高数一期末复习材料(历年试卷按知识点分)打印版

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 （ C ）（A ）0 （B ） ∞ （C ）12（D ）不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则⎰dx x f )(是)(x f 的 （ C ）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （ C ）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D )（A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan xy e x =+在区间[]1,1-上 （ A ）（A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分⎰+dx x x12= （ D ）(A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x和直线0=y 所围的面积是 （ A ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ B ） （A ）2xy Ce = （B ）212x y Ce= （C ）Cxy e= （D ）2x y Ce=12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( D ) （A ）2x y = （B ） 3x y -= （C ）23x y -= （D ）3x y = 13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x 时， 下列是无穷小量的是 （ B ） （A ） 1+x e(B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x15、当x →∞时，下列函数中有极限的是 （ A ） （A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ） （A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰（ B ） （A ）211x + （B ）211C x ++ （C ） arctan x （D ） arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 （ C ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ A ）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( B ) (A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f < 21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( D )（A ） sin cos x x C -++ （B ） sin cos x x C -+ （C ） sin cos x x C --+ （D ） sin cos x x C ++23、数列})1({nn n-+的极限为（ A ） （A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（ B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ） (A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos limx x x →-=122、 若2)(2+=xe xf ，则=)0('f 23、131(cos 51)x x x dx --+=⎰24、 =⎰dx e tte x C +5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为 2xy e =6、224lim 3x x x →-=+ 0 7、 极限 =---→42lim 222x x x x 438、设sin 1,y x x =+则()2f π'= 19、11(cos 1)x x dx -+=⎰210、231dx x +⎰ 3arctan x C +11、微分方程ydy xdx =的通解为 22y x C =+ 12、1415x dx -=⎰213、 sin 2limx x xx→∞+= 1 14、设2cos y x =，则dy 22sin x x dx - 15、设cos 3,y x x =-则()f π'= -1 16、不定积分⎰=x x de eC x+2e 21 17、微分方程2xy e-'=的通解为 212xy e C -=-+ 22222222222111120,201122x x x xx xx dy y y e y e dy e dx dx ydy e dx e C y y x y C e y e y -'=⇒=⇒==⇒-=+==-=-==-⎰⎰代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x y ='ln 的通解是 xy e C =+ 19、xx x3)21(lim -∞→＝ 6e-20、,x y x y '=设函数则x21、)21(lim 222nnn n n +++∞→ 的值是 1222、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+- 1223、,x y x dy ==设函数则(ln 1)x x x dx +24、 20231lim 4x x x x →-+=+1425、若2()sin6xf x e π=-，则=)0('f 226、25(1sin )a ax dx π++=⎰2π ().a 为任意实数27、设ln(1)xy e =-，则微分dy =______1xxe dx e -__________. 28、 3222(cos )d 1xx x x ππ-+=-⎰ 2 三、解答题1、（本题满分9分）求函数y =的定义域。

