量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

周世勋量子力学习题及解答1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度t成反比，即；? MT=B（常数）并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

该解决方案基于普朗克黑体辐射公式8?hv3?vdv?3?c1ehvktdv，?1（1）五、C以及（2）vdvvd，（3）有dvd??c?dv(?)d??(?)?v?c?????8.hc？5.1ehc？kt，？1在这里？？物理意义是黑体中的波长介于λ和λ+dλ之间，辐射能量密度介于。

本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求??对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。

但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：hc1 6.hc？5.0hc kt Ekt？1.1.Ekt？？5.hc？1hc？0kt1?e?kt8?hc15（1？e？hc？kt）？hc？kt1如果你做x=hc?kt，则上述方程为5（1？e？x）？十、这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有hc？mt？xk把x以及三个物理常量代入到上式便知mt？2.9? 10? 3m？K这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射能量分布的峰值向较短的波长移动，这将根据热物体（如遥远的恒星）的发光颜色确定温度。

1．2在0k附近，钠的价电子能量约为3ev，求其德布罗意波长。

根据德布罗意波粒二象性之间的关系，可以看出e=hv，惠普？如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（e动ec2），那么p2e？2.E如果我们考察的是相对性的光子，那么e=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3ev，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?106ev，因此利用非相对论性的电子的能量――动量关系式，这样，便有Hp二h2?eehc2?ec2e1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nmm在这里，利用hc?1.24?10?6ev?m以及ec20.51106ev最后，是的hc2?ece2从上面的公式可以看出，当粒子的质量较大时，粒子的波长较短，因此粒子的涨落较弱，粒子的性质较强；同样，粒子的动能越大，粒子的波长越短。

5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。

并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。

解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。

解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。

解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。

找了好久才找到的,希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章 量子理论基础１．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b （常量）;并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ, （1） 以及 c v =λ， (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ＋d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。

但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ﻩ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x ＝4.９７,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此,我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1.2 在０K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。

用周期微扰公式)(F 2k m 2mk m k ω±ε−εδπ=ω→h h讨论光的发射与吸收，其中)e e (F ˆ'Hˆt i t i ω−ω+=代表原子在光波电磁场中的附加能量。

一、发光机制设原子体系的能谱为：LL L <ε<<ε<<ε<εm k 211.原子由高能级(m ε)⎯⎯⎯→⎯transition低能级(k ε)：有自发跃迁(不受外界影响)和受激跃迁(受外界影响，如辐射场)，即自发发射和受激发射两种，二者都有能量k m mk ε−ε=ωh 从原子中发射出来。

2.原子由低能级(k ε)⎯⎯⎯→⎯transition 高能级(m ε)：只有原子从外界吸收能量k m mk ε−ε=ωh 的情况下(如吸收能量为mk ωh 的光子)才能发生跃迁，即光的吸收。

周期微扰公式)(F 2k m 2mk m k ω±ε−εδπ=ω→h h只能计算受激发射，对自发发射无能为力，自发发射是原子与真空态(电磁场基态)相互作用的结果，要用量子电动力学处理，在这里不讨论。

本节我们采用半经典理论，即Einstein 理论，建立受激发射和自发发射的关系,通过周期微扰公式)(F 2k m 2mk mk ω±ε−εδπ=ω→h h算出受激发射,进而求得自发发射。

二、Einstein 的发射和吸收系数(1917年建立)1.定义发射系数和吸收系数Einstein 引进了三个系数:mk A —单位时间内原子从m ε能级自发跃迁到k ε能级同时发射能量为mk ωh 的光子的几率，称为自发发射系数；)(I B mk mk ω—单位时间内原子从m ε能级受激跃迁到k ε能级同时发射能量为mk ωh 的光子的几率，称mk B 为受激发射系数；其中ωωd )(I 是作用于原子的光波在ω+ω−ωd 频率范围内的能量密度，)(I ω是单位频率间隔内的能量密度。

)(I B mk km ω—单位时间内原子吸收能量为mk ωh 的光子，从k ε能级受激跃迁到m ε能级的几率,称km B 为吸收系数。

量子力学导论第5章答案第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。

在束缚定态，有。

其复共轭为。

5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。

5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。

证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。

本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。

（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量。

证明下列求和规则。

是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。

证：（）又。

不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为（1）证：式（1）左端（2）计算中用到了公式。

由于是厄米算符，有下列算符关系：（3）式（2）取共轭，得到（4）结合式（2）和（4），得证毕。

5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：。

（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。

，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）从（1）式有（6’）由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，，（3）式变为：（8）将（7’）代入（8）式，可得（9）选择适当的，使得（9）（4）。

第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。

∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hc v v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kT hc kThc e kT hc ehc λλλλλπρ⇒0115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。