数列中的知识交汇和创新型问题1王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.4372024年高考数学专项复习数列中的知识交汇和创新型问题（解析版）2佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列a n的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m(m∈N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1、3a2、4a3、⋯⋯、m+1a m表示高度为a m的方体连续堆叠m+1层的总高度)，请问新堆叠坊塔a m(m+1的高度是否超过310米？并说明理由.3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次b1=12a c1=b1+12(a-b1)第二次b2=c1-12(c1-b1)c2=b2+12(c1-b2)第三次b3=c2-12(c2-b2)c3=b3+12(c2-b3)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n次b n=c n-1-12(c n-1-b n-1)c n=b n+12(c n-1-b n)消费者每次的还价b n(n∈k)组成一个数列b n.(1)写出此数列的前三项，并猜测通项b n的表达式并求出limn→+∞b n；(2)若实际价格b与定出a的价格之比为b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?4近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a=100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？(结果精确到0.1万元)5甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为a n、b n元，记c n=a n-b n，讨论数列c n的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．6治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n n∈N*的表达式；(2)设A n为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．7为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后(滤除之前)这种药物在人体内的含量是a n毫克，(即a1=m).(1)已知m=12，求a2､a3；(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.8保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?9某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列a n，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列b n，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=b1=2b2=3b3=b4=(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？10市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每月的还款额均相同．银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2020年7月7日贷款到账，则2020年8月7日首次还款)．已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%．(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算该笔贷款的总利息．(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半．已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)．参考数据：1.0042.61．(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式．11流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+19≤k≤29,k∈N*日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1)若k=9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；(2)若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.12某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为13，并且规定若第i i=1,2,⋯,n-1题正确选项为两个，则第i+1题正确选项为两个的概率为13；第i i=1,2,⋯,n-1题正确选项为三个，则第i+1题正确选项为三个的概率为1 3.(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；(2)求第n题正确选项为两个的概率；(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证：E Y ≤1718.13甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若P i i=0,1,⋯,6表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0=0,P6=1.证明：P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.14已知数列a n的前n项和为S n,a1=2，对任意的正整数n，点a n+1,S n均在函数f x =x图象上.