数学家维纳的轶事

Ⅰ．背景材料维纳的故事维纳（1894～1964年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了．维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达25年．他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎．有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这位学生并不想知道答案，可是问他“方法”．学生说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法．维纳最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙．第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了．白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家．晚上维纳习惯性地回到旧居．他很吃惊，家里没人，从窗子望进去，家具也不见了，掏出钥匙开门，发现根本对不上齿．于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步．突然发现街上跑来一小女孩，维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运．我找不到家了，我的钥匙插不进去．”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你．”有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番．在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的．但这位学生不知道怎样接近他为好．这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于深思之中．这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想．但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……悟与问：维纳教授在生活上是如此健忘，在数学上却取得了非凡的成绩，这是为什么？Ⅱ．课前准备一、课标要求1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．二、预习提示1．关键原理：掌握y=ax2＋c中，a与c对二次函数图象的影响；以及y=ax2，与y=ax2＋c的开口方向，对称轴和顶点坐标．2．预习方法提示：作出y=ax2，y=ax2＋c的图象，观察y=x2的异同，由图象研究其函数的特点，结合图象掌握性质．三、预习效果反馈1．一般形式的二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当时，为y=ax2＋c的形式；当时，即为y=ax 2的形式．2．二次函数y=ax 2＋c 图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ，我们可以理解为y=ax 2沿 向 平移了c 个单位长度．3．二次函数y=2x 2，与y=－2x 2的图象形状相同，对称轴都是 轴，顶点都是 ，只是 不同，它们的图象关于 对称．4．二次函数y=ax 2中，a 不仅可以决定开口方向，也决定．Ⅲ．课堂跟讲 一、背记知识随堂笔记1．二次函数y=ax 2的对称轴为，顶点为 ．当a ＞0时，开口向 ；当x= 时，有最小值 ；在对称轴的 侧，则x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的 侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ．当a ＜0时，开口向 ；当x= 时，有最大值 ；在对称轴的左侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时，y 随x 的增大而 ．2．二次函数y=ax 2＋c 的图象与y=ax 2的图象形状相同，即开口大小方向一致，但在坐标系中的 不同， 也不同，二次函数y=ax 2＋c 的顶点为 ．如果c ＞0，y=ax 2＋c ，可以由y=ax 2沿y 轴向 平移c 个单位长度得到．如果c ＜0，y=ax 2＋c 可以由y=ax 2沿y 轴向 平移c 个单位得到．二、教材中“？”解答1．问题（P 42） 解答：首先汽车的速度v ≥0，其次一般说来，每辆汽车都有其最高时速，因此v 不能任意取值，一般应不小于0，不大于其最高时速．2．问题（P 43） 解答：（1）s=1001v 2和s=501v 2的图象都位于s 轴的右侧，函数值都随v 的增大而增大，都经过原点．不同之处，s=501v 2的图象在s=1001v 2的图象的内侧，说明s=501v 2的函数值的增长速度比较快．（2）36m ．可以通过计算501×602－1001×602=36（m ）得到，也可以由观察图象得到． 3．做一做（P 44） 解答：（1）表格中的数可以是：x=－3，－2，－1，0，1，2，3；y=18，8，2，0，2，8，18．（2）略．（3）二次函数y=2x 2的图象是一条抛物线，它与二次函数y=x 2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标都相同；不同之处是：y=2x 2的图象在y=x 2的图象的内侧，说明y=2x 2函数值的增长速度较快．二次函数y=2x 2开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）． 4．议一议（P 45） 解答：（1）二次函数y=2x 2＋1的图象与二次函数y=2x 2的图象形状相同，开口方向，对称轴也都相同，但顶点坐标不同．