高三一轮复习专题：数列通项公式与求和方法总结(新)

第1讲 数列的通项公式与求和考点整合：1、数列通项公式的求解 （1）观察法（2）利用a n 与S n 的关系求a n （3）利用递推公式求通项公式 2、数列的求和（1）等差、等比数列的求和 ①公式法②关于奇偶项求和问题③关于含绝对值的数列求和（2）通项分析法 （3）错位相减法 （4）分组求和法 （5）裂项相消法 （6）倒数相加法 （7）并项求和法考点1：数列通项公式的求解（高频考点）常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用a n 与S n 关系求a n 、利用递推公式求通项公式。

角度一 观察法1. 数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝±1nB ．a n ＝(－1)n ·1nC ．a n ＝(－1)n ＋11n D ．a n ＝1n2. 下列图形的点数构成数列{a n }，则a 8等于( )A ．17B ．22C ．25D ．28 3. 写出下列数列的一个通项公式：（1）325374,,,,,,...;751381911---（2）2,22,222,...22....2n 个（3）已知数列{a n }中各项为：12,1122,11122211...122...2,...⋯，， 4. 将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则第n 行()3n ≥从左向右的第3个数为＝________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …5. 观察下列等式： 2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424ni i n n n ==++∑ 454311111,52330ni i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni i n n n n ==++-∑ 67653111211210111111+,722642......ni nkk k k k k k k k i in n n n n ia n a n a n a n a n a =+--+--==++-=++++++∑∑可以推测，当()*2k k N ≥∈时，111k a k +=+，12k a =，12_________,__________.k k a a --==角度二 已知通项公式a n 与前n 项和S n 关系求通项（1）S n 的形式独立：转化S n 为a n 的形式，作差法，使()*12n n n S S a n n N --=≥∈， （2）S n 的形式不独立：将a n 转化为()12n n S S n --≥，转化法. S n 的形式独立：1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B ．⎝⎛⎭⎫32n －1C ．⎝⎛⎭⎫23n －1D ．12n －13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________． 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥25. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，()*1421,n n S a n n N +=+≥∈. （1）设12n n n b a a +=-，求n b ； （2）设112n n nc a a +=-，求数列{a n }的前n 项和n T ；（3）设2nn na d =，求2010d .S n 的形式不独立： 1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________．2. 已知数列{a n }中，0n a >，且对于任意正整数n 有11()2n n nS a a =+，求数列{a n }的通项公式.3. 已知数列{a n }中，()01n a n ≠≥，112a =，前n 项和S n 满足()2*22,21n n n S a n n N S =≥∈-.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式.4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且()*585n n S n a n N =--∈. （1）证明：数列{}1n a -是等比数列；（2）求数列{}n S 的通项公式，请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由.5. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知11a =，()2*121233n n S a n n n N n +=---∈. （1）求2a 的值；（2）求数列{a n }的通项公式. （3）证明：对一切正整数n ，有121117 (4)n a a a +++<.角度三 利用递推公式求通项公式 1. 累加法：形如()1n n a a f n +-=（1）已知a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)，求出满足条件的数列的通项公式.（2）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），求a n .（3）对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．2.累乘法：形如()1nn a f n a -= （1）已知a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，求出满足条件的数列的通项公式.（2）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n .（3）已知数列{a n }中，a 1＝1，()121n n na n a +=+，则数列{a n }的通项公式为________．3.构造辅助函数列 （1）待定系数法：①形如()1,01n n a pa q p q pq p +=+≠≠为常数，且的递推式. 法1：构造()1+=n n a p a λλ++法2：递推一步，-1n n a pa q =+，两式作差，()1-1n n n n a a p a a +-=-，构造{}1n n a a +-为等比数列求解.例：已知是数列{a n }满足a 1＝1，1112n n a a +=+，求其通项公式.②形如()1,,0,1n n a pa qn r p q r p p +=++≠≠为常数，的递推式. 方法：可构造()()11n n a a n b p a an b ++++=++转化为等比数列.例：在数列{a n }中，a 1＝2，()*1431n n a a n n N +=-+∈,求数列{a n }的通项公式.（2）同除以指数：形如()1011n n n a pa d p p d +=+≠≠≠且，的递推式.法1：两边同除以1n p +，转化为叠加法求解. 法2：两边同除以1n d +，转化为待定系数法求解.例1：已知数列{a n }满足，()1*1322,n n n a a n n N --=+≥∈,求数列{a n }的通项公式.例2：在数列{a n }中，a 1＝1，122n n n a a +=+. （1）设12nn n a b -=，试证明：数列{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n .（3）取倒数法：形如()10nn naa a ac b ca +=≠+的递推式. 方法：取倒数111.n n n n b ca b c a aa a a a++==+，转化为待定系数法求解. 例1：在数列{a n }中，a 1＝1，122nn na a a +=+，求数列{a n }的通项公式.例2：已知数列{a n }的首项为135a =，()131,2, (21)nn n a a n a +==+，求数列{a n }的通项公式.例3：已知数列{a n }中，a 1＝1，1121n n n S S S --=+，求数列{a n }的通项公式.（4）取对数法：形如()10,0kn n n a ca c a +=>>的递推式.方法：两边取对数转化为等比数列求解.例1：已知数列{a n }中，a 1＝3，且()2*1n n a a n N +=∈，则数列的通项a n ＝________．例2：已知数列{a n }中，a 1＝10，2110n n a a +=，求数列{a n }的通项公式.（5）递推式法：①形如()1n n a a f n ++=的递推式.方法：将原递推式改写成()211n n a a f n +++=+，两式相减：()()21n n a a f n f n +-=+-，然后n 分奇偶数讨论即可. ②形如()1.n n a a f n +=的递推式.方法：同上.例1：已知数列{a n }中，a 1＝1，12n n a a n ++=，求a n .例2：已知数列{a n }中，a 1＝3，21n n a a n ++=，求a n .考点2：数列的求和（高频考点）（1）等差、等比数列的求和 ①公式法②关于奇偶项求和问题③关于含绝对值的数列求和（2）通项分析法 （3）错位相减法 （4）分组求和法 （5）裂项相消法 （6）倒数相加法 （7）并项求和法角度一 等差、等比数列的求和 （1）公式法（见单独的讲解） （2）关于奇偶项求和问题先求偶数项的和，再求奇数项的和。

