥z ?x ∥y ”为真命题. 11.解析:B ①中有m α?的可能;l m P 且l α⊥,可得m α⊥,又m β⊥,故αβP ,
②正确;③中当m n P 时,结论不成立;④就是面面垂直的性质定理,④正确.故两个
正确的.
12.解析:B 如图,在Rt
ADC
?中,cos,sin
AD AB AC AB
θ?
==,而AD AC
>,即
cos sin cos
2
π
θ??
??
>=-
?
??
,故
2
π
θ?
<-,即
2
π
θ?
+<,而当AB l
⊥时,
2
π
θ?
+=.13.解析:22将如图⑴三棱锥P ABC
-,沿棱PA展开得图⑵,蚂蚁经过的最短路程应是A
A',又∵30
APB BPC CPA
∠=∠=∠=o,'90
APA
∠=o,∴A
A'=2
2.14.解析:
6
0,
??
?
??
,??
?
?
?
?
?
3
2
6
,2
()3
4
x
f x x
=-,利用不等式或导数即可判断.
15.解析:③④如图,逐个判断即可.
16
10
取CD的中点F,连接EF交平面11
ABC D于O,连AO.由已知正方体,
易知EO⊥平面
11
ABC D,所以EAO
∠为所求.在EOA
?
Rt中,
1
112
22
EO EF A D
==
l立体几何知识点整理(文科)l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系:一.αl 1. 线面平行 方法二:用面面平行实现。l//l //αl符号表示: 2. 线面相交βl lαAα方法三:用平面法向量实现。符号表示:
n 为平若面线在面内3. 的一个法向量,ln n l ll //且。,则l αα符号表示: 二.平行关系:线线平行:1.方法一:用线面平行实现。3. 面面平行:l mβl //l方法一:用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二:用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二:用线面平行实现。 方法三:用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。,则l l , m且相交mβ方法四:用向量方法:m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合,则α 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。1/11
l C A方法三:用向量方法: Bα l m l m ,则的数量积为和向量若向量0。三.垂直关系:
夹角问题。三.线面垂直:1.异面直线所成的角:一)(方法一:用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围:(1) ACl ABl 求法:(2)P n l ABAC A方法一:定义法。AθO AC, ABα:平移,使它们相交,找到夹角。步骤1 方法二:用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2:解三角形求出角。( 余弦定理:βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直:2.方法二:向量法。转化为向量 方法一:用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl:)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二:计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直:3. 上任取一点(1) 定义:直线l ,作(交点除外)P方法一:用线面垂直实现。 内,则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影,m
一、选择题 1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( ) 2 3 + 为 ( ) C 、120; 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 ( ) A 、34; B 、312a ; C 、24 a ; D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 ( ) A 、在y 轴上的截距是6; B 、在x 轴上的截距是6; C 、在x 轴上的截距是3; D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//,则直线a 与直线b 的位置关系是 ( ) A 、平行; B 、相交或异面; C 、异面; D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 的值为A 、12-; B 、12 ; C 、2-; D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为60,则四边形EFGH 的面积为 ( ) A 2; B 2a ; C 2; D 2。 8、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点, 则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A .30° B .45° C .90° D . 60° 9、下列叙述中错误的是 ( ) A 、若P αβ∈且l αβ=,则P l ∈; B 、三点,,A B C 确定一个平面; C 、若直线a b A =,则直线a 与b 能够确定一个平面; 图(1) 1 A
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α?。 10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( ) A 、两条平行直线; B 、一点和一条直线; C 、两条相交直线; D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A 、25π; B 、50π; C 、125π; D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形,则圆柱的体积为 ; 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径.. 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 15、过点(1 16、已知,a b (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α?//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//; M
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的 底面侧棱 关系: 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和;【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②(了解)长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是,,,那么
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222 coscoscos1, 222 sinsinsin2; ③(了解)长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,,, 1 则 222 coscoscos2, 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式:S ch 直棱柱侧 直棱柱全底,V棱柱底 Sch2SSh (其中c为底面周长,h 为棱柱的高)1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式: S圆柱侧=2rh;S 圆柱全= 2 2rh2r,V 圆柱=S底h= 2 rh(其中r为底面半径,h为圆柱高) 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质:底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
高中数学《立体几何》练习题 1.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2.设,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中正确的是 ( ) A .若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥ B .若//,,m n m n αβ⊥⊥,则//αβ C .若//,,//m n m n αβ⊥,则α⊥β D .若//,,//m n m n αβ⊥,则//αβ 3.如图,棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为线段B A 1上的动点,则下列结论错误.. 的是 A .P D DC 11⊥ B .平面⊥P A D 11平面AP A 1 C .1AP D ∠的最大值为090 D .1PD AP +的最小值为22+ 4.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为______m 3. 5.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 . 6.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是____________
7.如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,,且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ,若仍用这个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的 . 8.如图,四边形ABCD 为正方形,QA ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB = 12 PD. (1)证明:PQ ⊥平面DCQ ; (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值.[来 9.如图所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形,ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=. (1)求证://BCF AED 平面平面. (2)若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10.在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PD 底面⊥,1=AB ,2=BC ,3=PD ,F G 、分别为CD AP 、的中点. (1) 求证:PC AD ⊥; (2) 求证://FG 平面BCP ; S F C B A D E
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使''' x O y ∠=450(或1350 ),注意它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式: h S V ?=柱体;h S V ?=31锥体; ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积:
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
立体几何知识点整理(文科) 一. 直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 l 符号表示: 2. 线面相交 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二:用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 方法四:用向量方法: 若向量l和向量m共线且l、 m不重合,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三:用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量,l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二:用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三:用向量方法: 若向量l 和向量m 的数量积为0,则m l ⊥。 三. 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围:]90,0(?? (2)求法: 方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求: ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲: 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( ) A . 6π B .3 π C .32π D .65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A .π2 B .π2 3 C .π332 D .π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. (1)求V (x )的表达式; (2)当x 为何值时,V (x )取得最大值? (3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 (二)基础训练: 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度0 75东经0120,则甲、乙两地球面距离为( ) (A )3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
必修2空间立体几何大题 一.解答题(共18小题) 1.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面V AB⊥平面ABC,△V AB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,V A的中点. (1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面V AB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积. 2.如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P﹣ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值. 3.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 4.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点, (Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F﹣AEC的体积.