(1)证明：数列S n是等比数列；(2)问a n中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.15如果数列a n对任意的n∈N*，a n+2-a n+1>a n+1-a n，则称a n为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列a n的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列a n为“速增数列”，且任意项a n∈Z，a1=1，a2=3，a k=2023，求正整数k的最大值.16设数列a n的前n项和为S n，若12≤a n+1a n≤2n∈N*，则称a n是“紧密数列”.(1)若a n=n2+2n4n ，判断a n是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列a n前n项和为S n=14n2+3n，判断a n是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列a n是公比为q的等比数列.若数列a n与S n都是“紧密数列”，求q的取值范围.17已知a n和b n是各项均为正整数的无穷数列，若a n和b n都是递增数列，且a n中任意两个不同的项的和不是b n 中的项，则称a n 被b n 屏蔽．已知数列c n 满足1c 1+3c 2+⋅⋅⋅+2n -1c n=n n ∈N * ．(1)求数列c n 的通项公式；(2)若d n 为首项与公比均为c 1+1的等比数列，求数列c n ⋅d n 的前n 项和S n ，并判断S n 能否被c n 屏蔽，请说明理由．18设y =f (x )是定义域为R 的函数，如果对任意的x 1、x 2∈R x 1≠x 2 ,f x 1 -f x 2 <x 1-x 2 均成立，则称y =f (x )是“平缓函数”.(1)若f 1(x )=1x 2+1,f 2(x )=sin x ，试判断y =f 1(x )和y =f 2(x )是否为“平缓函数” ?并说明理由;(参考公式:x >0时，sin x <x 恒成立)(2)若函数y =f (x )是“平缓函数”，且y =f (x )是以1为周期的周期函数，证明:对任意的x 1、x 2∈R ，均有f x 1 -f x 2 <12;(3)设y =g (x )为定义在R 上函数，且存在正常数A >1使得函数y =A ⋅g (x )为“平缓函数”. 现定义数列x n 满足:x 1=0,x n =g x n -1 (n =2,3,4,⋯)，试证明:对任意的正整数n ,g x n ≤A |g (0)|A -1.19若项数为N N ≥3 的数列A N :a 1,a 2,⋯,a N 满足：a 1=1,a i ∈N *i =2,3,⋯,N ，且存在M ∈2,3,⋯,N -1 ，使得a n +1-a n ∈1,2 ,1≤n ≤M -1-1,-2 ,M ≤n ≤N -1，则称数列A N 具有性质P .(1)①若N =3，写出所有具有性质P 的数列A 3；②若N =4,a 4=3，写出一个具有性质P 的数列A 4；(2)若N =2024，数列A 2024具有性质P ，求A 2024的最大项的最小值；(3)已知数列A N :a 1,a 2,⋯,a N ,B N :b 1,b 2,⋯,b N 均具有性质P ，且对任意i ,j ∈1,2,⋯,N ，当i ≠j 时，都有a i ≠a j ,b i ≠b j ．记集合T 1=a 1,a 2,⋯,a N ，T 2=b 1,b 2,⋯,b N ，求T 1∩T 2中元素个数的最小值.20在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a ，b ，c 经过第n 次“和扩充”后所得数列的项数记为P n ，所有项的和记为S n .(1)若a =1,b =2,c =3，求P 2，S 2；(2)设满足P n ≥2023的n 的最小值为n 0，求n 0及S n 03(其中[x ]是指不超过x 的最大整数，如1.2 =1，-2.6 =-3)；21已知Q ：a 1,a 2,⋯,a k 为有穷整数数列.给定正整数m ,若对任意的n ∈1,2,⋅⋅⋅,m ,在Q 中存在a i ,a i +1,a i +2,⋯,a i +j j ≥0 ,使得a i +a i +1+a i +2+⋅⋅⋅+a i +j =n ,则称Q 为m -连续可表数列.(1)判断Q ：2,1,4,2是否为7-连续可表数列？是否为8-连续可表数列？说明理由；(2)若Q ：a 1,a 2,⋯,a k 为8-连续可表数列,求证：k 的最小值为4.22已知有限数列a n ，从数列a n 中选取第i 1项、第i 2项、⋯、第i m 项(i 1<i 2<⋯<i m )，顺次排列构成数列b k ，其中b k =a i k，1≤k ≤m ，则称新数列b k 为a n 的长度为m 的子列．规定：数列a n 的任意一项都是a n 的长度为1的子列，若数列a n 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列a n 为完全数列．设数列a n 满足a n =n ，1≤n ≤25,n ∈N *．(1)判断下面数列a n 的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．(2)数列a n 的子列b k 长度为m ，且b k 为完全数列，证明：m 的最大值为6；(3)数列a n 的子列b k 长度m =5，且b k 为完全数列，求1b 1+1b 2+1b 3+1b 4+1b 5的最大值．23有穷数列{a n }共m 项(m ≥3)．其各项均为整数，任意两项均不相等．b i =a i -a i +1 i =1,2,⋯,m -1 ，b i ≤b i +1i =1,2,⋯,m -2 ．(1)若{a n }：0，1，a 3．求a 3的取值范围；(2)若m =5，当5i =1a i 取最小值时，求4i =1b i 的最大值；(3)若1≤a i ≤m i =1,2,...,m ，m -1k =1b k =m +1，求m 的所有可能取值．24如图为一个各项均为正数的数表，记数表中第i 行第j 列的数为a i ,j ，已知各行从左至右成等差数列，各列从上至下成公比相同的等比数列.1⋯620⋮(1)若a i,j；=100，求实数对i,j(2)证明：所有正整数恰在数表中出现一次.25若数列a n为η数列.