导数中双变量的函数构造(2)

导数中双变量的函数构造

21. (12 分)已知函数 f(x) In x e x ( R )

(1)若函数f(x)是单调函数，求 的取值范围;

(2)求证：当0 % x 2时，都有e 1 X2 e 1 X1 1竺.

x

i

•••函数f(x)是单调函数，•/ f (x) < 0或f (x) > 0在(0,)上恒成立,

•- f (x) < 0 ,

xe x

< 0,即 xe x < 0 ,

< xe

x

x

x

e

令 (x):,

则(x)

x 1

，当 0

x 1时，

(x) 0;

当 x 1 时,

(x) 0 .

e

e

则 (x)在(0,1) 上递减， (1,)上递增，

(x)min

(1)

1

1

xe x

e

x

x

e

• f (x) > 0 ,

> 0，即

xe x

> 0 ,

> xe

x

x

e

由 ••得 (x)

x -x

在

)上递减，(1, )上递增， 又(0)

0, x

时 (x) 0 ,

e 综上••…•可知,

1

< 或 > 0 ;

................ 6分

e

1 1

(2)由(1)可知，当 = 时，f(x) In x e x 在(0,)上递减，v 0 x 1 x 2 ,

e e

［典例］已知函数f(x)= ax 2 + xln x(a € R)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x + 3y = 0垂直.

(1) 求实数a 的值;

［解］(1)因为 f(x)= ax 2 + xIn x ,

21 .解：(1)函数f (x)的定义域为(0,

) , I f (x)

In x e x , v f (x)— x

x

xe

• f(xj 1 x f (x 2)，即 In x 1 e 为 e 1 x 2

In x 2 e 2 , e

1 X

2 1 X .

• e 2 e In x 1 In x 2

要证e 1 x2

e 为1 —，只需证In x 1 X 2

In X 2 1 ，即证In — 1 X 2

x X 1 X 2 X 1

入

x i 1

1

t 1

令t c ,

t (0,1)，则证 Int 1

令 h(t) Int

1，则 h (t) .2

0,

X 2

t

t

t

• h(t)在(0,1)上递减，又 h(1)

0 , •/ h(t) 0,即 Int (12)

⑵求证：当n >m > 0时,

m _n

In n — In m > ——

1 1

-，得证.

所以 f ' (x) = 2ax + In x + 1,

因为切线与直线x + 3y = 0垂直，所以切线的斜率为3, 所以 f ' (1)= 3,即 2a + 1 = 3,故 a = 1. (2) 证明：要证 In n — In m > m ——,

n m' n m n n m n 小

即证ln m >—— m ，只需证ln m —齐+m >°. n 1

令用=x ,构造函数 g(x)= In x — x + x(x > 1), 1 1

则 g ' (x) = x + 采 + 1.

1 1

因为 x € [1 ,+x ),所以 g ' (x) = x + 壬 + 1 > 0, 故g(x)在(1,+x )上单调递增. 由已知n >m >0,得m > 1, n

所以 g m >g(1) = 0,

即证得in m —m +m > 0成立，所以命题得证.

1. (2017石家庄质检)已知函数f(x) = a x — |x (x >0)，其中e 为自然对数的底

(1) 当a = 0时，判断函数y =f(x)极值点的个数;

X 2 、.一

—__

⑵若函数有两个零点X 1, X 2(X 1V X 2),设t =二，证明：X 1+ x 2随着t 的增大而 I

增大.

x 2

解：(1)当 a = 0 时，f(x)=— -x (x >0),

—2x ・x e — — x 2 ・x e x x — 2 f (x)= x 2 =—,

令 f ' (x) = 0,得 x = 2,

当 x € (0,2)时，f ' (x)v 0, y =f(x)单调递减，

数.

e x2

当x€ (2,+x)时，f' (x)>0, y= f(x)单调递增,

所以x = 2是函数的一个极小值点，无极大值点, 即函数y=f(x)有一个极值点.

x2 2

⑵证明：令f(x) = a x —石=0,得x2= ae x,

因为函数有两个零点x i，X2(X1V X2),

3 3 3

所以x i i2= aex i, x孑=aex2，可得qln x i= In a + x i,

|ln x2 =In a+X

2.

故X2 —x i 3 3 3卫=尹X2—^In x i = ^l n^i.

X2= tX i ,

又石二t,则t> i,且

X2 —X i 二fln t,

3,

qln t 解得x i =

t —

i

3,

^tln t X2= _

t—i

所以X i + X2 =!• + i " \

①

x+ i ln x

令h(X)= T，X € (i，+^)，

i —2ln x + x —- 入则h，

(x)= 仁—

x —i 2

i

令u(x) = —2ln x+ x —X，

得u

(x)二

当x€(i,+x)时，u ' (x)>0.

因此，u(x)在(i,+^)上单调递增，

故对于任意的x € (i,+ ^), u(x)> u(i) = 0,

由此可得h，(x)>0,故h(x)在(i,+^)上单调递增. 因此，由①可得X i+ X2随着t的增大而增大.