第43讲 数列的求和【基础知识回顾】 1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).1、数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100【答案】 D【解析】 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100. 2、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56 C ．16D ．130【答案】：B 【解析】：因为()11111n a n n n n ==-++，所以5111111111151122334455666S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B ． 3、设11111++++2612(1)S n n =++，则S =( )A ．211n n ++ B ．21n n - C ．1n n+ D ．21n n ++ 【答案】：A 【解析】：由11111++++2612(1)S n n =++，得11111++++122334(1)S n n =+⨯⨯⨯+，111111112111++++222334111n S n n n n +=+-==+++----，故选：A.4、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.【答案】 2 022【解析】 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023， ∴n ＝2 022.5、已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________．【答案】：5000【解析】：由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100)＝5000．6、 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于________． 【答案】：2n【解析】：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则3，2q ＋1，2q 2＋1成等比数列，(2q ＋1)2＝3×(2q 2＋1)，即q 2－2q ＋1＝0q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ．考向一 公式法例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ．若210a =，540S =，则5a =________，n S 的最大值为________． 【答案】4 42【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∵540S =，∴()1535524022a a a ⨯+⨯==，38a ∴=， 又210a ∴=，2d ∴=-，2(2)10(2)(2)142n a a n d n n ∴=+-⨯=+-⨯-=-，514254a ∴=-⨯=，()122(12142)(262)13169(13)13()22224n n n a a n n n n S n n n n n ++--====-=-+=--+, ∴当6n =或7时，n S 有最大值42. 故答案为：（1）4；（2）42.变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________．【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3＝1－12＝12.变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考向二 利用“分组求和法”求和例2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【解析】(1)设数列{}n a 的公差为d ， 由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ① 又因为124,,a a a 成等比数列， 所以2214a a a =⋅，()()21113a d a a d +=⋅+，21d a d =，又因为0d ≠， 所以1a d =. ② 由①②得11,1a d ==， 所以n a n =，111b a ==，222b a == ，212b q b ==， 12n n b -∴= .(2)因为()111112211n n n c n n n n --⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以0111111122 (2)12231n n S n n -⎛⎫=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211121n n -=+--+ 121n n =-+ 所以数列{}n c 的前n 项和121nn S n =-+.变式1、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.【解析】 原式中通项为a n ＝⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋ (12)－1＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12 ＝12n －1＋2n －2. 变式2、 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3.又S 2＝2a 1＋d ，所以a 1＝d ， 易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.变式3、（2021·广东高三专题练习）设数列{a n }满足a n +1＝123n a +，a 1＝4． （1）求证{a n ﹣3}是等比数列，并求a n ； （2）求数列{a n }的前n 项和T n ． 【答案】（1）证明见解析，11()33n n a -=+；（2）31(1)323n n -+．【解析】（1）数列{a n }满足a n +1＝123n a +，所以113(3)3n n a a +-=-， 故13133n n a a +-=-， 所以数列{a n }是以13431a -=-=为首项，13为公比的等比数列． 所以1131()3n n a --=⋅，则1*1()3,3n n a n N -=+∈． （2）因为11()33n n a -=+，所以011111()()()(333)333n n T -=++++++⋯+＝11(1)33113n n -+-＝31(1)323n n -+． 方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和．考向三 裂项相消法求和例3、（2021·四川成都市·高三二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得20T 的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C 【解析】当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；而12111a =⨯-=也符合21n a n =-，∴21n a n =-，*n N ∈.又11111()22121n n a a n n +=--+， ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++，所以202020220141T ==⨯+，故选：C.变式1、（2021·全国高三专题练习）已知在数列{}n a 中，14,0.