高考数学复习点拨-求函数解析式的几种常用方法.doc

高考数学求函数解析式的方法求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

一．【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

练习 设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图象在y 轴上截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求)(x f 的表达式.二．【换元法】（注意新元的取值范围） 已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三．【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

【例2】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0四．【消元法】(构造方程组)若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

【例3】已知3f(x)+f(1/x)=x ，求f(x)练习．若x xx f x f +=-+1)1()(，求)(x f .五．【赋值法】在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

求函数解析式的几种常用方法一、高考要求:求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力. 重难点归纳:求解函数解析式的几种常用方法主要有:1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.二、题例讲解:例1．(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a --.(其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式. (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x )的表达式.命题意图:本题主要考查函数概念中的三要素:定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.知识依托:利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析:本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法:(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解:(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t .因此f (t )=12-a a .(a t －a －t )∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为.f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1 或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.例2．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图:本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.知识依托:函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线. 错解分析:本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法:合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式. 解:(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2. (2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ·(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知:f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.例3．已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1).解法一:(换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1 令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3) ∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二:(配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5 ∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4).三、巩固练习:1.若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A 3B 23C －23D －32.设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )A .f (x )=(x +3)2－1B .f (x )=(x －3)2－1C .f (x )=(x －3)2+1D .f (x )=(x －1)2－1 3.已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________. 4.已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________.5.设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.6.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.8.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.四、参考答案:1.解析:∵f (x )=34-x mx . ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3. 答案:A2.解析:利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称， 故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1. 答案:B3.解析:由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x1. 由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x2－x .答案:f (x )=x2－x4.解析:∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1, ∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b )x +a +b =bx +x +1. 故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x . 答案:21x 2+21x 5.解:利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x . 6.解:(1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4. (2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4, 又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4, 设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)·(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764,当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号.∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616.7.解:(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD 可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43(4)32( 106)21(22)10(22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0； 当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ·BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21·1·1=21；当P 在DA 上时， 即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10(0x x x x x x8. (1)证明:∵y =f (x )是以5为周期的周期函数， ∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解:当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0 得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4). (3)解:∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数， ∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ).(0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,f (1)=k ·1=k ,∴k =－3. ∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x , 当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96(5)7(2)64(1532x x x x .。

求函数解析式的几种方法函数的表示方法有三种:解析式法、图像法、列表法,其中最常用的是解析式法,下面介绍几种求函数解析式的方法。

一、利用换元法求函数的解析式。

例1、已知函数f(ex)=x2+1,求函数f(x)的解析式。

解:设ex=t,t>0,则x=㏑t, f(t)=㏑2t+1.则f(x)=㏑2x+1 (x>0).注:已知f[g(x)]是关于x的函数即f[g(x)]=F(x) 求函数f(x)的解析式。

通常令g(x)=t,解出x=φ将x=φ代入f[g(x)]=F(x)中,求得f(t) 的解析式,再用x替换t便得f(x) 的解析式。

用换元法求函数解析式时,如果所求函数的定义域不是全体实数,需要根据实际情况标明函数的定义域.二、根据函数的奇偶性求函数的解析式。

例2、设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,﹢∞)时f(x)=x2+lg(1+x), 求函数f(x)的解析式。

解:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,﹢∞)。

f(x)=-f(-x)=-x-lg(1-x)则当x∈(0,﹢∞),f(x)=x2+lg(1+x),x=0时,f(x)=0 x∈(-∞,0),f(x)=-x2-lg(1-x)三、消元法求函数的解析式。

例3、已知函数f(x)满足3f(x)+2f()=4x, 求函数f(x)的解析式.解:用代换x,列方程组解f(x)3f(x)+2f()=4x, 3f()+2f(x)=解得f(x)=x- 。

注:此题是利用消元法和函数奇偶性求函数的解析式.四、根据对称性求函数的解析式。

例4、已知函数f(x)=x2-2x, x∈[2,3],且f(x)关于(2,0)中心对称,求x∈[1,2]上的解析式。

解:设p(x,y)是x∈[1,2]图像上的点,则其关于(2,0)的对称点为Q(4-x,-y),则-f(x)=(4-x)2-2(4-x) f(x)=-(4-x)2+2(4-x)。