记S n=a1+a2 满足a k+1-a k=1k=1,2,3,⋯,n-1n≥2，则称数列a n+a3+⋯+a n.(1)写出一个满足a1=a5=1，且S5=5的η数列；(2)若a1=24,n=2000，证明：η数列a n是递增数列的充要条件是a n=2023；(3)对任意给定的整数n n≥3，使得S n=1？如果存在，写出一个满足条 ，是否存在首项为1的η数列a n件的η数列a n；如果不存在，说明理由.26定义矩阵运算：a b c dx y =ax +bycx +d y．已知数列a n ，b n 满足a 1=1，且n 11na nb n=n 2+2nn 2n +1．(1)证明：a n ，b n 分别为等差数列，等比数列．(2)求数列a 2n +3b 2n -1+1 的前n 项和S n ．27将数列{a n }按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列{a n }的一个分群数列，{a n }称为这个分群数列的原数列.如(a 1,a 2,⋯,a r )，(a r +1,a r +2,⋯,a t )，(a t +1,a t +2,⋯,a s )，⋯，(a m +1,a m +2,⋯,a n )，⋯是数列{a n }的一个分群数列，其中第k 个括号称为第k 群.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n .(1)若数列{a n }的一个分群数列每个群都含有3项，该分群数列第k 群的最后一项为b k ，求数列{b n }的通项公式.(2)若数列{a n }的一个分群数列满足第k 群含有k 项，A k 为{a n }的该分群数列第k 群所有项构成的数集，设M ={m |a m ∈A k ,a m +6∈A k +2}，求集合M 中所有元素的和.28已知数列a n3n是以13为首项的常数列，S n为数列a n的前n项和．(1)求S n；(2)设正整数m=b0×30+b1×31+⋯+b k×3k，其中b i∈{0,1,2},i,k∈N．例如：3=0×30+1×31，则b0=0，b1=1；4=1×30+1×31，则b0=1，b1=1．若f(m)=b0+b1+⋯+b k，求数列S n⋅f S n的前n项和T n．29已知a n是公比为q的等比数列．对于给定的k(k=1,2,3⋯n)，设T(k)是首项为a k，公差为2a k -1的等差数列a n，记T(k)的第i项为b(k)i．若b(1)1+b(2)1=b(2)2，且b(1)2=b(2)3．(1)求a n的通项公式；(2)求ni=11 b(2)i b(2)i+1；(3)求ni=1b(k)i．30已知数列a n的前n项和为S n，且S n=2n+1．(1)求a n的通项公式；(2)保持a n中各项先后顺序不变，在a k与a k+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列b n，记b n的前n项和为T n，求T100的值(用数字作答)．31若项数为k (k∈N*，k≥3)的有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i ，j (1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列0 , 1 , 2是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{a n}具有性质P，a i (i=1，2，⋯， k)是{a n}中的任意一项，证明：a k-a i一定是{a n}中的项；(3)若数列{a n}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a n}是等差数列．32已知有穷数列A:a1，a2，⋯，a n(n≥3)中的每一项都是不大于n的正整数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合A(m)={k a k=m ，k=1 ， 2 ， ⋯ ，n }.记集合A(m)中元素的个数为s(m)(约定空集的元素个数为0).(1)若A:6 ， 3 ， 2 ， 5 ， 3 ， 7 ， 5 ， 5，求A(5)及s(5)；(2)若1s(a1)+1s(a2)+⋯+1s(a n)=n，求证：a1 ,a2 ,⋯ ,a n互不相同；(3)已知a1=a , a2=b，若对任意的正整数i，j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(a i)或i+j∈A(a j)，求a1+a2 +⋯+a n的值.33已知无穷数列a n 满足a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 (n =1,2,3,⋯)，其中max {x ,y }表示x ，y 中最大的数，min {x ,y }表示x ，y 中最小的数.(1)当a 1=1，a 2=2时，写出a 4的所有可能值；(2)若数列a n 中的项存在最大值，证明：0为数列a n 中的项；(3)若a n >0(n =1,2,3,⋯)，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M ？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.34设λ为整数．有穷数列a n 的各项均为正整数，其项数为m (m ≥2)．若a n 满足如下两个性质，则称a n 为P λ数列：①a m =1，且a i ≠1(i =1,2,⋯,m -1)；②a n +1=λa n +1 ,a n 为奇数,a n2,a n 为偶数 (n =1,2,⋯,m-1)(1)若a n 为P 1数列，且a 1=5，求m ；(2)若a n 为P -1数列，求a 1的所有可能值；(3)若对任意的P 1数列a n ，均有m ≤2log 2a 1+d ，求d 的最小值．35若数列A n 满足A n +1=A 2n ，则称数列A n 为“平方递推数列”．已知数列a n 中，a 1=9，点a n ,a n +1 在函数f (x )=x2+2x 的图象上，其中n 为正整数，(1)证明：数列a n +1 是“平方递推数列”，且数列lg a n +1 为等比数列；(2)设b n =lg a n +1 ,c n =2n +4，定义a *b =a ,a ≤b ,b ,a >b ,，且记d n =b n *c n ，求数列d n 的前n 项和S n ．