=>n a a 前n 项和为n S ，若1,2)-+=∈≥n n n a S S n N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：132020n T <<【解析】（1）在数列{}n a 中，1(2)n n n a S S n -=-≥①∴1n n n a S S -=且0n a >，∴①式÷②11n n S S -= (2)n ≥， ∴数列{}nS 1142S a ===为首项，公差为1的等差数列，2(1)1n S n n =+-=+ ∴2(1)n S n =+当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=+-=+；当1n =时，14a =，不满足上式，∴数列{}n a 的通项公式为4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩．（2）由（1）知4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩，，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，∴当1n =时，114520n T ==⨯， ∴当1n =时，120n T =，满足132020n T ≤<，∴12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++1111455779(21)(2n =++++⨯⨯⨯+111111111111()()()()45257792123202523n n n ⎡⎤=+⨯-+-++-=+⨯-⎢⎥⨯+++⎣⎦ 312046n =-+ ∴在n T 中，1n ≥，n ∈+N ，∴4610n +≥，∴114610n ≤+，∴1104610n >-≥-+，∴131320204620n ≤-<+．所以132020n T << 变式2、（2021·辽宁高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <.【解析】解：（1）因为2n n a S n =+①， 所以()11212n n a S n n --=+-≥② 由①-②得，121n n a a -=+.两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+，所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列. （2）令1n =，1121a S =+，则11a =. 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-.因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和． （2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n时，可转化为a n ＝1k(n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．考向四 错位相减法求和例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N*=+∈，且12a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N , 所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+, 整理得1(1)n n na n a +=+,即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列, 所以121n a a n ==, 所以2n a n =（2）由（1）,(1)2=(21)4n ann n b a n =--, 所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…两式相减得：23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，2+114434+2(21)414n n n T n +--=⨯---，化简得120(65)4+99n n n T +-= 变式1、（2020·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且22a =，5S 为10和20的等差中项；数列{}n b 为等比数列，且319b b -=，4218b b -=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n M ． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，5S 为10和20的等差中项，所以112541020522a d a d +=⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =． 设等比数列{}n b 的公比为q ，因为319b b -=，4218b b -=，所以2121(1)9(1)18b q b q q ⎧-=⎨-=⎩，解得132b q =⎧⎨=⎩， 所以132n n b -=⋅．（2）由（1）可知132n n n a b n -⋅=⋅，所以213(122322)n n M n -=+⨯+⨯++⋅，令21122322n n P n -=+⨯+⨯++⋅ ①， 则232222322n n P n =+⨯+⨯++⋅ ②，-①②可得2112122222(1)2112nn nn n n P n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，所以(1)21nn P n =-+，所以3(1)23n n M n =-+．变式2、（2020·湖北高三期中）在等差数列{}n a 中，已知{}35,n a a =的前六项和636S =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若___________(填①或②或③中的一个)，求数列{}n b 的前n 项和n T .在①12n n n b a a +=，②(1)nn n b a =-⋅，③2na n nb a =⋅，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意，等差数列{}n a 中35a =且636S =，可得112561536a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,1d a ==，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）选条件①：211(2n 1)(21)2121nb n n n ==--+-+，111111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 选条件②：由21n a n =-，可得(1)(2n 1)nn b =--，当n 为偶数时，(13)(57)[(23)(21)]22n nT n n n =-++-+++--+-=⨯=； 当n 为奇数时，1n -为偶数，(1)(21)n T n n n =---=-，(1)n n T n =-，选条件③：由21n a n =-，可得212(21)2n a n n n b a n -=⋅=-⋅， 所以135********(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，35721214123252(23)2(21)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，可得：()13521213122222(21)2n n n T n -+-=⨯++++--⨯()222181222(21)214n n n -+-=+⋅--⨯-，所以2110(65)299n n n T +-=+⋅. 方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。