y=2x 2＋1也是轴对称图象，它的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，1）．图象略，只要将y=2x 2的象沿y 轴向上平移1个单位，就可得到y=2x 2＋1的图象．（2）二次函数y=3x 2－1的图象与二次函数y=3x 2的图象形状相同，开口方向、对称轴也都相同，但顶点坐标不同．它也是轴对称图形，其开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，－1）．实际上，只要将y=3x 2的图象向下平移1个单位，就可以得到y=3x 2－1的图象．三、重点难点易错点讲解重点：二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．难点：由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．易错点：本节的易错点是忽略y=ax 2＋bx ＋c 中的条件a ≠0，或分析问题不全面等．只有真正理解二次函数的定义和性质才能避免类似错误．【例1】 已知抛物线y=（m ＋1）x mm+2开口向下，求m 的值．错解：∵抛物线开口向下∴m ＋1＜0．∴m ＜－1．错解分析：考虑不够全面，只考虑m －1＜0，忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x 的次数为2，还应具备m 2＋m=2．【例2】 k 为何值时，y=（k ＋2）x 622--k k是关于x 的二次函数？错解：根据题意，得k 2－2k －6=2．解得k=4，k=－2．∴当k=4或k=－2时，y=（k ＋2）x 622--k k是二次函数．错解分析：忽略了y=ax 2中的隐含条件a ≠0． 四、经典例题精讲 （一）教材变型题【例1】 在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？解：图象略．（1）x=2时，据图象y=21x 2=2；x=2时，据图象y=3x 2=12．y=21x 2比y=3x 2的函数值小10．（2）x=－2时，据图象（也可由函数式计算）y=－21x 2=－2；x=－2时，据图象（也可计算）y=－3x 2=－12．y=－21x 2比y=－3x 2的函数值大10．（二）学科内综合题【例2】 已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）．（1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而减小；（4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．思维入门指导：待定系数法求表达式，及y=ax 2的性质和三角形面积综合知识的应用．（2）∵a=1，∴抛物线的表达式为y=x 2，其对称轴为y 轴，顶点为（0，0）． （3）∵a=1＞0，对称轴为y 轴，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．∵A 点为（－3，9），∴B 点为（1，1）．如图2-3-1，作AE ⊥x 轴于点F ，则AE=9，BF=1，EF=4． 则S梯形AEFB=21（AE ＋BF ）·EF=21（9＋1）·4=20，S △AEO =21·3·9=227，S △BOF =21·1·1=21，S △ABO =S 梯形AEFB－S △AEO －S △BOF =20－227－21=6．点拨：①两个函数的图象相交，用它们的表达式联立方程组可求出图象的交点坐标．②在坐标系中，非直角三角形的面积可以用分割，或用可求的图形面积的和差，求出面积．如本题，直线AB 与y 轴交点设为M ，也可用S △ABO = S △AOM －S △BOM 的方法．（三）应用题【例3】 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图2-3-2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为k 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．思维入门指导：建立坐标系，确定某些点的坐标为突破口．解：（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点为原点，∴设抛物线表达式为y=ax 2．由题意可知D 点的坐标为（10，－4），则把x=10，y=－4代入y=ax 2得－4=100a ，∴a=－251．∴抛物线的表达式为y=－251x 2．（2）当水位上升hm 时，水面与抛物线一交点的纵坐标为h －4．把y=h －4代入y=－251x 2中，得x 2=25（4－h ），∴x=±5h -4．∴桥下水面宽为d=10h -4（m ）． （3）当水面宽度为d=18m 时，18=10h -4．解得h=0．76（m ），∴水深将达到的高度为2＋0．76=2．76（m ）．∴当水深超过2．76m 时，就会影响船只顺利航行． 答：略．点拨：根据题意首先将实际问题转化为数学模型，即转化为二次函数关系，然后利用二次函数的知识来解决问题．【例4】 吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图2-3-3），大门的地面宽度为8米，两侧距离地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（ ）（精确到0．1米，水泥建筑物的厚度忽略不计）A ．9．2米B ．9．1米C ．9米D ．5．1米思维入门指导：适当建立坐标系，确定表达式及点A 、B 坐标．点拨：适当建立坐标系，建立二次函数关系，将实际问题转化为数学问题． （四）创新题【例5】 抛物线y=ax 2经过点A （－2，1），不求a 的大小，判断抛物线是否经过点M （2，1）和点N （1，－2）？