大一高数复习资料【全】.docx高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★）U （a, 6 ）= {χ I X -a ￡ 6 }U （a, 6 ）= {χIO c∣x —a <δ}第二节数列的极限O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列:X n证明Iim【证明示例】；- N语言1 ?由x n—a C g化简得n a g（g ）,N-II g ；2 .即对? O , T N = g ［「。

当n ?N 时，始终有不等式x n-a| <名成立，Iim :Xnf = aX ）：:第三节函数的极限O X > X O时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明IimfX=A^?X O【证明示例】；-'I语言1 .由f （x ）—A ￡化简得OClX — X O lCg（名），- =g ；O无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设f X为有界函数，g X为无穷小，则Iim ll fXgX =O（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f X 为无穷大，则f-1X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且fXPo ,贝U f j X为无穷大【题型示例】计算：Iim f X g X （或x—:）X ,-x o1.∣f（x）≤M ?函数f（X ）在X = X。

的任一去心邻域U X0,:内是有界的；（f X ≤M ,?函数f X在x? D上有界；）2. Iim g X =0即函数g X是X r x0时的无穷小；J.X0 '（Iim g X =O即函数g X是x-? -■时的无穷小；）X—■3 .由定理可知Iim II fXgX =O（Iim f X g X =O）第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式P X、q X商式的极限运算p(x )= a0x m+a1x m^ +… + a m I q(X)= b0χn +b]X n^1+ … + b n2.即对NE >0 ,当Oc X-X O c6时,始终有不等式f (X ) — A <JE成立，Iim f (x )= AOx—?时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f X ,证明Iim f X；= Ax—^C 【证明示例】；- X语言1. 由f （x）—A < E化简得X A g（E ）,；2. 即对Pg >O , 2X=g2 ）,当x>X时，始终有不等式f（x）—Ac名成立，Iim f X =AX 1：:第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（★）函数f X无穷小U Iim f X = O『F 则有Iim止）=淳b on ：： mn = mn mIimX )X Of(Xo )g(χo)COg X O T-Z 0g X O i= 0,f X O = 0g X O ^ f X O ^ 0（特别地，当IimfX =-（不定型）时，通常分^X O g（x）0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值X )3X -9设:【求解示例】解：因为X r 3 ,从而可得x=3 ,所以原X -3 r x -3.. 1 1式=Iim 2Iim IimX 3x2-9 x 3X 3 X - 3 J3X 3其中X =3为函数f X二享3的可去间断点X -9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：Iim 些3=IimX_3X 3x -9L X 3χ2-9= lim — =1X 32x 6O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数f X是定义域上的连续函数，那4(x)]=f II^^(χ)'么，lim fX >Xo第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则(P53) (★★★)Sin X d 1X第一个重要极限: Iim^_0Sin X ■■■： X ：tanx /. Iimj0Sin X JI1XIim x- X-Q SinX （特别地,解:lir√2x+3V = lim(2x+1+2Ix 2x 1 x 2x 1X lIi2x-2x + 2 λ JlL厂/ 2 k2Π1D YIim H Iim H2x1—2x 1 2x r：h2一1 X M X H^(X+)J1? 22x 1辔？1L)2x 12x半Iim 11 ―2—2-0碑(2x+1丿Iim ∏=e2x1;2X 1丄e1=e.. 2= e2x?T第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（★★）U ~ Sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ In（1 U）1. U~ e -11 22. U ~1-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：limln 1 x2Xln1 xJ0X +3x【求解示例】解：因为X T 0,即xH0,所以原式=Iim ln(1+x厂xln(1+ x ) T χ2+3x(1+x) In(1+x) (1 + x 卜X x+1 1=Iim Iim IimX 0XX 3 x 0 XX 3 x 0 X 3 3第八节函数的连续性O函数连续的定义(★)IimfX= Iim f x = f X0X)XO- X=X ■O间断点的分类(P67) (★)"跳越间断点(不等)可去间断点(相等)IimXPIim1×-0 _______ .，1I sin X ] X X im o —Sin(x-x o) =I)X —X o= Iim —-X P Sin XIimX XO单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限:(一般地，Iim ll f X 9 = Iim f x 計'，其中Iim f X 0) 【题型示例】求值: X i mIST .!