36如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G 型数列”．(1)若数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =32n -1，求证：数列a n 是“G 型数列”．(2)若数列a n 的各项均为正整数，且a 1=1，a n 为“G 型数列”，记b n =a n +1，数列b n 为等比数列，公比q 为正整数，当b n 不是“G 型数列”时，求数列a n 的通项公式．(3)在(2)的条件下，令c n =1a n a n +1，记c n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数m ，使得对任意的n ∈N *，都有1S n∈m -1,m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．37已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且a 4=4，数列b n 的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log 3T n ．(1)求T n ；(2)令c n =a nb n，是否存在正整数n ，使得“c n -1=c n +c n +1”与“c n 是c n -1，c n +1的等差中项”同时成立？请说明理由．38若无穷数列a n 满足∀n ∈N *，a n -a n +1 =n +1，则称a n 具有性质P 1．若无穷数列a n 满足∀n ∈N *，a n a n +4+1≥a 2n +2，则称a n 具有性质P 2．(1)若数列a n 具有性质P 1，且a 1=0，请直接写出a 3的所有可能取值；(2)若等差数列a n 具有性质P 2，且a 1=1，求a 22+a 23的取值范围；(3)已知无穷数列a n 同时具有性质P 1和性质P 2，a 5=3，且0不是数列a n 的项，求数列a n 的通项公式．39如果数列a n对任意的n∈N*，a n+2-a n+1>a n+1-a n，则称a n为“速增数列”.(1)判断数列2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列a n为“速增数列”.且任意项a n∈Z，a1=1,a2=3,a k=2023，求正整数k的最大值；(3)已知项数为2k(k≥2,k∈Z)的数列b n是“速增数列”，且b n的所有项的和等于k，若c n=2b n，n=1, 2,3,⋯,2k，证明：c k c k+1<2.40已知数表A2n=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n中的项a ij(i=1,2;j=1,2,⋯,n)互不相同，且满足下列条件：①a ij∈1,2,⋯,2n；②(-1)m+1a1m-a2m<0(m=1,2,⋯,n).则称这样的数表A2n具有性质P.(1)若数表A22具有性质P，且a12=4，写出所有满足条件的数表A22，并求出a11+a12的值；(2)对于具有性质P的数表A2n，当a11+a12+⋅⋅⋅+a1n取最大值时，求证：存在正整数k1≤k≤n，使得a1k= 2n；(3)对于具有性质P的数表A2n，当n为偶数时，求a11+a12+⋅⋅⋅+a1n的最大值.数列中的知识交汇和创新型问题1王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000元，最后一个还贷月应还6500元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23000元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)参考数据1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437【答案】(1)290000元(2)王先生该笔贷款能够获批【分析】(1)由题意，每月的还贷额构成一个等差数列，对数列求和可得所求利息；(2)利用等比数列求和公式，求得王先生每月还货额，与题目所给数据比较，得结论.【详解】(1)由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列a n，S n表示数列a n的前n项和.则a1=15000,a120=6500，故S120=15000+65002×120=1290000.故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.(2)设王先生每月还货额为x元，则有x+x(1+0.003)1+x(1+0.003)2+⋯+x(1+0.003)119=1000000×(1+0.003)120，即x 1-1.0031201-1.003=1000000×(1+0.003)120，故x=1000000×(1+0.003)120×0.0031.003120-1≈9928.因为9928<23000×12=11500，故王先生该笔贷款能够获批.2佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列a n 的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m (m ∈N *)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a 1、3a 2、4a 3、⋯⋯、m +1 a m (m +1 a m 表示高度为a m 的方体连续堆叠m +1层的总高度)，请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.【答案】(1)a n =36-2.4n (答案不唯一，符合题意即可)(2)可以，理由见详解【分析】(1)根据等差数列的通项公式运算求解，并检验24和19.2是否符合；(2)根据题意求S 7，并与310比较大小，分析判断.【详解】(1)由题意可知：a 1=33.6，注意到33.6-24=9.6,24-19.2=4.8，取等差数列的公差d =-2.4，则a n =33.6-2.4n -1 =36-2.4n ，令a n =36-2.4n =24，解得n =5，即24为第5项；令a n =36-2.4n =19.2，解得n =7，即19.2为第7项；故a n =36-2.4n 符合题意.