高中数学方法总结数列与数学归纳法的通项与求和解法高中数学方法总结：数列与数学归纳法的通项与求和解法在高中数学的学习过程中，数列与数学归纳法是十分重要且基础的部分。

数列是指按照一定规律排列的数字集合，而数学归纳法则是用来证明数学命题的一种常用方法。

在本文中，我们将对数列的通项与求和解法以及数学归纳法的应用进行总结与梳理。

一、数列的通项与求和解法：1. 等差数列：等差数列是指数列中的每个项与它的前一项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ为等差数列的第n项，a₁为首项，d为公差，n为项数。

求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ为等差数列的前n项和，a₁为首项，aₙ为第n项，n 为项数。

2. 等比数列：等比数列是指数列中的每个项与它的前一项的比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。

通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中，aₙ为等比数列的第n项，a₁为首项，r为公比，n为项数。

求和公式：Sₙ = (a₁ * (1 - r^n))/(1 - r)其中，Sₙ为等比数列的前n项和，a₁为首项，r为公比，n为项数。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每个项都等于它前两项之和的数列。

设斐波那契数列的首项为F₁，第n项为Fₙ。

通项公式：Fₙ = Fₙ₋₂ + Fₙ₋₁其中，Fₙ为斐波那契数列的第n项，F₁和F₂为前两项。

求和公式：由于斐波那契数列没有固定项数的和，故没有求和公式。

二、数学归纳法的应用：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，其中包含三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。

首先，在基础步骤中，证明命题在某个初始情况下成立。

然后，在归纳假设中，假设命题在某个特定情况下成立。

最后，在归纳步骤中，通过归纳假设推导得出命题在下一个情况下也成立。

例如，我们利用数学归纳法证明某个等式对所有正整数n成立。

高中数学公式大全数列的通项公式与求和公式高中数学公式大全：数列的通项公式与求和公式数列是指按照一定规律排列的一组数，而数列的通项公式和求和公式则是研究数列的重要内容。

在高中数学中，数列的通项公式和求和公式是学习和应用数列的基础。

本文将详细介绍数列的通项公式和求和公式的定义、推导以及应用案例。

一、数列的通项公式数列的通项公式又称为数列的第n项公式，它可以用来表示数列的任意一项，是数列的核心公式。

对于通项公式的推导，我们先来看一个常见的数列——等差数列。

1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一项与前一项的差等于同一个常数d。

设等差数列的第一项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其通项公式为：aₙ = 2n - 12. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中的每一项与前一项的比等于同一个常数q。

设等比数列的第一项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示等比数列的第n项，n表示项数。

举例：对于数列2, 4, 8, 16, 32...来说，其通项公式为：aₙ = 2^(n-1)二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列前n项和的公式，对于不同类型的数列，求和公式也各不相同。

下面我们来介绍两种常见的数列求和公式——等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和。

举例：对于等差数列1, 3, 5, 7, 9...来说，其前n项和的求和公式为：Sₙ = (n/2) * (1 + 2n - 1) = n^22. 等比数列的求和公式对于等比数列的前n项和，求和公式为：Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和。