五、利用赋值法求函数的解析式。

例5、已知函数y= f(x)对任意实数x. y均满足f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)且f(0)=1,求函数y= f(x)的解析式。

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 阳丰泽年级 高三 性别男教学课题 函数的单调性、求函数解析式教学 目标 函数的单调性是函数的核心内容，也是高考重点考查的知识，主要包括对函数单调性定义的考查，对函数图象的考查，对复合函数单调性和对数函数的单调性的综合应用的考查等等。

重点 难点函数单调性的概念 函数单调性的判断和证明课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________第 讲 函数的单调性、求函数解析式1．上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下： （1）函数有几个要素？各是什么？（2）函数的定义域怎样确定？怎样表示？（3）函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质 2．观察函数的图像：（当x 增加的时候，y 的变化怎样？）函数2y x =的图像在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？（随着x 的增加，y 值在增加），3y x =又怎样？知识点一：函数的单调性 1．单调函数的定义（1）单调递增函数的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）单调减函数的定义：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2013年高考数学七种函数类型解题技巧归纳一：函数解析式的求法函数解析式的问题是高考的命题热点，其求解方法很多，最常用的有以下几种：①换元法和配凑法；②待定系数法：适用于已知函数模型（如指数函数、二次函数等）和模型满足的条件下解析式，一般先设出函数的解析式，然后再根据题设条件待定系数；③解方程组法；④函数的性质法，在求某些函数解析式时，只给出了部分条件（如函数的定义域、经过某些特殊点、部分关系式、部分图象特征等）这类问题具有抽象性、综合性、和技巧性等特点，需要利用函数的性质来解；⑤赋值法：所给函数有两个变量时，可对这两个变量赋予特殊数值代入，或给两个变量赋予一定的关系代入，再用已知条件，可求出未知函数，至于赋予什么特殊值，应根据题目特征而定。

二：巧解函数定义域问题1.根据函数的解析式求函数的定义域，主要从以下几个方面来考虑：分式中分母不为零；2.复合型函数定义域的问题包含两类：一类是已知原函数的定义域来求复合函数的定义域，只需满足，解出即可；一类是已知复合函数的定义域来求原函数的定义域，即的值域为的定义域；三：判断函数单调性的方法巧掌握1.定义法。

2.利用一些常见函数的单调性，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性加以判断。

3.图象法。

4.在共同的定义域上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。

5.奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性。

6.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性。

7.对于复合函数的单调性，遵循“同增异减”的原则，即只有内外层函数相同时则为增函数，一增一减则为减函数。

8.导数法，函数在某区间内可导，如果，则函数为增函数，如果，则函数为减函数。

四：函数奇偶性的判断方法及解题策略确定函数的奇偶性，一般先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，常用方法有：①利用奇偶性定义判断；②利用图象进行判断，若函数的图象关于原点对称则函数为奇函数，若函数的图象关于轴对称则函数为偶函数；③利用奇偶性的一些常见结论：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，偶奇奇，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，偶奇奇；④对于偶函数可利用，这样可以避免对自变量的繁琐的分类讨论。

求函数的解析式的几种常见方法求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多, 若在考试的时候方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，起到事半功倍的作用。

下面就对一些常用的方法举例如下.一．换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f （x ）的解析式。

换元后要确定新元t 的取值范围。

例题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.令t=3x+1， x=31-t 354)(3314)(-=⇒+-⨯=⇒t t f t t f 354)(-=⇒x x f 二．配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。

一般的利用完全平方公式例题2．已知221)1(xx x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 2)(2)1()1(22+=⇒+-=-⇒x x f xx x x f 三．待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例题3．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++, 求)(x f 与)(x g .解;设c bx ax x f =+=2)(,则g(x)=2x (ax 2+bx+c) 四．构造法:求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例题4．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x xf x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式. 解;令x x 1=，xx f x f 14)(2)1(3⨯=+ 联立方程，得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x f x f x x f x f 4)(2)1(34)1(2)(3 ， 解得x x x f 58512)(-= 五．利用给定的特性求解析式;一般为已知x>0时， f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。