思维入门指导：不解a ，可从抛物线性质入手．解：∵A 的坐标为（－2，1），∴抛物线y=ax 2的开口向上，即图象都在x 轴的上方． 由抛物线关于y 轴对称可知A 点关于y 轴对称点（2，1），即M 点也在抛物线上，抛物线y=ax 2经过点M ．∵抛物线在x 轴上方，∴不可能经过第四象限的点N （1，－2），∴抛物线y=ax 2不经过点N ．点拨：特殊点应用特殊解法． （五）中考题【例6】 （2003，武汉，4分）若二次函数y=ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为（ ）A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c答案：D 点拨：由二次函数y=ax 2＋c 关于y 轴对称，可知x=x 1、x 2时函数值相等，∴x 1、x 2互为相反数，即x 1＋x 2=0．当x 取0时，代入y=ax 2＋c ，得y=c ．本题巧妙的应用了函数的对称性．【例7】 （2003，甘肃，3分）已知h 关于t 的函数表达式为h=21gt 2（g 为正常数，t 为时间），则函数图象为图2-3-5中的（ ）答案：A 点拨：h=21gt 2，g 为正常数，t 为时间，t ＞0，21g ＞0，h 为t 的二次函数．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．直线y=x 与抛物线y=x 2－2的两个交点的坐标分别是（ ）A ．（2，2），（1，1）B ．（2，2），（－1，－1）C ．（－2，－2），（1，1）D ．（－2，－2），（－1，－1） 2．若二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象过点P （2，－8），则函数表达式为 ． 3．抛物线y=－91x 2－1的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是．若点（m ，－2）在其图象上，则m 的值是．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（12分 100分钟）一、基础题（1～6题每空2分，7～11题每题3分，12题6分，共49分）1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．3．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）xmm +2＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ） A ．y=21x 2B ．y=－21x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ） A ．y=41x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=31x 2和y=－31x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ） A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．21 D ．4112．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式： （1）y=ax 2经过（1，2）； （2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．二、学科内综合题（8分）13．如图2-3-7，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积． 三、学科间综合题（8分） 14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t （s ）和下落的距离h （m ）的关系是h=4．9t 2．求：（1）一高空下落的物体下落时间3s 时下落的距离； （2）计算物体下落10m ，所需的时间．（精确到0．1s ） 四、应用题（15题7分，16题4分，17题8分，共19分）15．已知一个正方形的周长为ιcm ，面积为Scm 2． （1）求S 与ι之间的函数表达式； （2）画出函数图象；（3）S 随ι的增大怎样变化？16．如图2-3-8，一座拱桥为抛物线，其函数表达式为y=－41x 2．当水位线在AB 位置时，水面宽12m ，这时水面离桥顶的高度h 是（ ）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m17．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ．水位上升3m ，就达到警戒线CD ，这时，水面宽度为10m ．（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？五、创新题（16分） （一）动态题18．如图2-3-10，在矩形ABCD 中，BC=4，AB=2．P 是BC 上一动点，动点Q 在PC 或其延长线上，BP=PQ ，以PQ 为一边的正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动．设BP=x ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分的面积为y ．（1）分别求出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数表达式； （2）在同一坐标系内画出（1）的函数图象． （二）开放题19．如图2-3-11，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6．