数列专题 数列求和常用方法（学生版）一、公式法1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2． 推导方法：倒序相加法．2．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1. 例1已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 跟踪练习1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，则S 4＝( )A ．12B ．1C ．2D ．32、等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83、(2022·天津模拟)设1＋2＋22＋23＋…＋2n －1>128(n ∈N *)，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94、设数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，前n 项和为S n ，log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，且a 3＝4，则S 6＝( )A ．128B ．65C ．64D ．635、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．46、已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，则k 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，23 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 7、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是( )A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为2 0202 021 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为4 0402 021 D ．数列{a n }的第50项为2 5508、(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有( )A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n9、在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．10、数列{a n }满足：a 1＝1，点(n ，a n ＋a n ＋1)在函数y ＝kx ＋1的图象上，其中k 为常数，且k ≠0．(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求k 的值；(2)当k ＝3时，求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ．11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；二、分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．例2(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n －n 2，n 为偶数，2a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝( )A ．546B ．582C ．510D ．5482、(2022·珠海模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0203、若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__ _____．4、(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .5、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ＋a ．(1)求a n ；(2)定义[x ]为取整数x 的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝3，求[a 1]＋[a 2]＋[a 3]＋…＋[a 100]的值．7、已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.8、(2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .9、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．10、(2022·青岛模拟)从“①S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n ＋a 12；②S 2＝a 3，a 4＝a 1a 2；③a 1＝2，a 4是a 2，a 8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，________，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝122n n S S ＋－，数列{b n }的前n 项和为W n ，求W n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11、(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3.三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．例3(2022·南京质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．跟踪练习1、(2022·北京模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为9，则n的值为( )A ．576B ．99C ．624D ．625 2、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是( ) A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋143、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝____ ____. 4、已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式12T n <a 2－a 恒成立，则实数a 的取值范围是__ __．5、(2022·本溪模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，a 1＝1．(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求{a n }的通项公式； ①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； ②数列{}a n ＋1－2a n 是等比数列；③数列{}S n ＋1－2S n 是等比数列．(2)记b n ＝S n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．7、给出以下三个条件：①4a 3,3a 4,2a 5成等差数列；②∀n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝2x －a 的图象上，其中a 为常数；③S 3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n }是一个公比为q (q >0，且q ≠1)的等比数列，且它的首项a 1＝1，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2log 2a n ＋1(n ∈N *)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <12． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．8、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .9、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.10、已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .11、(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .12、已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足a 1＝b 1＝c 1＝1，c n ＝a n ＋1－a n ，c n ＋1＝b n b n ＋2c n，n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1＋1d，n ∈N *.13、已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.14、若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，S 2＝4. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．例4(2022·江门模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．跟踪练习1、(2022·广东模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3、(2022·湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：S 1，S 3，S 2成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知_____________．①判断S 1，S 2，S 3的关系；(答案：S 1，S 3，S 2成等差数列)②若a 1－a 3＝3，记b n ＝n 12|a n |，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <43． (1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列{a n }的首项a 1的值或公比q 的值(只补充其中一个值)，并说明你的理由；(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程．4设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．6、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .7、(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .8、(2022·重庆调研)在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n，在①b n＝4a n a n＋1，②b n ＝(－1)n·a n，③b n＝2n ana 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．9、(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＋1＝2S n＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2 022的最小的正整数n的值．。

数列通项公式、前n项和求法总结（全）⼀.数列通项公式求法总结：1.定义法 —— 直接利⽤等差或等⽐数列的定义求通项。

特征：适应于已知数列类型（等差或者等⽐）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等⽐数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.变式练习：1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式2. 在等⽐数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的⾸项、公⽐及前n 项和.2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可⽤公式≥?-=?=-2111n S S n S a n n n 求解。

特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n 。

（2）12-=n s n变式练习：1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2+n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满⾜n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。

2. 已知数列{}n a 的前n 项和212n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最⼤值为8，试确定常数k 并求n a 。