第九讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测知识梳理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归纳拓展(a>0，x>0)在区间(0，a]内单调递减，在区间[a，＋∞)1．函数f(x)＝x＋ax内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．(√)(4)不存在x0，使ax0<x a0<log a x0.(×)[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(3)对于在(0，＋∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快，其次是幂函数和对数函数．(4)当a∈(0,1)时存在x0，使ax0<x a0<log a x0.题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(D)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.4．(必修1P161T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子U形场地技巧赛．比赛是在一个形状类似于U形的槽子里进行．运动员一般需要在U形槽内做5到6个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的流畅性及美观性来判定．U形槽的结构由宽阔平坦的底部和两侧的凹面斜坡(四分之一的圆管)组成．宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下一个动作做准备．根据下图数据可得U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度(米)分别为(C)A．18°，6.7B．18°，10.05C．72°，6.7D．72°，10.05[解析]根据U形槽的结构特征即可求解．由题意，因为U形槽两侧圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90°－18°＝72°，底部的宽度为20.1－6.7×2＝6.7(米)，故选C.题组三走向高考5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ，10,5分)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg pp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100P0D．p1≤100p2[解析]对于C，由题意知20×lg p3p0＝40，即lg p3p0＝2，所以p3＝100p0，故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg p1p0≥20×lgp2p0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lg p2p0∈[50,60]，所以52≤lgp2p0≤3，所以p 2∈[1052P 0,103P 0]，即p 2≤103p 0＝10p 3，故B 错误；对于D ，L p 1＝20×lg p 1p 0∈[60,90]，所以3≤lg p 1p 0≤92，所以p 1∈[103p 0,1092p 0]，因为100p 2∈[1092p 0,105P 0]，所以p 1≤100p 2，故D 正确，故选ACD.6．(2022·北京高考卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(D )A ．当T ＝220，P ＝1026时，二氧化碳处于液态B ．当T ＝270，P ＝128时，二氧化碳处于气态C ．当T ＝300，P ＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D ．当T ＝360，P ＝729时，二氧化碳处于超临界状态[解析]对于A 选项，当T ＝220，P ＝1026，即lg P ＝lg 1026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B 选项，当T ＝270，P ＝128，即lg P ＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P ∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C 选项，当T ＝300，P ＝9987，即lg P ＝lg 9987<lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D 选项，当T ＝360，P ＝729，即lg P ＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P ＝lg 729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D.考点突破·互动探究函数模型及应用考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透1.(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(ABC )A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒[解析]从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A 正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B 正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误．2．(2024·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t (年)与树高y (米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y ＝2t －a ；②y ＝a ＋log 2t ；③y ＝12t ＋a ；④y ＝t ＋a 中(其中a 为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是_②__(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为103米．[解析]由散点图的走势，知模型①不合适．4，73y ＝13＋log 2t ；③y ＝12t ＋13；④y ＝t ＋13，当t ＝1时，代入④中，得y ＝43，与图不符，易知拟合最好的是②.将t ＝8代入②式，得y ＝13＋log 28＝103(米)．名师点拨：1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2已知函数模型的实际问题——师生共研所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I 表示人类能听到的声强范围，其中能听见的1000Hz 声音的声强(约10－12W/m 2)为标准声强，记作I 0，声强I 与标准声强I 0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L ，即L ＝lg I I 0，声强级L 的单位名称为贝(尔)，符号为B ，取贝(尔)的十倍作为响度的常用单位，称为分贝(尔)．简称分贝(dB)．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，假设张飞大喝一声的响度为140dB ，一个士兵大喝一声的响度为90dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为(D )A．1万B．2万C．5万D．10万[解析]∵声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L＝lg II0，且I0＝10－12W/m2，且张飞大喝一声的响度为140dB.∴140＝10lg II0，解得I＝I0×1014＝10－12×1014＝100(W/m2)，又一个士兵大喝一声的响度为90dB，∴90＝10lg I1I0，解得I1＝I0×109＝10－12×109＝10－3(W/m2)，∵II1＝10010－3＝105，∴如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声，那么这群士兵的人数为10万，故选D.名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．【变式训练】(2023·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量X n(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足X n＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg1.6≈0.20，ln1.6≈0.47)(B)A．5B．10C．15D．20[解析]由题意知X0＝0.1，X n＝10，令10＝0.1×1.6n，得1.6n＝100，取以10为底的对数得n lg1.6＝2，所以n＝2lg1.6≈10.故选B.考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数分段函数模型某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P0≤x≤8，8<x≤14.设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)．(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－120x2＝－120x2＋25x＋145，当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－3x＋810＝110x＋2，即y2＋25x＋145，0≤x≤8，2，8<x≤14.(2)当0≤x≤8时，y＝－120x2＋25x＋145＝－120(x－4)2＋185，所以当x＝4时，y max＝18 5 .当8<x≤14时，y＝110x＋2，所以当x＝14时，y max＝17 5 .因为185>175，所以当x＝4时，y max＝185.所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．角度2指数函数与对数函数模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s ，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(C )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析]设石片第n 次“打水漂”时的速率为v n ，则v n ＝100×0.90n －1.