（1）如图（a ），在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使O 点落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的表达式． （2）如图（b ），在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′．①求折痕AD 所在直线的表达式；②再作E ′F ∥AB 交AD 于F 点．若抛物线y=－121x 2＋h 过点F ，求此抛物线的表达式，并判断它与直线AD 的交点的个数．（3）如图（c ），一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记为E ″．请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．[]N六、中考题（20分）20．（2003，南京，5分）已知二次函数y=ax 2－2的图象经过点（1，－1），求这个二次函数的表达式，并判断该函数图象与x 轴交点的个数．21．（2004，宁安，3分）函数y=x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（2，0）B ．（－2，0）C ．（0，4）D ．（0，－4）22．（2003，海南，2分）今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来．下面图2-3-12的四个图中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（ ）23．（2003，上海，10分）卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1：11000的比例图上，跨度AB=5cm ，拱高OC=0．9cm ，线段DE 表示拱内桥长，DE ∥AB ，如图2-3-13甲．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度建立平面直角坐标系，如图2-3-13乙．（1）求出图乙中以这一部分抛物线为图象的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如果DE 与AB 的距离OM=0．45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长．（备用数据2=1．4，计算结果精确到1m ）加试题：竞赛趣味题（10分） 1．（4分）在1和1000之间有 个数不是100的倍数． 2．（2003，“TRULY 信利环”全国初中数学竞赛，6分）已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a 是正整数）的图象经过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b ＋c 的最大值为．参考答案Ⅱ．三、1．b=0；b=0、c=0 2．Y 轴；（0，c ）；y 轴（对称轴）；上3．y 轴；（0，0）；开口方向；x 轴 4．开口大小 Ⅲ．一、1．Y 轴；（0，0）；上；0；y=0；左；＜；减小；右；＞；增大；下；0；y=0；＜；增大；＞；减小2．位置；顶点；（0，c ）；上；下∴其交点坐标为（2，2）、（－1，－1）．点拨：求函数图象交点坐标，通常考虑并立方程组求其公共解．2．y=－2x 2解：将P （2，－8）代入函数y=ax 2，得－8=a ·22，∴a=－2．∴函数表达式为y=－2x 2．3．（0，－1）；y 轴；向下；±3 解：将（m ，－2）代入表达式y=－91x 2－1，得－91m 2－1=－2，∴m 2=9，m=±3．点拨：已知二次函数的函数值，求其自变量值时，由于其对称性，所以通常情况下都为两个值，不要丢漏．Ⅴ．一、1．下；0；大；－4 点拨：对二次函数y=ax 2＋c （a ≠0）性质的考查．3．±3；－12 解：将A （x ，－27）代入表达式y=－3x 2，得－3x 2=－27，解得x=±3； 将B （2，y ）代入得y=－3·22=－12．点拨：A （x ，－27）经过计算x 有两个解，这也是和函数图象的对称性一致的，同学们不要丢解．点拨：由抛物线开口向下，可得m ＋1＜0，又据二次函数定义m 2＋m=2，求m 的值，得表达式，从而得出其性质．6．y=－2x 2 解：由抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可知其表达式为y=ax 2，将点（－1，－2）代入得y=－2x 2．7．C 解：因为关于x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此，若x=x 时，y=－y ，代入A 、B 、C 、D 中，与y=2x 2相同的为C ．另解：根据关于x 轴对称的点的坐标特征，可用特例法即y=2x 2，取一点（1，2）．其关于x 轴对称点为（1，－2），代入A 、B 、C 、D ，只满足C 的表达式．8．A 解；二次函数y=ax 2，a 越大，开口越小，a 越小，开口越大．点拨：a 的正负决定抛物线的开口方向，a 的大小决定抛物线开口的大小． 9．C 点拨：y=31x 2与y=－31x 2关于x 轴对称，关于原点对称（中心对称），且都经过原点（0，0），交点为原点，都是正确的．而两条抛物线本身关于y 轴是对称的，但两抛物线并不关于y 轴对称．10．C 解：抛物线开口向上，则a ＞0，直线y=ax ＋a ，应过一、二、三象限，可否定A 、B ；抛物线开口向下，则a ＜0，直线y=ax ＋a ，应过第二、三、四象限，可否定D ，因而选C ．点拨：本题主要考查二次函数中a 与图象开口方向的关系，同时考查了一次函数系数与其图象在坐标系中的位置关系．点拨：理解二次函数与y=－x ＋4，y=x 的图象的交点相同，即此点是直线y=－x ＋4，y=x ，y=ax 2三个图象的公共点．12．解：（1）将点（1，2）代入y=ax 2，得2= a ·12，∴a=2．