高中数学-打印版
精校版 技能提升作业(二十四)
1．cos17°等于( )
A．cos20°cos3°－sin20°sin3°
B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°
C．sin20°sin3°－sin20°cos3°
D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°
解析 cos17°＝cos(20°－3°)
＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.
答案 B
2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于( )
A.12 B.32
C.22 D．－12
解析 原式＝cos(α＋30°－α)
＝cos30°＝32.
答案 B
3．已知cosα＝55，则cosα－π4的值为( )
A.31010 B．－1010
C.255 D.31010或－1010
解析 ∵cosα＝55，∴sinα＝±1－cos2α＝±255. 高中数学-打印版
精校版 ∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝55·22＋22·±255＝ 31010，－1010，有两解，应选D.
答案 D
4．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为( )
A.22 B．－22
C.32 D．－32
解析 原式＝cos(360°－65°)sin(90°－20°)－sin(180°－65°)cos(90°＋20°)
＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°
＝cos(65°－20°)
＝cos45°＝22.
答案 A
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是( )
A.35
B.45
C.2425 D.725
解析 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， 高中数学-打印版
精校版 ∴斜边AB＝5.
3.1.1《两角差的余弦公式》
【学习目标】
通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及英功能，并为建立其他和差公式打 好基础。
【重点难点】
重点：两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【学法指导】
z前学习了三角函数的性质，以及平面向量•的运算和应用，在此基础上，要考虑如何利用任虑 角66 0的正弦余弦值来表示COS(Q-0),牢固的掌握这个公式，并会灵活运用公式进行下一节 内容的学习。预习《两角差的余弦公式》，体会两角差的余弦公式的推导过程，尤其是向量法的 运用。
【知识链接】
阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导岀两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并 冋答以下问题：
1、 如何用任意角66 0的正弦余弦值来表示COS(Q-0)；
2、 如何求出COS 15°的值;
1、会求sin 75°的值吗?
提出疑惑
疑惑点 疑惑内容
【学习过程】
探冗一:(1)能不能不用计算器求值：cos45° , cos30° , cos 15° (2) cos(45°-30°) = cos45°-cos30°是否成立?
探究二：两斥差的余弦公式的推导
1.三角函数线法：
问：①怎样作出角Q、0、Q-0的终边。
② 怎样作出角a-/3的余弦线OM
③ 怎样利用儿何直观寻找OM的表示式。2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪儿个向量，它们怎么表示？
② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过稈进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
例题整理
例1. 利用差角余弦公式求cos 15°的值
变式训练：利用两角養的余弦公式证明下列诱导公式:
兀），cosp= - — , B第三象限角，求cos（Q - 0）的值
变式训练：已知si如寻&是第二象限角，求cos（^f）的值。
【学习反思】
本节主要考察如何用任意角a, 0的正弦余弦值來表示cos（a-0）,回顾公式 C（a_0）的推导 过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角a, 0的任意性，特别要注意公式既可止 用、逆用，还可变用（即要活用）.在求值的过程中，还要注意掌握“变和”和“拆角”的思想方法 解决问题.
最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
知识点一 两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．
知识点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和
的正弦 S（α＋β） sin（α＋β）＝
sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差
的正弦 S（α—β） sin（α—β）＝
sin_αcos_β—cos_αsin_β α，β∈R
错误! 公式的记忆方法
（１）理顺公式间的联系．
C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）
（２）注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），
sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），
cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），
cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．
知识点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和
的正切 tan（α＋β）＝
错误! T（α＋β） α，β，α＋β≠
kπ＋错误!（k∈Z）
两角差
的正切 tan（α—β）＝
错误! T（α—β） α，β，α—β≠
kπ＋错误!（k∈Z）
错误! 公式T（α±β）的结构特征和符号规律
（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．
（２）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材解难]
１．教材P２１7思考
能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．
２．教材P２１9思考
成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
自主学习
知识梳理
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量OA→＝______________，向量OB→＝______________.OA→·OB→＝______________.另一方面OA→·OB→＝|OA→| ·|OB→|·cos∠AOB＝____________.
2．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
自主探究
灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．
对点讲练
知识点一 给角求值
例1 求下列各式的值．
(1)sin 195°＋cos 105°；
(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
回顾归纳 (1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，„)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．
变式训练1 求下列各式的值．
(1)cosπ12；
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
知识点二 给值求值
例2 设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cos α＋β2.
