九年级数学上册21.2.2二次函数y=ax2bxc的图象和性质(第5课时)名师教案(新版)沪科版

21.2二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质教学目标1、会画二次函数y=a（x+h）²+k的图象. 根据图象能说出抛物线y=a（x+h）²+k的顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数值的变化情况和最值2、通过对比函数y=a（x+h）²+k和y=ax²+k、y=a（x+h）²、y=ax²图象，理解这几种形式的函数图象的关系。

过程与方法1.先画y=a（x+h）²与y=ax²图象，再归纳形状，位置规律及性质。

2.体验抛物线的平移过程，形成良好的思维方法。

情感，态度与价值观1。

结合图像平移规律过程，渗透数形结合的思想方法。

2.在探究y=a（x+h）²性质的过程中，培养学生的成就感和自信心。

重点；y=a（x+h）²+k的图象和性质。

难点；由y=ax²通过平移得到y=a（x+h）²+k时，如何确定平移的方向和距离。

教学过程一．自主学习1、复习:（1）二次函数y=ax²图象有哪些特点？（2）二次函数y=ax²+k图象有哪些特点？它可以看作由抛物线y=ax²经过怎样平移得到？（3）二次函数y=a（x+h）²图象有哪些特点？它可以看作由抛物线y=ax²经过怎样平移得到？2、怎样画函数y=的图象？（1）请用描点法画出该函数的图象。

（2）函数y=与函数y=的解析式有什么关系？抛物线y=可由抛物线y=向平移个单位得到。

抛物线函数y= y= 向平移个单位得到。

因此，抛物线y=可由 y=向平移个单位得到。

二、交流思考1、观察函数y=的图象（用几何画板作图），回答下列问题。

（1）这个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？（2）当x= 时，这个函数取得最值？这个最值是。

（3）说说这个函数的值随自变量的变化情况。

三、课堂练习1、说说二次函数y=a（x+h）²+k的图象的特点。

第2课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象和性质教学目标1．进一步熟悉画函数图象的步骤，会画函数y ＝a (x ＋h )2的图象．2．能正确说出y ＝a (x ＋h )2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y ＝a (x ＋h )2的平移规律．教学重难点画出二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象，探索其性质；抛物线y ＝a (x ＋h )2如何由抛物线y ＝ax 2平移得到．教学过程导入新课【导语一】抛物线y ＝2x 2，y ＝2x 2＋3，y ＝2x 2－3的对称轴，顶点坐标，开口方向各是什么？它们之间有何关系？【导语二】回忆二次函数y ＝ax 2――――→向上或向下平移|k|个单位y ＝ax 2±k .若将y ＝ax 2向左(或向右)平移|h |个单位，会得到什么抛物线呢？推进新课一、合作探究【问题1】 在同一坐标系中，画出函数y ＝x 2、y ＝(x －1)2和函数y ＝(x ＋1)2的图象． 指导以下两方面：(1)列表取值可按课本中提供的数据完成；(2)画出的图象要具有对称性，两个图象中的点选取略有不同．学生做完以后，可借用投影、多媒体展示自己的作品．【问题2】 想一想：函数y ＝(x －1)2和函数y ＝(x ＋1)2的图象与函数y ＝x 2的图象有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？学生思考后总结得出：函数y ＝(x －1)2、y ＝(x ＋1)2的图象和函数y ＝x 2的图象形状大小、开口方向完全一样，只是位置不同．抛物线y ＝(x －1)2的对称轴是直线x ＝1，顶点为(1,0)；抛物线y ＝(x ＋1)2的对称轴是直线x ＝－1，顶点为(－1,0)．观察图象易知(或用多媒体展示抛物线的移动)抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，能与抛物线y ＝(x －1)2重合；抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，能与抛物线y ＝(x ＋1)2重合．注意： 观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)移动的情况．师生共同归纳： (1)二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与y ＝ax 2的图象形状大小，开口方向都完全相同，但顶点和对称轴不同．(2)抛物线y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标为(－h ,0)，对称轴是x ＝－h .(3)抛物线y ＝a (x ＋h )2可由抛物线y ＝ax 2沿x 轴左右平移得到，抛物线y ＝ax 2向左平移|h |个单位，即为抛物线y ＝a (x ＋|h |)2，把抛物线y ＝ax 2向右平移|h |个单位，即为抛物线y ＝a (x －|h |)2.二、巩固提高【例题】 已知函数y ＝－14x 2，y ＝－14(x ＋2)2和y ＝－14(x －2)2. (1)在同一直角坐标系中画出它们的函数图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y ＝－14x 2的图象得到函数y ＝－14(x ＋2)2和函数y ＝－14(x －2)2的图象； (4)分别说出各个函数的性质．三、随堂训练1．抛物线y ＝(x －2)2的顶点坐标是( )．A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2) 2．将抛物线y ＝x 2的图象向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________．3．如图，抛物线的顶点为P (1,0)，一条直线与抛物线相交于A(2,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m 两点．求抛物线和直线AB 的解析式．本课小结1．所学的知识：①二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象画法及其性质；②平移规律．2．思想方法：从特殊到一般的思想方法．。