∴y=2x 2． （2）根据二次函数的性质，可知y=－21x 2．（3）将点（2，m ）代入y=21x ＋3，得m=21·2＋3，∴m=4．将点（2，4）代入y=ax 2，得4= a ·22，∴a=1．∴y=x 2．∵点C 在第一象限，∴C 点坐标为（1，2）．则S △AOC =21·3·2=3．（2）y=x 2＋1的顶点为（0，1），设为点D ，则BD=2．则S △BDC =21·BD ·1=21·2·1=1．三、14．解：（1）h=4．9×32=44．1（m ）． （2）h=10，则10=4．9t 2，t=1．4（s ）． 四、15．解：（1）根据题意，得S=161ι2（ι＞0）．（2）列表，图象如答图2-3-1．（3）∵a=161＞0，ι＞0，∴S 随ι的增大而增大．点拨：在解决二次函数实际应用问题时，写函数表达式，画图象时，应注意自变量ι的取值范围．16．D 解：根据图象可以知道，A 、B 两点的横坐标分别为－6，6，则代入y=－41x 2，解得其纵坐标为y=－41·62=－9，则水面离桥顶的高度h 是9m ．点拨：找到本题中隐含条件，A 、B 两点的横坐标，而其纵坐标的绝对值就是离开桥顶的高度值．17．解：（1）设拱桥顶到警戒线的距离为d ．∵抛物线顶点为（0，0），对称轴为y 轴，∴设其表达式为y=ax 2．由题意知C 点坐标为（－5，－d ），A 的坐标为（－10，－d －3），且y=ax 2过A 点、C 点．（2）∵洪水到来时，水位以每小时0．2m 的速度上升， ∴从警戒线开始再持续2.01=5（小时）到拱顶．点拨：解决实际问题，适当建立坐标系，将实际数据转化为数学条件，二次函数与实际问题结合，是近几年的热点．五、（一）18．解：（1）根据题意可知，当0≤x ≤2时，重叠部分面积y=x 2；当2≤x ≤4时，设PS 交AD 于点E ，则重叠部分面积y=S 矩形ABCD－S矩形ABPE=8－2x ．（2）图象如答图2-3-2．点拨：此题为动态题，掌握动中含静的图形是解题关键．（二）19．解：（1）由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG=OC=6．∴G （6，0），C （0，6）．设直线CG 的表达式为y=kx ＋b ，则0=6k ＋b ，6=0＋b ，∴k=－1，b=6．∴直线CG 的表达式为y=－x ＋6．（2）①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610 =8，∴C E ′=2．设OD=s ，则DE ′=s ，CD=6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=（6－s ）2＋22． ∴s=310，则D （0，310）．设AD ：y=k ′x ＋310，由于它过点A （10，0），∴k ′=－31．∴AD 直线为y=－31x ＋310．②∵E ′F ∥AB ，E ′（2，6），设F （2，y F ）．∵F 在AD 上，∴y F =－31×2－310=38．∴F （2，38）．又F 在抛物线上，∴38=－121×22＋h ．∴h=3．∴抛物线的表达式为y=－121x 2＋3． 将y=－31x ＋310代入y=－121x 2＋3，得－121x 2＋31x －31=0．∵△=（31）2－4×（－121）×（－31）=0，∴直线AD 与抛物线只有一个交点．（3）例如猜想1：折痕所在直线与抛物线y=－121x 2＋3只有一个交点；或猜想2：若作E ″F ′∥AB ，交D ′G ′于F ′，则F ′在抛物线y=－121x 2＋3上．验证1：在图（a ）中，折痕为CG ．将y=－x ＋6代入y=－121x 2＋3，得－121x 2＋x －3=0．∵△=1－4×（－3）×（－121）=0，∴折痕CG 所在的直线的确与抛物线y=－121x 2＋3只有一个交点．验证2：在图（a ）中，D ′即C ，E ″即E ，G ′即G ，交点F ′也为G （6，0）．∵当x=6时，y=－121x 2＋3=－121×62＋3=0，∴G 点在这条抛物线上．点拨：这是一道综合性的开放题，合理猜想，正确验证是解答本题的关键．六、20．解：根据题意，得a －2=－1，∴a=1．∴这个二次函数表达式为y=x 2－2．因为这个二次函数开口向上，顶点坐标为（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．21．D 点拨：图象与y 轴交点的横坐标x=0．22．C23．解：（1）∵顶点C 在y 轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数表达式为y=ax 2＋109．∵点A （－25，0）（或B （25，0））在抛物线上，∴0=a ·（－25）2＋109，得a=－12518．因此所求抛物线表达式为y=－12518x 2＋109（－25≤x ≤25）．（2）∵点D 、E 的纵坐标为209，∴209=－12518x 2＋109，得x=±245．所以点D 的坐标为（－245，209），点E 的坐标为（245，209），∴DE=425－（－425）=225．因此卢浦大桥拱内实际桥长为225×11000×0．01=2752≈385（m ）． 加试题：1．990 解：在1到1000之间100的倍数有100，200，300，…，1000共有10个，所以不是100的倍数的数共有990个．2．－4 解：因为二次函数过点A （－1，4），B （2，1）， ∴⎩⎨⎧=++=+-．，1244c b a c b a 解得⎩⎨⎧-=--=．，a c a b 231∵二次函数与x 轴有两个不同交点，∴△=b 2－4ac ＞0，（－a －1）2－4a （3－2a ）＞0．即（9a －1）（a －1）＞0．又∵a 为正整数，a ＞1，∴a ≥2．又∵b ＋c=－3a ＋2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，等号成立，故b ＋c 的最大值为－4．。