3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，22.求数列{}n a 的通项公式。

3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利⽤累加法求解。

例3. 已知数列{}n a 满⾜211=a ，a a n n +=+211，求n a 。

变式练习：1. 已知数列{}n a 满⾜11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的十三种方法数列的通项公式是数列的核心概念之一,它如同函数中的解析式一样,有解析式便可研究其性质;而有了数列的通项公式则可求出其任意一项以及前项和等.因而求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望对大家有所帮助.一、观察法根据数列的前几项求通项公式时，常用“观察、归纳、猜想、验证”的思想方法，即先找出各项相同的部分，再找出不同的部分与序号之间的关系，并用n 表示出来.{}{}{}{}{}.2,12,,)1(,,;;,.:.232)1()2(.)12)(12(2.1212,,75,53,31,2)1(:;6461,3229,1613,85,41,21)2(;9910,638,356,154,32)1(.,:11等如列要注意联系一些基本数进行验证或调整再次是写出通项公式后号的联系与序其次要分析变化的因素而变化哪些因素随序号的变化与序号无关而保持不变首先要观察哪些因素其规律之间的对应关系中发现与序号要善于从数值点评的通项公式为别考虑可以得出此数列将符号、分子、分母分式为故此数列的一个通项公的积和是两个连续奇数分母为分子为偶数列解通项公式写出下面各数列的一个根据数列的前几项例----•-=+-=+-⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅--⋅⋅⋅n n n n n nn n n n n a a n n na n n n 二、定义法.)0,(.11的数列为常数且或递推公式为这种方法适用于式的方法叫定义法比数列的定义求通项公直接利用等差数列或等≠=+=++q q d qa a d a a n n n n 三、累加法).()1()3()2(),2()3()1()(,).2(),3(,),1(),(:),(11122321111n f n f f f a a f f n f n f a a f a a f a a n f a a n f a a n f a a a n n n n n n n n +-+⋅⋅⋅+++=++⋅⋅⋅+-+=-=-=-⋅⋅⋅-=-=-=-----即得相加所有等式左右两边分别即可以用“累加法”且已知.22,2)1(1,1),1(321112........................321,:,1,:22111223322111111+-=∴-=-∴=-+⋯⋯+++=--⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=-=--=--=--=-=-+==+=-----+++n n a n n a a n a a n a a a a n a a n a a n a a n a a a n a a a a n a n n n n n n n n n n n n n n n n 又得个式子相加所以得由解求已知例.,)1(,)1(,,2,1)(,)1()2()1(:1称为累加法个等式累加而求可得个代入以中就可以将的和是可求的只要点评n n n a n n n n n f a a n f f f --⋅⋅⋅=+=-+⋅⋅⋅+++四、累乘法).()1()3()2(),2()3()1()(,).2(),3(,),1(),(:),(11122321111n f n f f f a a f f n f n f a a f a af a a n f a a n f a a n f a a a n nn n n n n n•-•⋅⋅⋅•••=••⋅⋅⋅•-•===⋅⋅⋅-===----即得相乘所有等式左右两边分别即可以用“累乘法”且已知{}{}.,)(:.2,2,21122232........................32221212,1222)22(:.,)22(,2,:31111223322111111n n n n nn n n n n n n n n n n n n n a n n f n a a n a a n a a a a n n a a n n a a n n a a n n n a a a n a a a na a a 可用累乘法求项积可求前数列点评又得个式子相乘所以得由解求通项公式中已知数列例•=∴=•=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫•=•=--•=--•=-•=∴+•=+=+=+==------+++五、构造法（构造成等比数列）.,)1(1.,11),1(1),1(1,)1(,,)1(),(:)1(.)01(:111111111n n n n n n n n n n n n n n a p p qa p q a p p qa p q a p q a p p q a p p qq p q pa a p pa a a p a q p q pa a 从而求出所以为公比的等比数列以为首项是以因此数列所以所以比较系数得与题设得设构造法项相减法”可用“构造法”或“逐且类型-+++++•-+=-+-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=-+≠-==-+=-+=+=+≠≠+=λλλλλ{}.,,),(),2(),1(:)(.21211111n n n n n n n n n n n a a a p a a a a p a a q pa a q pa a 从而求出为首项的等比数列公比为是以从而得数列两式相减得得由阶差法逐项相减法---=-+=+=+-+-+{}{}{}.213,313,13,33331)113(,3).(3,1313:1.,131,.4111121111-111-=∴=-+∴+==•=-∴=-+⨯=---=-+=+=+==+-++-+++n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其首项为的等比数列是公比为因此数列两式相减得得由解法的通项公式求数列且满足中在数列例{}.3,33331)113(,31:2111121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a 可用“累加法”求出已知其首项为的等比数列是公比为得数列由解法解法=-=•=-∴=-+⨯=--+-++.,31:.213,32321,2321,321),21(32121,21,23),(313:3111111但殊途同归构造出的等比数列不同与解法解法点评首项为的等比数列是公比为数列即可化为设递推公式解法-=∴•=+∴=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∴+=+∴=∴=∴+=+=++=-++++n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a λλλλλ.1,1.1,,).0,10(:2111111即类型的数列则转化形如令得两边同除以由且类型+•==+•=+=≠≠≠+=+--+++n n n n n n nn n n n n n n n n b q pb q a b qa q p q a q q pa a q p p q pa a {}{}.133,3133.3,232,323313),3(313,23313,32:.),2(32,6,:511111111111的等比数列首项为为公比是数列即令得由解的通项公式求数列满足中已知数列例-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴-=∴=-∴-•=+•=+∴+•=⨯+=≥⨯+==--------a a k k k a a k a k a a a a a a n a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n.1.1,,)0,10(:.33)31(33,)31(33,)31(1331111111111的数列则转化形如令得可先在其两边同除以的数列且对形如点评+•==+•=≠≠≠+=-=•-=∴-=∴⨯-=-∴+--+++-+--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b qpb q a b q a q p q a q q p p q pa a a a a ..,,,)1()2(),2(),1(.:3211211的通项公式从而分奇偶项求出数列偶数项分别是等比数列所以奇数项得由得由类型q a a q a a q a a q a a nn n n n n n n n n n ==•=•=•++++++{}{}⎪⎩⎪⎨⎧=∴=•=•==•=∴=∴=•⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴==•=•=•=------++++++.,2,,22222;22,2,2;,,,;,,,,2)1()2(),2(2,)1(2:.,2,1,:6221112211112212864275312112111为偶数为奇数又成等比数列成等比数列得由得由解的通项公式求数列满足中已知数列例n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a nn n nn n n n n n nn n n n n n n n n n n n .,)()1(,)1()2(),2( )1(),1( )()(:21211项公式分奇偶项求出数列的通得由得由数列形如点评n f n f a a n f a a n f a a n f a a n n n n n n n n +=+=•=•=•+++++六、待定系数法{}.,,.)1()1(,)1()1(,),()1()0,1,(:11111n n n n n n n n n n n n n a b B An a b bA B P k A P b kn pa A B P An P Pa a PB PAn Pa B A An a B An a P B n A a k p b k b kn pa a 求出通项是等比数列从而构造了数列令比较系数得设是常数且类型++=⎩⎨⎧=--=-++=--+-+=∴++=+++∴++=+++≠≠++=++++{}{}{}.132136,361.611,31,1.1,1,.123,22,,1232323,3333],)1([3:.),2(123,4,:7111111111--•=--•=∴•=++∴=++++∴++=++∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=+-=-+=+-+=∴+-+=++∴+-+=++≥-+==-------n n a n a a n a n a B An a B A B A A n a B A An a a B A An a B An a B n A a B An a a n n a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 的等比数列首项为是公比为数列解得比较系数得设解的通项公式求数列满足中已知数列例{}.,.,),()1(,)0,1,(:11n n n n n n a p B An a B A B An a P B n A a k p b k b kn pa a 从而求出通项的等比数列是公比为则构造了数列比较系数相等求出设的数列是常数且递推公式为点评++++=+++≠≠++=++{}.,,.2,)2()(,2),()1()1()0,1,,(:2222122122121n n n n n n n n n n n n n a b C Bn An a b c C B A pC b A B PB aA pA c bn an pa CB A pC n A B PB n A pA Pa a pC PBn PAn Pa C B Bn A An An a C Bn An a P C n B n A a a p c b a c bn an pa a 求出通项是等比数列从而构造了数列令比较系数得设是常数且类型+++=⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-+++=---+--+-+=∴+++=++++++∴+++=+++++≠≠+++=++++{}{}{}.181032,18103218103232,23218103.321811013,218103.18103,18103,5242232,54322)22()2(2,22222),(2)1()1(:.,1,5432:82424211221222221221221121---=---=---•=∴•=+++∴=+⨯+⨯+++++++=+++∴⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-+++=---+--+-+=∴+++=++++++∴+++=+++++=+++=++--++++n n a n n n n a n n a a n n a n n a C Bn An a C B A C B A C A B B A A n n a C B A C n A B B n A A a a C Bn An a C B Bn A An An a C Bn An a C n B n A a a a n n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 为首项的等比数列为公比是所以数列解得比较系数得设解的通项公式求数列满足已知数列例{}.,,.,,),()1()1(,)0,1,,(:222121n n n n n n n n a b C Bn An a b C B A C Bn An a P C n B n A a a p c b a c bn an pa a 从而求出通项是等比数列则构造了数列令比较系数得设的数列是常数且形如点评+++=+++=+++++≠≠+++=++七、特征方程法{}.,,,,)(),().,(:1121121212的等比数列是公比为于是解得比较系数得所以可以变形为设为常数类型βαβααββααββααβαn n n n n n n n n n n n n n n a a qpa a a a a a a qa pa a q p qa pa a -⎩⎨⎧-==+-+=-=-+=+=++++++++++{}{}.)31(:1.),3731,3731231,131:2(.1,31:1.131311,3132,)(),(3132:.,3132,2,1,:9111112112112112121221-++++++++++++++-=-∴+==+∴=+=+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=---∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-+=∴-=-+=+===n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a q pa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 