由100×0.90n －1<60，得0.90n －1<0.6，则(n －1)ln 0.90<ln 0.6，即n －1>ln 0.6ln 0.9≈－0.511－0.105≈4.87，则n >5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式训练】1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A(a 为常数)，广告效应为D＝a A－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为14a2(用常数a表示)．[解析]令t＝A(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2－12a＋14a2.所以当t＝1 2a，即A＝14a2时，D取得最大值．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)(B) A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天[解析]因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I(t)＝e rt＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln2 0.38≈0.690.38≈1.8天，故选B.名师讲坛·素养提升函数y＝x＋ax(a>0)模型及应用杭州市2023年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元．每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G(x)(单位：万元)与年产量x(单位：万台)满足如下关系式：G(x)－2x，0<x≤20，＋2000x－9000x(x＋1)，x>20.(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大年利润．[解析](1)由题意知，W(x)＝xG(x)－80x－50，所以W(x)2x2＋100x－50，0<x≤20，10x－9000x＋1＋1950，x>20.(2)由(1)知．W(x)2(x－25)2＋1200，0<x≤20，960－10(x＋1)＋9000x＋1，x>20，所以当0<x≤20时，W(x)单调递增，则W(x)max＝W(20)＝1150；当x>20时，W(x)≤1960－210(x＋1)·9000x＋1＝1360，当且仅当x＝29时等号成立．由于1360>1150，所以当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大，为1360万元．名师点拨：1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．2．利用模型f(x)＝x＋ax(a>0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．【变式训练】(2022·全国高三专题练习)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x(百辆)需另投入成本y(万元)，且y＝x2＋100x，0<x<40，x＋10000x－4500，x≥40.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析](1)由题意得当0<x<40时，S(x)＝500x－(10x2＋100x)－3000＝－10x2＋400x－3000，当x≥40时，S(x)＝500xx＋10000x－43000＝1500－x－10000x，所以S(x)10x2＋400x－3000，0<x<40，500－x－10000x x≥40.(2)由(1)得当0<x<40时，S(x)＝－10x2＋400x－3000，当x＝20时，S max(x)＝1000，当x≥40时，S(x)＝1500－x－10000x＝1500∵x＋10000x≥2x·10000x＝200，当且仅当x＝10000x，即x＝100时等号成立，∴S(x)≤1500－200＝1300，∴x＝100时，S max(x)＝1300，∵1300>1000，∴x＝100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元．提能训练练案[14]A组基础巩固一、单选题1．如图所示的是一份统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的有(C)(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2019年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2020年；(4)虽然2021年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项B．2项C．3项D．4项2．(2024·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是(A)[解析]根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x 上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．3．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝rk＋m0－rR－kv t(m0为初始河水污染质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln10≈2.30)(C)A．1个月B．3个月C．半年D．1年[解析]由题可知，m(t)＝m0e－180t＝0.1m0，∴e－180t＝0.1，∴－180t＝ln0.1≈－2.30，∴t≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年，故选C.4．(2023·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(D)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A 错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.5．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x 元(含税)x ≤30003000<x ≤1200012000<x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为(C )A ．1800元B ．1000元C ．790元D ．560元[解析]李某月应纳税所得额(含税)为：18000－5000－1000－2000＝10000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为(10000－3000)×10%＝7000×10%＝700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.6．成昆线复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道．线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，预计于2022年12月试运行．西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小．我们用声强I (单位：W/m 2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L (单位：dB)与声强I的函数关系式为：L ＝若提速前列车的声强级是100dB ，提速后列车的声强级是50dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的(B )A ．106倍B ．105倍C ．104倍D ．103倍[解析]根据函数模型，列出关系式，进而结合对数与指数的互化运算即可求解．不妨设普通列车的声强是I 1，高速列车声强是I 2，100＝50＝即10，5，则5，即lg I 1I 2＝5，解得I 1I 2＝105.故选B.二、多选题7．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示：则下列结论中正确的有(BCD )A ．调整后房地产业的利润有所下降B ．调整后医疗器械的利润增长量最大C ．调整后生物制药的利润增长率最高D ．调整后金融产业的利润占比最低[解析]利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A ，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A 错误；对于B ，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B 正确；对于C ，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C 正确；对于D ，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D 正确．故选BCD.8．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(CD)A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳[解析]由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．9．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x －1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(CD) A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[解析]甲、乙、丙、丁的路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题10．(2022·北京一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．(1)当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_13__元；(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为_36__.[解析](1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)．(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36.11．一种药在病人血液中的量不少于1500mg才有效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过_2.3__小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1h)[解析]设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则500≤2500×(1－20%)x≤1500，整理可得0.2≤0.8x≤0.6，所以log0.80.6≤x≤log0.80.2.。