听爸爸讲数学家故事作者：来源：《小天使·五年级语数英综合》2016年第11期素素放学一回到家，就嚷嚷着：“饿死了，饿死了。

爸爸，我们开饭吧！”咦，怎么没人答应呢？素素眼睛一转，想：“哼，这个书虫爸爸，准又是在书房里看书，忘了做饭了。

”她探头往书房一看，果然，爸爸正捧着一本书，津津有味地读着呢，还抿了一下嘴，似乎正在品尝什么美味似的。

素素气呼呼地一把夺过书，说：“爸爸，你又忘了时间了！”爸爸挠了挠头，似乎还没从书的世界里走出来，说：“哦？怎么了？现在几点了？”素素说：“还说呢，天都快要黑了。

我看你快连自己是谁都忘记了吧！”爸爸伸了个懒腰，不好意思地笑了笑，说：“连大数学家维纳都会忘了自己是谁，你爸爸我一个小小的科普作家忘记了按时做饭又有什么稀奇的呢！”素素一听，来了兴趣：“还有这样的数学家？快给我说说他的故事吧！”“那好，先给你说说维纳的故事，就当是爸爸我将功补过了。

嗯，从哪里说起呢？”爸爸想了想，又说，“维纳是现代控制论之父，他是最早获得国际荣誉的美洲数学家。

有一天，他的一个学生看到他正在邮局里寄东西，可是，却来来回回地踱着步，不时地还搓搓手，似乎在思考着什么难题。

这位学生虽然有点怕打扰他，可还是有礼貌地开口打招呼：…您好，维纳教授！‟你猜怎么着？”素素听得入迷，似乎也忘记自己的肚子饿了，问：“维纳生气了？”爸爸笑起来，说：“不，不但没有生气，维纳教授还高兴地一下子抓住了学生的手，说…哦，对了，维纳！‟，原来呀，他要在标签上写寄件人的名字，但是却忘记了自己叫什么……”素素也开心地笑起来，说：“这个数学家，还真马虎。

”爸爸爱怜地摸摸素素的头发，说：“维纳也有一个像你一样可爱的女儿，有一次，还多亏了这个女儿，要不维纳就找不着家了呢！”素素奇怪地问：“那到底是怎么一回事呢？”爸爸说：“这个故事是维纳的故事里最出名的一个。

有一次，他搬了新家，妻子知道他全身心都在思考他的数学问题，于是就在一张纸条上写了新家的地址，还替他把旧的钥匙换成了新的。

写给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们写给那些了解数学家和不了解数学家的人们Heroes in My HeartEdited by ukim贰·作者说明这是我在北大未名bbs连载的66篇文章，讲的是数学家们的故事。

从第一次发文到现在，已经将近三个月。

在davibaby的帮助下，把这些东西编成这么一个小册子，和bbs上的版本相比，这里的错别字要明显的少了，很多数学家的名字后面还加了中文的译名，不过，我还是想尽量保留bbs上的风格，从一开始的发信日期到最后的签名档，都作了保留。

希望大家喜欢。

叁·开篇辞发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics标题: 从今天开始连载数学家们的故事发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:20:15 星期六), 转信给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们给那些了解数学家和不了解数学家的人们在北大混了四年，一事无成；在未名上bbs也呆了快一年了，制造了几千篇的垃圾。

要毕业的人想法总是奇怪的，譬如说竟然真的要正经的写几篇文章了。

最初写成这些东西的时候，我发给了几个朋友，一个学数学的师弟说他很感动，一个非数学系的mm说她后悔当初没有选数学系。

无论怎样，他们能这样子讲，我很感动，这是发自内心的那种。

现在的打算是每天贴2-3个故事，一直到欧毕业那天。

很多事情难免有些tooold，这个我也没有办法，激动人心的事情毕竟只有那么多。

不多说了，真心的希望大家会喜欢，哪怕只有一点点的喜欢。

这些文字偶给了一个名字，叫做我心目中的英雄--- Heroes in My Heart美丽有两种一是深刻又动人的方程一是你泛着倦意淡淡的笑容肆·作者序发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics标题: Heroes in My Heart (序)发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:23:24 星期六), 转信To MusicFor the Encouragement and Smiles She Gave Me 废话几句。