法类型从而变成的等比数列首项为是公比为数列法的等比数列首项为是公比为数列法或解得比较系数得可以变形为设解求中已知数列例βαβααββααββααβα.314347]311[431,311311313131,)1(,)1(,2,13111121111-----+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛--+=∴+⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---⋯⋯=⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n n n n n n n n a a a n n n n a a 得个等式累加再把代入以中将八、公式法{}.2,1,.,11求解利用公式法”的通项公式可用“公式求数列的关系与项和若已知数列前⎩⎨⎧≥-==-n s s n s a a a s n n n n n n n{}{}.,,1),2(,,:.2,261,5,51113,1,26)353(13]1)1()1(3[13,2:.,13:101111211222212否则要用分段函数表示才是通项公式相等时求得的与由时的当其方法是利用求数列的通项公式项和公式已知数列的前点评所以不符合上式时当时当解的通项公式求数列的前项和已知数列例n n n n n n n n n n n n a s a s a n n s s a n n n n a s a n n n n n n n n n n s s a n a n n s a ==≥-=⎩⎨⎧≥-===++•===-=+--++=+-+--++=-=≥++=--{}{}{}.,,:.12,122)1(3,2,320),(2))((,422:)2()1(),2(342,2),1(342,3,0,342,1:..342,0..11111111121211212111221的式子与含将所给关系式转化为只因此需利用已知条件中含点评的等差数列公差为是首项为数列，又式得式时当解得时当解的通项公式求数列已知的前项和为数列例------------=+=∴+=⨯-+=∴∴=-∴+=-+∴=--+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+≥∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=+=+=+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a s s a a s n a n n a a a a a a a a a a a a a a a a s a a n s a a a a a a a n a s a a a a s n九、数学归纳法{}{}{}{}.,,:.)1(),1(,)2)(1(.,1.)2()1()2()1(),2)(1()1()1(22,1,)1(),1(,)2(.,1)1(:.)1(),1(.25,20,16,12,9,6.,2:.,,,,,,)(,,,,,,4,2,,:122222221121224433221211432432*11111然后用数学归纳法证明其通项公式根据前几项的规律猜测前几项关键是准确求出数列的证明”求解数列问题的—猜测—使用“归纳点评对一切正整数都成立可知由结论也成立时所以当时那么当即时结论成立假设当由上知结论成立时当用数学归纳法证明猜测由此可得由条件得解的通项公式求数列的值及求成等比数列成等差数列且中在数列例+=+=+=+=+++==++=+-+=-=+=+=+===+=+========+=∈==+++++++++n b n n a k n k k k k b a b k k k k k a b a k n k b k k a k n n n b n n a b a b a b a b b a a a b b a b b b a a a N n b a b a b a b a b a n n k k k k k k k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n 十、重新构造新方程组求通项法{}{}{}{}{}{}.,,,:.)311(21)311(21,)31(1.)31()()31()()31()(31,1.,2),(31,),2(31),2(31:.,),2(31),2(31,2,0,,1,.13.,,111111122211112211*11111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a N n n b a b a b a b a b a b b a a b a b a b b a a n b b a a b a b a b a b a 出从而再通过解方程组求等差或等比数列相加或相减后恰好构成观察两个式子结构特征点评解得所以所以都成立对得由解求时当中数列中已知数列例和然后解方程组求得的方程组和关于必须重新构造与要想求出给出的通项以方程组的形式和有时数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-=⋅⋅⋅=-=-=-=+=⋅⋅⋅=+=+=+∈≥-=-+=++=+=+=+=≥==-------------------------十一、取倒数法{}{}.121,122)1(11,11,21,211,121,12:.,12,2,1,:1411111111-=∴-=⨯-+=∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=-+=+=+=≥=------n a n n a a a a a a a a a a a a a a n a a n n n n n n n n n n n n n n n 的等差数列首项为是公差为数列两边取倒数得将解的通项公式求数列时且当满足中已知数列例.1,11,,)0,0(:111111cbb c d b b a a c d c b ca d ba a a bcd d ba ca a n n n n n n n n n nn +•==•+=+=≠≠+=+++++则令型即转化为构造新数列可用两边取倒数的方法型数列的通项公式求点评十二、取对数法{}{}{}.,lg ,lg lg lg ),0,0(:.13,31,3lg 23lg )1lg(.3lg )1lg(,2)1lg()1lg(2)1lg(,)1lg()1lg(,)1(121,2:.,2,2,:151112221112122121211111类型则变成令两边取对数得形如点评的等比数列首项为是公比为数列两边取对数得得由解的通项公式求数列满足中已知数列例q pb b a b a r c a a c ca a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n r n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n+==+==-=∴=+=•=+∴=++∴+=+∴+=++=++=++=+==+++-+++++---十三、平方(开方)法{}{}{}.,,),,0(:.13,0.133)1(4.3,4,3,3:.),2(3,2,:161222121221221221211类型则变成令则两边平方得为常数形如点评又为公差的等差数列为首项是以数列两边平方整理得将解的通项公式求数列满足中已知数列例q pb b a b da c a c d da c a n a a n n a a a a a a a a n a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +==+=≠+=+=∴>+=⨯-+=∴=∴=-+=≥+==+++---。