集合的基本关系及运算
【要点梳理】
要点一：集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；
子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或
要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或
B
A)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系
A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．
要点二：集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B}
Venn 图表示： 要点诠释：
（1）“x ∈A ，或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”；“,x B x A ∈∉但”；“,x A x B ∈∈且”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A ∩B ，读作：“A 交B ”，即A ∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =∅．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素
组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：
U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；
痧补集的Venn 图表示： 要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．
（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．
4.集合基本运算的一些结论：
A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，，
A A
B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，
U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，
痧 若A ∩B=A ，则A B ⊆，反之也成立 若A ∪B=B ，则A B ⊆，反之也成立
若x ∈(A ∩B)，则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B)，则x ∈A ，或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】
类型一：集合间的关系
例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅
{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧
∅
{}0，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，
因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
(1) {x||x|≤1} {x|x 2
≤1}；
(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2
-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1例2.（2015秋 确山县期中）已知A ={x ｜x 2―4=0}，B ={x ｜ax ―6=0}，且B 是A 的子集． （1）求a 的取值集合M ；
（2）写出集合M 的所有非空真子集． 【答案】（1）M ={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}