数学家--中英文对照[zz]Weierstrass 魏尔斯特拉斯（古典分析学集大成者，德国人）Cantor 康托尔（Weiestrass的学生，集合论的鼻祖）Bernoulli 伯努力（这是一个17世纪的家族，专门产数学家物理学家）Fatou 法都（实变函数中有一个Fatou引理，为北大实变必考的要点）Green 格林(有很多姓绿的人，反正都很牛）S.Lie 李 (创造了著名的Lie群，是近代数学物理中最重要的一个概念)Euler 欧拉（后来双目失明了，但是其伟大很少有人能与之相比）Gauss 高斯（有些人不需要说明，Gauss就是一个）Sturm 斯图谟（那个Liouvel-Sturm定理的人，项武义先生很推崇他)Riemann 黎曼(不知道这个名字，就是说不知道世界上存在着数学家）Neumann 诺伊曼（造了第一台电脑，人类历史上最后一个数学物理的全才）Caratheodory 卡拉西奥多礼（外测度的创立者，曾经是贵族）Newton 牛顿（名字带牛，实在是牛）Jordan 约当（Jordan标准型，Poincare前的法国数学界精神领袖）Laplace 拉普拉斯（这人的东西太多了，到处都有）Wiener 维纳（集天才变态于一身的大家，后来在MIT做教授）Thales 泰勒斯（古希腊著名哲学家，有一个他囤积居奇发财的轶事）Maxwell 麦克斯韦（电磁学中的Maxwell方程组）Riesz 黎茨（泛函里的Riesz表示定理，当年匈牙利数学竞赛第一）Fourier 傅立叶(巨烦无比的Fourier变换，他当年黑过Galois)Noether 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母）Kepler 开普勒（研究行星怎么绕着太阳转的人)Kolmogorov 柯尔莫戈洛夫(苏联的超级牛人烂人，一生桀骜不驯）Borel 波莱尔（学过数学分析和实分析都知道此人）Sobolev 所伯列夫（著名的Sobolev空间，改变了现代PDE的写法）Dirchlet 狄利克雷（Riemann的老师，伟大如他者廖若星辰）Lebesgue 勒贝格（实分析的开山之人，他的名字经常用来修饰测度这个名词） Leibniz 莱不尼兹（和Newton争谁发明微积分，他的记号使微积分容易掌握） Abel 阿贝尔（天才，有形容词形式的名字不多，Abelian就是一个）Lagrange 拉格朗日（法国姓L的伟人有三个，他，Laplace，Legendre) Ramanujan 拉曼奴阳（天资异禀，死于思乡病）Ljapunov 李雅普诺夫（爱微分方程和动力系统，但更爱他的妻子）Hold er 赫尔得（Holder不等式，L-p空间里的那个）Poisson 泊松（概率中的Poisson过程，也是纯数学家）Nikodym 发音很难的说（有著名的Ladon-Nikodym定理）H.Hopf 霍普夫（微分几何大师，陈省身先生的好朋友）Pythagoras 毕达哥拉斯(就是勾股定理在西方的发现者）Baire 贝尔(著名的Baire纲)Haar 哈尔（有个Haar测度,一度哥廷根的大红人）Fermat 费马（Fermat大定理，最牛的业余数学家，吹牛很牛的）Kronecker 克罗内克（牛人，迫害Cantor至疯人院）udau 朗道（巨富的数学家，解析数论超牛）Markov 马尔可夫(Markov过程)Wronski 朗斯基（微分方程中有个Wronski行列式，用来解线性方程组的）Zermelo 策梅罗（集合论的专家，有以他的名字命名的公理体系）Rouche 儒契（在复变中有Rouche定理Rouche函数）Taylor 泰勒（Taylor有很多，最熟的一个恐怕是Taylor展开的那个）Urysohn 乌里松(在拓扑中有著名的Urysohn定理)Frechet 发音巨难的说，泛函中的Frechet空间Picard 皮卡（大小Picard定理，心高气敖，很没有人缘）Schauder 肖德尔（泛函中有Schauder基Schauder不动点定理）Lipschiz 李普西茨（Lipshciz条件，研究函数光滑性的）Liouville 刘维尔（用Liouville定理证明代数基本定理应该是最快的方法）Lindelof 林德洛夫（证明了圆周率是超越数，讲课奇差）de Moivre 棣莫佛（复数的乘法又一个他的定理，很简单的那个）Klein 克莱因（著名的爱尔兰根纲领，哥廷根的精神领袖）Bessel 贝塞尔（Hilbert空间一个东西的范数用基表示有一个Bessel定理）Euclid 欧几里德（我们的平面几何学的都是2000前他的书）Kummer 库默尔（数论中最有影响的几个人之一）Ascoli 阿斯克里（有Ascoli－Arzela定理，要一致有界等度连续的那个）Chebyschev 切比雪夫(他证明了n和2n之间有一个素数）Banach 巴拿赫（波兰的牛人，泛函分析之父）Hilbert 希尔伯特（这个也没有介绍的必要）Minkowski 闵可夫斯基（Hilbert的挚友，Einstein的“恩师”）Hamilton 哈密尔顿（第一个发现了４元数，在一座桥上）Poincare 彭加莱(数学界的莎士比亚）Peano 皮亚诺（有Peano公理，和数学归纳法有关系）Zorn 佐恩(Zorn引理，看起来显然的东西都用这个证明)一、伯努利家族Bernoulli（伯努利）家族(1)Euler（欧拉）停止了生命，也就停止了计算。