：【求解示例】第一类间断点（左右极限存在）』第二类间断点〔无穷间断点（极限为Q（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）'2x . Oe , Xv应该怎样选^ +x X 兰0择数a ,使得f X成为在R上的连续函数？【求解示例】f 0_=e20=e1=e.I . .f 0 =a 0 =af 0 =a【题型示例】设函数f（x）=」1 .2 .由连续函数定义Iim f X = Iim f x = f 0 = ex—?0- ^?0【题型示例】求 y = f X 在X= a 处的切线与法线方程（或：过y =f X 图像上点II a ） f a ］」处的切线与法线方程）【求解示例】1. ^fX , y f a2.切线方程：y-f a = f a X -a法线方程：y_f a —f ： X-a 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则O 函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1 .线性组合（定理一）：（〉U 二匸■ v ） = U ' ： V 特别地，当1时，有（u ±v ）? = u 士V2 .函数积的求导法则（定理二）：（UV ） ? =UV UV第三节反函数和复合函数的求导法则[1 X ' (1)1 X ', y J ∣[iT 1 xy n丄（-1）n ' （n -1）! ?（1 X ）Jl第五节隐函数及参数方程型函数的导数O 隐函数的求导（等式两边对 X 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y = X ? e y所给定的曲线 C :y = y X 在点1 - e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由y = X ? e y 两边对X 求导F即 y = X 、e y 化简得y = 1 ■ eyy ■.? 1 1y 1 ：1 -e 1-e1 .切线方程：y -1X -1 ? e 1 — e第九节闭区间上连续函数的性质O 零点定理（★）【题型示例】证明：方程f X :=g X C 至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】 1.（建立辅助函数）函数 X L f X ；J g X ［-C 在闭区间la, b ］上连续; 2. 「a b ：0 （端点异号） 3. 由零点定理，在开区间a,b 内至少有一点,使得厂=O ,即 f ? 一g ? -C -0 （ 0「J ）这等式说明方程内至少有一个根' 第二章导数与微分第一节导数概念O 高等数学中导数的定义及几何意义（ f X . d e +1 4. f X iU g X C 在开区间a,b P83) (★★)【题型示例】已知函数 ax +bX‘°在x=0X 0处可导，求a , b 【求解示例】■ . O 1 .?.? J f 丄0 )=e =1 j?0 )=a 2?由函数可导定义f 0 - =e 0「1 =e 0 1 =2I / 'f °?=bf 0 =e 0 1 =2j f _0 =f 亠[0 =a=1 f 0- = f 0= f 0 =b =2a = 1,b =2【题型示例】求函数【求解示例】由题可得上单调、可导，且f j X 的导数f X 为直接函数，其在定于域 D -L （X ）［=丄 .L 「（X ）f X=O ;?O 复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设y = ln e arcsin 【求解示例】1arcsi n j X^ 2 2解：y=—-XF=f e * -+√x +a /■ arcsIn x 21 2 2e -I X a(arcsine1C arcs in x 2 122e 一“x 」a1arcs in x 2 12 2e r x 亠 aarcs Ine2x；in ./X 2T L 2 . X —1J 2_x 2 2J f i 厂_____ J e 、一e arcsin x2χ ■ ,x 2 ?a 2 .第四节高阶导数Of (n ?(x ) = [f (n哉 X2x x 2 a 2A = dy ）（★）dχ2 【题型示例】求函数 y = In 1 ? X 的n 阶导数【求解示例】y'丄=VX J ,(或 ddx3 .函数商的求导法则（定理三）O 反函数的求导法则（★）法线方程：y -仁…1 - e x -1 eO参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程Z=φft）,求d-yIy = Y（t ）dx2W 2窗【求解示例】ι.dy2.d~ydx W T t）dx C P Y t ）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）dy = f X dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（★）O罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数f X在0,二］上连续，在0,二上可导，试证明：二匚三［0,二,使得f co< C sin ? =0成立【证明示例】1. （建立辅助函数）令X = f XSinx显然函数X在闭区间0,二I上连续，在开区间0,二上可导；2. 又「0 计f 0 Sinθ =0-f r: Sin 二-0即「O= : =03. 由罗尔定理知一I 三iθ,二，使得f i:ico^ f ? -sin = 0成立O拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当X 1时，e x e x【证明示例】1. （建立辅助函数）令函数f X =e x,则对—X ?1 ,显然函数f X在闭区间1,x ］上连续，在开区间1,x上可导，并且f X =e x；2. 由拉格朗日中值定理可得，'■ l1,xl使得等式X I■e-e = x -1 e成立，又e e1, e x-e1x-1e1=e x-e,化简得e x e X ,即证得：当X 1时，e x e x【题型示例】证明不等式：当X 0时，In Γ x X【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f X = In 1 ? X ,则对-X 0 ,函数f X在闭区间∣0, X1上连续，在开区1间0,二上可导，并且f X —;1 + X十；：=l0,χ 1使得等式In 1 X - In 1 O=Y^ X- 0 成立，1化简得In V X —X,又：；：= 0,xl, 1沁f—V丿1+匕即证得：当X . 