高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为)2(ab f -，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为)2(a b f -，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．三、考点解析考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 例、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 考点二 二次函数的图象与性质 考法(一) 二次函数图象的识别例、若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题例、(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题例、(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .跟踪训练1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54课后作业1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4 2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-49,23，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．提高训练1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．。

求函数解析式的几种方法及题型【最新版3篇】篇1 目录一、引言二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法2.交点式3.顶点式4.换元法5.归纳法三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式2.已知顶点求解析式3.已知交点求解析式4.抽象复杂函数问题四、结论篇1正文一、引言求函数解析式是高中数学中的常见问题，也是高考的常规题型之一。

解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。

本文将介绍几种常用的求函数解析式的方法及题型，帮助同学们更好地理解和应用这些方法。

二、求函数解析式的常用方法1.待定系数法待定系数法是一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

2.交点式交点式适用于已知抛物线与 x 轴的两个交点的情况。

通过已知的交点，我们可以得到两个方程，解这两个方程可以求得抛物线的解析式。

3.顶点式顶点式适用于已知抛物线的顶点的情况。

通过已知的顶点，我们可以得到一个方程，这个方程包含了抛物线的顶点坐标和抛物线的解析式中的待定系数。

解这个方程可以求得抛物线的解析式。

4.换元法换元法是一种通用的求函数解析式的方法，适用于各种复杂的函数问题。

通过换元，我们可以将复杂的函数问题转化为简单的函数问题，从而求得函数的解析式。

5.归纳法归纳法适用于具有一定规律的函数问题。

通过观察函数的规律，我们可以猜测函数的解析式，然后通过数学归纳法证明我们的猜测是正确的。

三、求函数解析式的题型及应用1.已知三个点求解析式已知函数上的三个点，我们可以通过待定系数法求解函数的解析式。

设定函数的形式为 y=ax^2+bx+c，然后将三个点的坐标代入方程，得到三个方程组成的线性方程组，解这个方程组可以求得函数的解析式。

2.已知顶点求解析式已知抛物线的顶点，我们可以通过顶点式求解抛物线的解析式。