5.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1. 6.如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4, 点F在线段AB上,且EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长. 7.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1, (Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证;AC⊥平面PDO; (Ⅱ)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值; 8.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG ,
高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨>直棱 柱]一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: I、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; n、两底面是全等多边形且互相平行; 川、平行于底面的截面和底面全等;
2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch ( c 是底周长,h 是咼) S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2) 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶 点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比; n >正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S 正棱椎 (c 为底周长,h'为斜高) 2 1 体积:V 棱椎-Sh ( S 为底面积,h 为高) 3 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ,且 1 2 PA AD DC === ,1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ)证明:面PAD ⊥面PCD ; (Ⅱ)求AC 与PB 所成的角; (Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M (Ⅰ)证明:因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上,故面PAD ⊥面PCD (Ⅱ)解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 (Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ,则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角
面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结(文科) 一.平行问题 (一) 线线平行: 方法一:常用初中方法(1中位线定理;2平行四边形定理;3三角形中对应边成比例;4同位角、内错角、同旁内角) 方法二:1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三:2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四:3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,,则m l //。 (二) 线面平行: 方法一:4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二:5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? (三) 面面平行:6方法一:线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二:7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l , 方法三:8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二.垂直问题:(一)线线垂直 方法一:常用初中的方法(1勾股定理的逆定理;2三线合一 ;3直径所对的圆周角为直角;4菱形的对角线互相垂直。) 方法二:9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα (二)线面垂直:10方法一:线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二:11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , (面) 面面垂直: 方法一:12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题:异面直线所成的角: (一) 范围:]90,0(?? (二)求法:方法一:定义法。 步骤1:平移,使它们相交,找到夹角。 步骤2:解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角:直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法:就是放到三角形中解三角形 四、距离问题:点到面的距离求法 1、直接求, 2、等体积法(换顶点)
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异 面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一:两条异面直线间的距离 【例1】 如图,在空间四边形ABCD 中,AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ,E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证:EF 是AB 和CD 的公垂线; (2)求AB 和CD 间的距离; 【规解答】 (1)证明:连结AF ,BF ,由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ,所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中,BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12,即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段,所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1,求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ,连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ,则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法: (1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度. (2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离. (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面,可以转化为求两平行平面的距离. 题型二:两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1,求:A 到平面BCD 的距离; 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ,连BO 并延长与CD 相交于E ,连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD =BC =CD , ∴O 是△BCD 的中心,∴BO = 3 2BE =332332= ?. 例1题图 例2题图 例3题图
立体几何大题练习(文科): 1.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,侧面SAD⊥底面ABCD. (1)求证:平面SBD⊥平面SAD; (2)若∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为,求侧面△SAB的面积. 【分析】(1)由梯形ABCD,设BC=a,则CD=a,AB=2a,运用勾股定理和余弦定理,可得AD,由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD,运用面面垂直的判定定理即可得证; (2)运用面面垂直的性质定理,以及三棱锥的体积公式,求得BC=1,运用勾股定理和余弦定理,可得SA,SB,运用三角形的面积公式,即可得到所求值.【解答】(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,BC=CD=, 设BC=a,则CD=a,AB=2a,在直角三角形BCD中,∠BCD=90°, 可得BD=a,∠CBD=45°,∠ABD=45°, 由余弦定理可得AD==a, 则BD⊥AD, 由面SAD⊥底面ABCD.可得BD⊥平面SAD, 又BD?平面SBD,可得平面SBD⊥平面SAD; (2)解:∠SDA=120°,且三棱锥S﹣BCD的体积为, 由AD=SD=a, 在△SAD中,可得SA=2SDsin60°=a, △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a, 由SH⊥平面BCD,可得 ×a××a2=,
解得a=1, 由BD⊥平面SAD,可得BD⊥SD, SB===2a, 又AB=2a, 在等腰三角形SBA中, 边SA上的高为=a, 则△SAB的面积为×SA×a=a=. 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用,注意运用转化思想,考查三棱锥的体积公式的运用,以及推理能力和空间想象能力,属于中档题. 2.如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 【分析】(1)利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论; (2)通过取线段CD上点G,连结FG、EG使得FG∥BC,则EG∥AC,利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD,结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG,从而可得结论. 【解答】证明:(1)因为AB⊥AD,EF⊥AD,且A、B、E、F四点共面,