1时，第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1. ☆等价无穷小的替换（以简化运算）2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件0 OCIA .属于两大基本不定型（,—）且满足条件，0旳则进行运算：Iim f X = Iim —~~—I a g（X） J a g Y X）（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . ☆不属于两大基本不定型⑴0 ；型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：【求解示例】解：IimX c(InX= Iim 二2 ==Iimx_J 1 L--11im X’ - 0a X 10(一般地，Iim ^ In X f = 0 ,其中〉J - R)⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：Iim i1 - 1I01Sinx X 丿【求解示例】“ f 1 1解: Iim —一一X Tl Sin XO^E^‰ x—s in Xι. 1-cosx01? 1 —cosx ι. SinX C Iim Iim Iim Iim 2 'X 0 2x L L x—0x )0' X P2 .由拉格朗日中值定理可得,：：1 , ? In 1 X ：： 1 X = X ,（转化为基本不定型）Iim X In XX >0rQIn In X= Iim丄.- x:X:X =2f∕-X -Lx:,. FX-S in X l fχ-si nx= Iim Iim 2—X X 0 XSin X XT XX2⑶00型（对数求极限法）2x。

高等数学期末复习资料一、 单项选择题（15分，每小题3分）1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A ）x Cosx x - （B ）x Sinx（C ）121-x （D ）x x )11(+ 2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（ ） （A ）无驻点 （B ）无拐点 （C ）无极值点 （D ）0)(>'x f4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点），（b a ∈ξ使（ ）成立。

（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞+a dxax p当（ ）时收敛。

（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p二、填空题（15分，每小题3分）1、 若当0→x 时，22~11x ax --，则=a ；2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则=dy ；3、函数)0(82>+=x xx y 在区间 单减；在区间 单增；4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ；5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=10102)()(，则=a ；三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）1、xx xx )1(lim +∞→ 2、 200)1(lim xdte xt x ⎰-→四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、241x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2 ，求22dx y d五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、dx x xx ⎰+++21arctan 1 2、dx x x ⎰--223cos cos ππ3、设dt ttx f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(六、讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=2,22,cos 2)(ππππx x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。

高一上学期期末总复习第一章集合与命题1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否认：“?〞的否认是“?〞，“?〞的否认是“?〞;“≥〞的否认是“＜〞，“＞的否认是“≤〞；“＜〞的否认是“≥〞，“≤〞的否认是“＞〞；“=〞的否认是“≠〞，“≠〞的否认是“＝〞；“至多有一个〔x≤1〕〞的否认是“至少有两个〔x＞1〕〞；“至少有一个〞的否认是“没有一个〞；“全都是〞的否认是“不全都是〞；3．充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，那么有从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p?q，q?p) A Bp是q的必要不充分条件(q?p，p?q) B Ap是q的充要条件(p?q) A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p?q，q?p) A与B互不包含练一练：.甲：x≠2或y≠3；乙：x＋y≠5，那么(B)A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2 .集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，假设A∩B＝B，那么a等于(D)1A．－1或1B．2或－121C．－2或1或0D．－2或1或0设集合M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，假设M∩N≠?