(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习知能专练(十一)数列的综合应用

- 1 - 知能专练（十一） 数列的综合应用

一、选择题

1．(2018届高三·金华十校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an，则S2 018＝( )

A．2×31 009－2 B．2×31 009

C.32 018－12 D.32 018＋12

解析：选A 由an＋2＝3an可得数列{an}的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S2 018＝(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝1－31 0091－3＋－31 0091－3＝(－2)×(1－31 009)＝2×31 009－2.

2．(2017·长沙质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为( )

A．2 017 B．2 016

C．1 009 D．1 008

解析：选C 因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009.

3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝( )

A．200 B．－200

C．400 D．－400

解析：选B S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：

第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①

第二步：将数列①的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.

则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝( )

A．n2 B．(n－1)2

C．n(n－1) D．n(n＋1)

解析：选C a1a2＋a2a3＋…＋an－1an

＝n1·n2＋n2·n3＋…＋nn－1·nn

＝n211×2＋12×3＋…＋1n－1n - 2 - ＝n21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n

＝n2·n－1n＝n(n－1)．

5．设an＝1nsinnπ25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )

A．25 B．50

C．75 D．100

解析：选D 当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值，当51≤n≤74时，an>0，当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值，∴当1≤n≤100时，均有Sn>0.

6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )

A．440 B．330

C．220 D．110

解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为nn＋2.

由题意可知，N>100，令nn＋2>100，

得n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．

易得第n组的所有项的和为1－2n1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.

设满足条件的N在第k＋1(k∈N*，k≥13)组，且第N项为第k＋1组的第t(t∈N*)个数，

若要使前N项和为2的整数幂，则第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，

即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2(k＋3)，

∴当t＝4，k＝13时，N＝13×＋2＋4＝95<100，不满足题意；

当t＝5，k＝29时，N＝＋2＋5＝440；

当t>5时，N>440，故选A.

- 3 - 二、填空题

7．(2018届高三·浙江名校联考)数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则an＝________，1a1＋1a2＋…＋1a2 018＝________.

解析：依题意an＋1＝an＋n＋1，故an＋1－an＝n＋1，

故a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，

由累加法可得an－a1＝n2＋n－22，an＝n2＋n2，

故1an＝2n2＋n＝21n－1n＋1，故1a1＋1a2＋…＋1a2 018＝2

1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝4 0362 019.

答案：n2＋n2 4 0362 019

8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

解析：∵an＋1－an＝2n，∴当n≥2时，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n.

当n＝1时，a1＝2也适合上式，

∴an＝2n(n∈N*)．∴Sn＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.

答案：2n＋1－2

9．已知数列{－n·2n}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，则实数m的取值范围为________．

解析：∵－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①

－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②

①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－2n1－2－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2.

∵Sn＋(n＋m)2n＋1<0恒成立，∴2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1<0对任意的正整数n恒成立，∴m×2n＋1<2－2n＋1对任意的正整数n恒成立，即m<12n－1恒成立．

∵12n－1>－1，∴m≤－1，即m的取值范围是(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

- 4 - 三、解答题

10．已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：(1)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，①

∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－12，②

①－②得，2n－1an＝12，∴an＝12n(n≥2)，③

又∵a1＝12也适合③式，∴an＝12n(n∈N*)．

(2)由(1)知bn＝(2n－1)·12n，

∴Sn＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n－1)·12n，④

12Sn＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n－1)·12n＋1，⑤

④－⑤得，

12Sn＝12＋2122＋123＋124＋…＋12n－(2n－1)·12n＋1

＝12＋1－12n－1－(2n－1)·12n＋1＝32－2n＋32n＋1，

∴Sn＝3－2n＋32n.

11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)证明：an＋12是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1an<32.

证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3an＋12，

所以an＋1＋12an＋12＝3，所以数列an＋12是首项为a1＋12＝32，公比为3的等比数列，

所以an＋12＝32·3n－1，解得an＝3n－12. - 5 - (2)由(1)知：an＝3n－12，所以1an＝23n－1，

因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，

所以13n－1≤12·3n－1，

于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝321－13n<32，所以1a1＋1a2＋…＋1an<32.

12．已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，且a1＝10，a2＝15.

(1)求证：数列{}bn是等差数列；

(2)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(3)设Sn＝1a1＋1a2＋…＋1an，如果对任意正整数n，不等式2aSn<2－bnan恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)证明：由已知，得2bn＝an＋an＋1，①

a2n＋1＝bn·bn＋1.②

由②得an＋1＝bnbn＋1.③

将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2bn＝bn－1bn＋bnbn＋1.即2bn＝bn－1＋bn＋1.

∴数列{}bn是等差数列．

(2)设数列{}bn的公差为d，由a1＝10，a2＝15.

经计算，得b1＝252，b2＝18.∴b1＝522，b2＝32，

d＝b2－b1＝32－522＝22.

∴bn＝522＋(n－1)·22＝22(n＋4)．

∴bn＝n＋22，an＝n＋n＋2.

(3)由(2)得1an＝2n＋n＋＝21n＋3－1n＋4.

∴Sn＝214－15＋15－16＋…＋1n＋3－1n＋4

＝214－1n＋4.

不等式2aSn<2－bnan化为4a14－1n＋4<2－n＋4n＋3. - 6 - 即(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0.

设f(n)＝(a－1)n2＋3(a－2)n－8，

则f(n)<0对任意正整数n恒成立．

当a－1>0，即a>1时，不满足条件；

当a－1＝0，即a＝1时，满足条件；

当a－1<0，即a<1时，

f(n)的对称轴为x＝－a－a－<0，f(n)关于n递减，

因此，只需f(1)＝4a－15<0.解得a<154，∴a<1.

综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．