2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理
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2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理
2 第六章 数列 6.4 数列求和 理
1．等差数列的前n项和公式
Sn＝错误!＝na1＋错误!d.
2．等比数列的前n项和公式
Sn＝错误!
3．一些常见数列的前n项和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝错误!.
（2）1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2。
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n（n＋1）．
(4)12＋22＋…＋n2＝错误!。
【知识拓展】
数列求和的常用方法
（1)公式法
等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
（3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①错误!＝错误!－错误!；
②错误!＝错误!错误!;
③错误!＝错误!－错误!。
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广．
（5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的2018版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理
§6.4数列的通项及数列求和
基础知识自主学习
要点梳理
1 •若已知数列｛a｝ W/£an+1-an=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的 通项和 累加法
2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・
…・f (n)可求，则可用_求数列的通项a..
©+1
累积法
推导方法:乘公比，错位相减法.
■ % —jq
\_q \_q3 •等差数列前n项和S产
推导方法：— 等比数列前n项和 n(ax +an) n(n-V). nax H d
［到序相加法
q#1.
4 •常见数列的前n项和 (1)
(2)
(3) ；n(n + V)
2+4+6+…+2n= _____ ; 2
1+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n *1+2+3+…+n=
(4) 12+22+32+..+n2= ；n2
(5) 13+23+33+.. +n3= «(n + l)(2n + l)
⑷+ 1)]2
2j 5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相
加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构
成的数列求和.
(4) 倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.
6 •常见的拆项公式有
⑴ 1
n(n +
l) 1 1
n n + 1
"2)(2M-1)(2〃 + 1)
2n +1
⑶ ]
Qn + Yn +1 =、/ H +1
—、ft ・ 基础自测
1 •已知等比数^ij{an},a1=3,>4a1> 2a2> 83成等差数 列，则a34-a4+a5等于 ()
A.33 B.72 C.84 D.189
解析由题意可设公比为q,贝!Ia2=a1q,a3=a1q2, •/4a2=4a14-a3,-，4a1q=4a14-a1q2,Xa1=3,/.q=2 ・ a3+a4+a5=a1q2(1+q4-q2)
第1页 共14页 第04节数列求和
【考纲解读】
考点 考纲内容 五年统计 分析预测
数列求和 掌握等差数列、等比数列前n项和公式及其应用. 2019浙江文17
2019浙江文17；,理20；
2019浙江文19；理19；
2019浙江文19；理18. 1.高频考向:等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.
2.低频考向:简单的等差数列、等比数列求和..
3.特别关注:
（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；
（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法.
【知识清单】
一．数列求和
1.等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnad.
2．等比数列前n项和公式
一般地，设等比数列123,,,,,naaaa的前n项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq；当1q时，1naSn（错位相减法）.
3.数列前n项和
①重要公式：（1）1nkk123n2)1(nn
（2）1(21)nkk13521n2n
（3）31nkk2333)1(2121nnn
（4）21nkk)12)(1(613212222nnnn
第2页 共14页 ②等差数列中，mnmnSSSmnd；
③等比数列中，nmmnnmmnSSqSSqS.
对点练习：
1.记nS为等差数列{}na的前n项和．若4524aa，648S，则{}na的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
2.已知na为正项等比数列，nS是它的前n项和，若116a，且4a与7a的等差中项为98，则5S的值（）
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【解析】由题意得479+=4aa，因此363911+=()6482qqqq舍去负值，因此55116(1)231.112S选B.
1 6.4 数列的通项与求和
考纲要求
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
数列求和的常用方法
1．公式法
(1)直接用等差、等比数列的求和公式．
(2)掌握一些常见的数列的前n项和．
①1＋2＋3＋…＋n＝__________；
②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝__________；
③2＋4＋6＋…＋2n＝__________；
④12＋22＋32＋…＋n2＝__________；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝__________＝__________.
2．倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如__________数列的前n项和公式即是用此法推导的．
3.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如__________数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．分组转化法
把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5
050.
1．11×4＋14×7＋17×10＋…＋13n－23n＋1等于( )．
A．n3n＋1 B．3n3n＋1 C．1－1n＋1 D．3－13n＋1
2．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于( )．