数学家的故事序废话几句。

多年以前，我有一个很宏伟的计划，打算写一本厚厚的书。

这本书有三部，第一部写那些数学牛人们的传奇动人荒诞不经的轶事，第二部充满着历史上最最经典的定理最最美妙的证明，第三部去真实的纪录北大数学的这群烂人，写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生活。

这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将永远是一个美好的梦。

所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的事。

第一次因为数学感动，是听到大人们讲华罗庚先生的故事，不知道那时候多大，隐约记得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西，怕他们把自己的算法偷去，于是所有的东西都是心算。

故事的真实性自然不可信，不过这很让小孩子神往。

我要讲述的也是这么一些事情，很多都是高中和大一大二读过的，那是一段美妙的时光。

美妙的东西希望大家一起分享，与人乐乐。

最后，按照写序的一般格式，我来感谢一下应该感谢的人们。

感谢knots陪我一起扭伤脚腕一起看遍好莱坞的美女，感谢hyson和我一起用两块八的牛奶煮面，感谢alpha和我两次同居在那简陋的破屋里冻得瑟瑟发抖，感谢doudoulf那银玲般的笑声，感谢justinlee, mashimaro, aixuexi, transferrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同进行着富有想象力的意淫。

是他们的存在，回忆这个词才有了色彩。

Bernoulli 家族(1)Euler停止了生命，也就停止了计算。

——de Condorcet这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏。

1．John Bernoulli(约翰贝努利)在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli(雅可比贝努利),这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。

数学家的故事数学家的故事：高斯的故事德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。

高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。

他八岁时进入乡村小学读书。

教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小屁孩读书，真是大材小用。

而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是数学教师情绪低落的一天。

同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。

谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。

”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。

有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。

还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。

“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。

”他想不可能这么快就会有答案了。

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。

”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。

高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。

他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。

在他的鼓励下，高斯在以后数学方面作出了重要的研究。

数学家的故事：华罗庚的故事华罗庚（1910——1982）出生于江苏太湖畔的金坛县，因出生时被父亲华老祥放于箩筐以图吉利，“进箩避邪，同庚百岁“，故取名罗庚。

10位数学家的孩提时代No. 10 祖冲之：10岁豪言，不求升官发财，只求得知宇宙之奥秘祖冲之是我国南北朝时期的数学家、天文学家。

祖冲之的数学著作《缀术》记载了很多数学计算的方法，比如一些特殊的二次方程和三次方程根的计算。

另外，祖冲之还将圆周率推算到了3.1415926到3.1415927之间，也是当时对圆周率计算精度最高的。

祖冲之的爷爷、爸爸都是当官的，祖冲之小时候被逼着学习四书五经就是必然的了。

但是，小祖冲之并不擅长学习这些，经常因为无法背诵课文而被爸爸骂成蠢猪笨牛。

最后还是祖冲之的爷爷出来说话：“算了算了，书念不好也许其他的能做好呢。

别再难为孩子了。

”某个机会，祖冲之的爷爷发现祖冲之对天文学很感兴趣，于是给祖冲之找来很多关于天文学的书。

看到小祖冲之读得津津有味，大家都很高兴。

于是，祖孙三人就经常一起讨论天文知识。

10岁那年，家里带着祖冲之去天文学家何承天的家里。

何承天见祖冲之对天文感兴趣，满心欢喜。

爷爷见状，顺水推舟道：“你看你这么喜欢这孩子，就收了他当徒弟吧？”何承天转过头来，对小祖冲之说道：“小盆友，研究天文历法非常苦逼呀，而且不能升官发财，你真愿意搞这个？”10岁的祖冲之一本正经的正面回答：“升官发财算什么，我想知道的是宇宙的奥秘！”传奇指数：★★★逆天指数：★★★No. 9 泊松：襁褓中就开始摇摆，于是成为研究摆的顶级专家泊松是法国数学家。

数学中留下了很多他的名字。

泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流……泊松的父亲是退役的军人。

据说泊松小时候，泊松被母亲交给保姆看管。

保姆觉得泊松体格太差，保姆忙不过来的时候，就把泊松放在一个摇篮式的布袋里，并将布袋挂在棚顶的钉子上。

于是，在布袋里扑腾的泊松就被吊着他摆来摆去。

保姆认为，这能锻炼身体。

泊松后来说，我在很小的时候就开始为研究摆准备了，嗯，就是那个时候。

泊松对摆的研究情有独钟，一直到晚年都没有改变兴趣。