，那么实数m的取值范围是m>－1．4.a∈R，b∈R，假设a，b，1＝{a2，a＋b,0}，那么a2021＋b2021＝-1 a5.设全集U={不大于20的质数}，A∩CuB={3，5}，CuA∩B={7，19}，CuA∩CuB={2，17}，那么A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}6.(1)集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，假设B?A，求实数m的取值范围．(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．假设(?U A)∩B＝?，求的值．解：(1)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，那么m≤2.当B≠?时，假设B?A，．m＋1≥－2，那么2m－1≤7，解得2<m≤4.综上，m的取值范围是(－∞，4]．m＋1<2m－1，(2)A＝{－2，－1}，由(?U A)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①假设B＝{－1}，那么m＝1；②假设B＝{－2}，那么应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，B≠{－2}；③假设B＝{－1，－2}，那么应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.第二章不等式1．不等式的根本性质(1)对称性：a>b?b<a.(2)传递性：a>b，b>c?a>c.(3)加法法那么：a>b?a＋c>b＋c.(4)乘法法那么：a>b，c>0?ac>bc.a>b，c<0?ac<bc.(5)同向不等式可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd.(7)乘方法那么：a>b>0?a n>b n(n∈N，n≥1)．2n n(8)开方法那么：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式＝0>0<0＝b2－4ac二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根b没有实数根ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－2a不等式ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x∈R{x|x>x2或x<x1}b R 的解集且x≠－2a}不等式ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}??的解集a＋b3．根本不等式：2≥ab(a>0，b>0)利用根本不等式求最值要注意“一正二定三相等〞．一正：A、B都必须是正数二定： 1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．三相等：当且仅当A、B相等时，等式成立；即A=B?A+B=2√AB；A≠B?A+B>2√AB．练一练：1.不等式x－1－1，12x＋1≤0的解集为21x≤1，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，那么A∩?R B等于(C)2.全集为R，集合A＝x|23.A．{x|x≤0}4.B．{x|2≤x≤4}5.C．{x|0≤x<2或x>4}6.D．{x|0<x≤2或x≥4}7.不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为__{x|x＜5}__．34. 1ab 3,2 ab4，求2a 3b 的取值范围答案：〔-9，13〕2 25. 设x 、y ∈R +且19 =1,那么x y 的最小值为___16___.xy6. 不等式2x 22x61 的解集为 [-1,3]．8第三章 函数的根本性质1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b]，fx－fx2那么(x 1－x 2)[f(x 1 )－f(x 2)]>0?1x 1－x 2 >0?f(x)在[a ，b]上是增函数；12 1 2fx －fx(x －x)[f(x)－f(x)]<0?12x 1－x 2 <0?f(x)在[a ，b]上是减函数．(2)假设函数f(x)和g(x)都是减函数，那么在公共定义域内， f(x)＋g(x)是减函数；假设函数f(x)和g(x)都是增函数，那么在公共定义域内，f(x)＋g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f[g(x)]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0；f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y 轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)假设f(x ＋a)为奇函数?f(x)的图象关于点 (a,0)中心对称；假设 f(x ＋a)为偶函数?f(x)的图象关于直线 x ＝a 对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上：奇 ±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 4．函数的图像对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种根本方法： 一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4重要结论：(1)假设函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，那么f(x)的图象关于直线x＝a对称．a＋b(2)假设f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．(3)假设函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，那么该函数图象关于点(a，b)成中心对称．