21．2 二次函数的图象和性质 1．二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)2．会用描点法画出二次函数y ＝ax 2的图象，概括出图象的特点；(重点)3．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．一、情境导入我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象 【类型一】 画二次函数y ＝ax 2的图象在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y ＝12x 2；②y ＝2x 2；③y＝－12x 2；④y ＝－2x 2.根据图象回答下列问题：(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O 为中心，对称地选取x 的值，列出函数的对应值表．解：列表：描点、连线，函数图象如图所示．(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y 轴；(2)函数y ＝2x 2和y ＝12x 2的图象有最低点，函数y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．方法总结：(1)画形如y ＝ax 2(a ≠0)的图象时，x 的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．(3)抛物线的概念：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y ＝ax 2.(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限．当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y ＝ax ＋b 过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax ＋b 和二次函数y ＝ax 2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a 的符号是否一致入手进行分析．探究点二：抛物线y ＝ax 2的开口方向、大小与系数a 的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y ＝ax 2；②y ＝bx 2；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2，则a 、b 、c 、d 的大小关系为()A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．b >a >d >c 答案：A方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标；(3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S△BDM＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．探究点四：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】 二次函数y ＝ax 2的增减性作出函数y ＝－x 的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小．解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法． 解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2；(2)由图象可知y 3<y 4.方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】 二次函数y ＝ax 2的最值已知函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，当n 为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点的坐标．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解：∵函数y ＝(1－n )xn 2＋n －4是关于x 的二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n －4＝2，1－n ≠0.解得n ＝2或n ＝－3.∵抛物线有最低点，∴1－n >0，即n <1.∴n ＝－3.∴当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的二次项系数a 的符号决定的；当a >0时，抛物线有最低点；当a <0时，抛物线有最高点．而此题常错误地认为n >0时，抛物线有最低点．正确的答案应为1－n >0，即n <1时，抛物线有最低点，因为二次项系数是(1－n )．探究点五：利用二次函数y ＝ax 2的图象和性质解题【类型一】 利用二次函数y ＝ax2的性质解题当m 为何值时，函数y ＝mxm 2－m 的图象是开口向下的抛物线？当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？解：由题意，得m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－m ＝2，解得m ＝－1.当x <0时，y 随x 的增大而增大．这个函数有最大值，最大值是0.方法总结：本题主要考查函数y ＝ax 2(a ≠0)的有关性质．当a >0时，图象开口向上，函数有最小值0；当a <0时，图象开口向下，函数有最大值0.当a <0且x <0时，y 随x 的增大而增大．【类型二】 二次函数y ＝ax2的图象和性质的实际应用如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m ，水面CD 的宽为10m.(1)建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶了1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时，水位在CD 处，当水位涨到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ≠0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h m ，则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的函数表达式为y ＝－125x 2； (2)水位由CD 处涨到最高点O 的时间为h ÷0.25＝1÷0.25＝4(h)，货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x km/h ，即当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60km/h.方法总结：一般地，求二次函数y ＝ax 2的表达式时，只需一个已知点(坐标原点除外)的坐标即可．而此题由于点B ，D 的纵坐标未知，故需设出CD 到桥顶的距离h 作为辅助未知数．三、板书设计二次函数y ＝ax 2的图象和性质错误!教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质，体会数学建模的数形结合的思想方法．。