(2)可以，理由如下：由(1)可知：m ≤7,a 1=33.6,a 2=31.2,a 3=28.8,a 4=26.4,a 5=24,a 6=21.6,a 7=19.2，设数列n +1 a n 的前n 项和为S n ，∵S 7=2a 1+3a 2+4a 3+...+8a 7=856.8>310，故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a 与其实际价值b 之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:表1次数消费者还价商家讨价第一次b 1=12a c 1=b 1+12(a -b 1)第二次b 2=c 1-12(c 1-b 1)c 2=b 2+12(c 1-b 2)第三次b 3=c 2-12(c 2-b 2)c 3=b 3+12(c 2-b 3)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n 次b n =c n -1-12(c n -1-b n -1)c n =b n +12(c n -1-b n )消费者每次的还价b n (n ∈k )组成一个数列b n .(1)写出此数列的前三项，并猜测通项b n 的表达式并求出lim n →+∞b n ；(2)若实际价格b 与定出a 的价格之比为b :a =0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润?【答案】(1)答案见解析(2)8%【分析】(1)根据条件即可得到数列b n 的通项公式，进而可直接计算lim n →+∞b n ；(2)根据价格比得a ,b 关系，代入(1)中lim n →+∞b n 计算即可.【详解】(1)b 1=12a ，b 2=c 1-12c 1-b 1 =12a +14a -18a =-12a +-12 2a +-12 3a +a ，b 3=c 2-12c 2-b 2 =-12a +-12 2a +⋯+-125a +a ，观察可得，b n =c n -1-12c n -1-b n -1 =-12a +-12 2a +⋯+-12 2n -1a +a=-13a 1+12 2n -1+a lim n →∞b n =lim n →∞-13a 1+12 2n -1 +a =-13a +a =23a .(2)因为b :a =0.618:1，所以a =b0.618，故23a =2b 3×0.618≈1.08b 故商家将有约8%的利润.4近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达40%，每年年底把除运营成本a 万元，再将剩余资金继续投入直播平合.(1)若a =100，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底㧅除运营成本后资金达到3000万元？(结果精确到0.1万元)【答案】(1)936万元(2)3000万元【分析】(1)用a n 表示第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算a 1,a 2,a 3可得；(2)由已知写出a 1,a 2,a 3,⋯,a 6，然后由a 6≥3000求得a 的范围．【详解】(1)记a n 为第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，则a 1=500×1.4-100=600，a 2=600×1.4-100=740a3=740×1.4-100=936故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元.(2)a1=500×1.4-a，a2=500×1.4-a×1.4-a=500×1.42-1.4a-a⋯a6=500×1.46-1.45+1.44+⋯+1a=500×1.46-a⋅1-1.461-1.4由a6≥3000，得a≤46.8，故运营成本最多控制在46.8万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元.5甲、乙两人同时分别入职A,B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量(精确到1元)(2)设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为a n、b n元，记c n=a n-b n，讨论数列c n的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．【答案】(1)甲的基础工资收入总量606000元；乙的基础工资收入总量603739元(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析【分析】(1)易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可(2)根据题意可得c n=3400+300n-4000×1.05n-1，再求解c n+1-c n>0分析c n的单调性，并计算c n<0时n的取值范围即可【详解】(1)甲的基础工资收入总量S1=3700×10+12×10×9×300×12=606000元乙的基础工资收入总量S2=4000× 1.0510-11.05-1×12=603739元(2)a n=3700+300n-1，b n=4000×1.05n-1c n=3400+300n-4000×1.05n-1，c n+1=3400+300n+1-4000×1.05n，设c n+1-c n=300-200×1.05n-1>0，即1.05n-1<1.5，解得1≤n≤8所以当1≤n≤8时，c n递增，当n≥9时，c n递减又当c n<0，即3400+300n<4000×1.05n-1，解得5≤n≤14，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．6治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的75%．(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数n n∈N*的表达式；(2)设A n为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．【答案】(1)a n=200-20n,1≤n<5 100×34n-5,n≥6。