5．二次函数求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴〞的问题，抓住“三点一轴〞，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．(2)注意三个“二次〞的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负．〞6．函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．练一练：1.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a的取值范围是(D)11A．a>－4B．a≥－411C．－4≤a<0D．－4≤a≤02.求函数的解析式(1)假设f(2x-1)=x2，求f(x)；〔2〕3f(x)2f(x)x3，求f(x).t1解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，那么x2f(t)(t1)2,f(x)(x1)222〔2〕因为3f(x)2f(x)x3，①x用x代替得3f(x)2f(x)x3，②5由①②消去f(x)，得f(x)x3.53. 在以下区间中，函数f(x)＝e x＋4x －3的零点所在的区间为(C)1 0)B ．(0， 1A ．(－4， 4)1 1 1 3C ．(4， 2)D ．(2， 4)4. f(x)=x5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10 ，那么f(2)=-265．函数f(x)＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为 2，那么m 的取值范围为多少？解：∵f(x)＝(x －1)2＋2，其对称轴为 x ＝1当x ＝1时，f(x)min ＝2，故m ≥1=又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m ≤2.综上可知1≤m ≤2.6.：函数f(x) x1 x（1〕作出f 〔x 〕的图像；（ 2〕假设x ＞1，证明f 〔x 〕的单调性〔2〕设x ，x 是定义域上的任意实数，且1<x<x ，那么121 2f(x 1)f(x 2)x 11 1 1 1(x 2)(x 1-x 2)+(-)x 1x 2x 1 x 2(x 1 x 2)x 2 x 1x 1x 2(x 1 x 2)(1 1 )x 1x 2(x 1x 2)(x 1x 21)x 1x 2作出以下函数的图像并判断单调区间(1)y=x 2-3|x|+2；(2)y|x1|(x-2)2〔1〕f(x)在3 上递减，在 [- 3 ,0]上递增，在 [0, 3 ] 上递减，在 3上递增.- ，，2222+〔2〕f(x)在-，1上递减，在 2，+ 上递增.x 2＋2x ，x>0， 8.函数 f(x)＝ 0，x ＝0， 是奇函数．x 2＋mx ，x<0(1)求实数m 的值；6(2)假设函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数 a 的取值范围．解(1)∵函数f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)． 当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx ＝－(－x 2＋2x)，即x 2－mx ＝x 2－2x.m ＝2.x 2＋2x ，x>0，(2)由(1)知f(x)＝0，x ＝0，x 2＋2x ，x<0，当x>0时，f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， 当x ∈(0,1]时，f(x)单调递增． 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，当x ∈[－1,0)时，f(x)单调递增．综上知：函数 f(x)在[－1,1]上单调递增．又函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增．a －2>－1， 解之得1<a ≤3.∴a －2≤1，故实数a 的取值范围是(1,3]．9.〔1〕偶函数f(x)的定义域是R ，当x0时f(x)x 2 3x1，求f(x)的解析式.〔2〕奇函数g(x)的定义域是R ，当x 0时g(x) x 2 2x 1，求g(x)的解析式.答案：〔1〕x 23x 1(x 0) x 2 2x 1(x0)；〔2〕f(x)g(x)0〔x〕x23x 1(x 0)2xx 21(x 0)第四章 幂函数、指数函数、和对数函数幂函数1〕幂函数概念形如y x( R)的函数，叫做幂函数，其中 为常数.2〕幂函数的图象及性质作出以下函数的图象：1(1)yx ；(2)yx 2 ；(3)yx 2；(4)y x 1；(5)yx 3．7（幂函数的共同性质：（(1)所有的幂函数在 (0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；（(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1（时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（(3)0时，幂函数的图象在区间(0, )上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋（向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无（限地逼近x轴正半轴．（〔3〕幂函数值大小的比较（比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0（和1进行比较．常称为“搭桥〞法．（比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大（小．（常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．（指数函数（1〕指数函数的概念：（函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.（2〕指数函数的图象及性质：函数指数函数名称ya x(a0且a1)叫做指数函数定义函数a10a1y ya x ya x y图象y1y1(0,1)(0,1)11O0x O0x 定义域R8(word 版)高一上数学期末总复习(知识点习题含答案)域(0, ) 定点 象定点(0,1)，即当x 0，y 1．奇偶性 非奇非偶性 在R 上是增函数在R 上是减函数a x 1(x0) a x1(x0)函数的 a x 1(x0)a x 1(x 0)化情况a x 1(x0) a x 1(x0)a 化在第一象限内，从逆方向看象，a 逐增大；在第二象限内，象的影从逆方向看象，a 逐减小．响3〕指数式大小比方法(1)性法：化同底数指数式，利用指数函数的性行比.(2)中量法(3)分法(4)比法比法有作差比与作商比两种，其原理分：①假设A B 0 A B ；A B 0 A B ；AB 0 A B ；（（ ②当两个式子均正的情况下，可用作商法，判断 （ （ 数函数（ 1〕数的定A1，或A1即可BB1假设a x N(a 0,且a 1)，x 叫做以a 底N 的数，作x log a N ，其中a叫做底数， N 叫做真数．数和零没有数．3数式与指数式的互化： xlog a Na xN(a0,a1,N0)．〔2〕几个重要的数恒等式log a 10，log a a1，log a a bb ．〔3〕常用数与自然数常用数：lgN ，即log 10 N ；自然数：lnN ，即log e N 〔其中e⋯〕．〔4〕数的运算性如果a0,a1,M 0,N 0，那么①加法：log a Mlog a Nlog a (MN)②减法：log a Mlog a NM log aN9(word 版)高一上数学期末总复习(知识点习题含答案)③数乘：nlog a Mlog a M n(n R)④alog aNN⑤log a b Mnnlog a M(b0,nR)b⑥换底公式： log b Nlog a N(b0,且b1)log b a〔5〕对数函数定义一般地，函数ylog a xa 0,且a1叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域0,．（ 6〕对数函数性质：函数对数函数名称定义函数ylog a x(a 0且a 1)叫做对数函数a 10 a 1x 1x 1yylog a xyylog a x图象11(1,0)O0(1,0)xOx定义域 (0,)值域R过定点 图象过定点(1,0)，即当x 1时，y0 ．奇偶性非奇非偶单调性在(0, )上是增函数在(0, )上是减函数log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) 函数值的 log a x 0 (x 1)log a x 0 (x 1) 变化情况log a x0 (0 x1)log a x0 (0 x1)a 变化对在第一象限内，从顺时针方向看图象，a 逐渐增大；在第四象限内，从图象的影顺时针方向看图象， a 逐渐减小．响10(word版)高一上数学期末总复习(知识点习题含答案)反函数1〕反函数的概念设函数y f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y f(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数y f(x)的反函数，记作x f1(y)，习惯上改写成y f1(x)．〔2〕反函数的性质1原函数y f(x)与反函数y f1(x)的图象关于直线yx对称．2函数y f(x)的定义域、值域分别是其反函数y f1(x)的值域、定义域．3假设P(a,b)在原函数y f(x)的图象上，那么P'(b,a)在反函数y f1(x)的图象上．4一般地，函数y f(x)要有反函数那么它必须为单调函数．练一练：1.计算〔1〕log27log2121log242；48271111原式=log24126log2log2223722〔2〕lg32lg353lg2lg5；原式=lg2lg5lg22lg2lg5lg253lg2lg5=lg10lg523lg2lg5 lg23lg2lg5=1-3lg2lg5+3lg2lg5=1〔3〕lg522lg8lg5lg20lg22；3原式=2lg52lg2lg51lg2lg22 =2lg5lg2lg5lg2(lg2lg5)=2+lg5lg2=3；11(word 版)高一上数学期末总复习(知识点习题含答案)〔4〕7lg2012 令x7lg2012，两边取常用对数得lgxlg7lg201=1 lg2lg7(lg71)(lg2)2=lg7lg2lg7 lg2lg7 lg2=lg14x14,即7lg2021=14．2.log 189 a,18b5，求log 3645．解法一：log 3645 log 1845log 18(9 5) log 189log 185ab a b ．log 1836log 18(18 2)1 log 182182 aa,18b1log189解法二：Qlog 1895，lg9 alg18,lg5 blg18，log 3645 lg45lg(9 5)lg9lg5alg18 blg18a b ．lg361822lg18lg92lg18alg182alg93.以下函数中，没有反函数的是〔 D 〕21)3A.y=??-1(x ＜-2B.y=??+1(x ∈R)C.y=?? (x ∈R ，x ≠1)D.y=|x|(x ∈R)??-14.2-1〔2〕= -2函数f 〔x 〕=??+2??+2〔x ＜-1〕，那么??5. 对任意不等于 1的正数a ，函数f 〔x 〕=log ??〔??+3〕的反函数的图像都经过点P ，那么P 的坐标是 〔 0，-2〕.6. 〔1〕函数ylg(x 22xa)的定义域为R ，求实数a 的取值范围；〔2〕函数 ylg(x 2 2x a)的值域为R ，求实数a 的取值范围；〔3〕f(x)log a (x2log 2a x)的定义域为(0,1)，求实数a 的取值范围．lg(x 22〔1〕Qy2xa)的定义域为R ，x 2 2xa0 恒成立，4 4a 0 ， a 1 ．〔2〕Qylg(x 22xa)的值域为R ，x 22x a 取遍一切正数，44a 0 ， a 1 ．12〔3〕由题意，问题可等价转化为不等式x2log2a x0的解集为0,1，记2C1:y2,C2:ylog2a x,作图形C1与C2，如下列图，只需C2过点11x2，，402a1，即满足0a1，且log2a1(1)2即可，解得a1．所以由图象22232111可以看出假设C1C22a4，那么log2a，即241，得：a1，所以a1,1。