齐次线性方程组基础解系的一种简便求法
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4.3 齐次线性方程组解的结构
1 2 3
1 2 3 1 2 0
解：
A
3
2
6 5
10
初等行变换
0
7
0
1 0
1 1
0 0
1 0
0 1
1
2
4
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0 0
r A 3 n,
所以只有零解。
例2 求齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0 的基础解系与通解.
其通解为
x k11 k22 knrnr .
其中k1 ,k2 , ,knr是任意常数 .
3.若rA n,则dim N A 0,即N A 0,仅有
零解.Ax 0有非零解 RA n
例1 求下列齐次方程组的基础解系及通解。
(1)2
x1 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
定 理 4 .4: 设m n型齐次线性方程组AX 0的系数矩
阵的秩为rA,则AX 0的解空间N A的维数
dim N A n rA
证 : 设齐次线性方程组的系数矩阵为 A，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1,n r
A
~
0
0
1
br1
br ,n r
A k1, B k2, C k1 2 , D k1 2 ,
2、 要使1 1 0 2T ,2 0 1 1T 是齐次线性
方程组AX 0的基础解系，则系数矩阵A可取为
0 1 1
齐次方程组的通解
齐次方程组的通解齐次方程组的通解是指该方程组所有解的集合，通解可以用线性代数中的向量表示。
齐次方程组的定义是：系数矩阵的行列式为零的线性方程组。
以下是齐次方程组的通解的求解过程。
1. 求解方程组的基础解系首先需要找到齐次方程组的基础解系，也就是方程组的最简解。
通过高斯-约旦消元法（Gauss-Jordan elimination）或者矩阵消元法（matrix elimination）可以把方程组化为阶梯形矩阵（row echelon form），然后从下向上逐行求解。
对于一个 r 阶方程组，如果它有 k 个自由变量（free variables），那么基础解系就有 k 个解向量。
自由变量是指在解出了主元变量（pivot variables）之后，剩余的变量可以任意取值的变量。
解向量可以通过把自由变量都设为 1，其余为 0，求出每个主元变量的值来得到。
2. 求解通解齐次方程组的通解就是由基础解系线性组合得到的所有解向量。
假设齐次方程组的基础解系是{v1，v2，...，vk}，那么通解可以表示为：c1v1 + c2v2 + ... + ckvk其中 c1，c2，...，ck 都是实数常数。
这个式子可以看作把基础解系的k 个解向量按照一定的比例组合起来，得到了所有解向量的集合。
3. 检验通解为了检验求得的通解是否正确，需要把通解代入方程组中，看是否满足原方程组的所有条件。
如果满足，证明通解是正确的；如果不满足，需要重新检查求解过程是否出错。
总结一下，齐次方程组的通解的求解过程是找到方程组的基础解系，然后由基础解系线性组合得到通解。
通解是一组能够满足方程组所有条件的解向量的集合。
线性代数 3-1-齐次方程组
若非零向量
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
齐次线性方程组求解
齐次线性方程组求解1什么是齐次线性方程组齐次线性方程组（simultaneous linear equations），简称为齐次方程组，是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，可用以求解某多元一次方程组的解。
它表示由n个未知量组成的关于各变量之间关系的方程组。
该方程组通常以矩阵形式展示，解可以通过消元法求得，此外，也可以通过其它线性代数方式来解决。
例如，如果有三个未知量的二元线性方程组，则它可以用如下形式表示：Ax+By+Cz=DEx+Fy+Gz=HIx+Jy+Kz=L其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K和L分别表示常数，x、y、z分别表示未知量。
2齐次线性方程组如何求解齐次线性方程组的求解有多种方式，其中最常用的方法是利用消元法（elimination method）。
消元法要求对给定的方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。
消元法基本步骤如下：1、任意选取方程，根据其未知量的系数系数把其他方程的未知量系数变换为本方程的系数；2、用定系数合并方程，使系数为零；3、重复上述过程，直到所有未知量都被消去；4、最后更新某一方程中的解释量，完成消元；最后，利用拉格朗日因子法（The Lagrangian Multiplier Method）来求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。
3总结齐次线性方程组是指位于同一数学空间中的一组多元一次方程组，用以求解某多元一次方程组的解。
最常用的求解方法就是消元法，它要求对方程组进行顺序处理，逐步消除未知量，最终解出未知变量。
此外，也可以利用拉格朗日因子法求出更具有意义的解（最大值、最小值等）。
只要有充足的数学知识，便可以熟练地使用齐次线性方程组来解决各种解题问题。
4_5齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
x1 = − b11 xr +1 − ⋯ − b1 ,n− r xn 分别代入 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ x = −b x − ⋯ − b r 1 r +1 r ,n − r xn r
Page 14
x1 − b11 − b12 − b1 ,n − r 依次得 ⋮ = ⋮ , ⋮ , ⋯ , ⋮ . x − b − b − b r r1 r 2 r ,n − r
个解： 从而求得原方程组的 n − r 个解：
− b11 ⋮ − b r1 ξ1 = 1 , 0 ⋮ 0
− b12 − b1 ,n − r ⋮ ⋮ − b − b r2 r ,n − r ξ 2 = 0 , ⋯ , ξ n− r = 0 . 1 0 ⋮ ⋮ 0 1
若记
（1） ）
Page 5
a11 a12 a21 a22 A= ⋯ ⋯ a m 1 am 2
⋯ a1n ⋯ a2 n , ⋯ ⋯ ⋯ amn
x1 x2 x= ⋮ x n
则上述方程组（1）可写成向量方程 则上述方程组（ ）
Page 7
２．齐次线性方程组解的性质
的解， （1）若 x = ξ1 , x = ξ 2 为 Ax = 0 的解，则 的解. 也是 Ax= 0 的解.
x = ξ1 + ξ 2
证明 ∵ Aξ1 = 0 , Aξ 2 = 0
∴ A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0
线性代数课件3-5齐次线性方程组的解法
二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关 的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组 的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的 解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r
0 1
b 11 br1
b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1
线性代数基础解系求法举例
11 0 01 11 0 0 1 11001 A～ 1 1 1 0 0 ～ 0 0 1 0 1 ～ 0 0 1 0 1
00 1 11 00 0 1 0 00010
x1 x2
x5 0
得同解方程组：
x3
x5 0 ,
x4
0
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
15
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
n 5, R( A) 3,自由变量 n r 2,为行最简形的
（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的 .齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的 .
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
14
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
例题 （1 96，数学一，6分）
x1 x2
x5 0
求齐次线性方程组
x1 x2 x3
0
x3 x4 x5 0
的基础解系和通解 解：对系数矩阵作初等 行变换，化成行最简有 ：
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
17
第十一讲：方程组解的解构与向量空间
（二）非齐次线性方程组的通解
1.非齐次线性方程组的解向量的性质
设有非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2
a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2
它也可写作向量方程
amn xn bm ,
Ax 0的解集的秩 Rs n r , R(a1 ,a2 , an r ,b) n r n r 1 由相关性秩的判别法， a1 , a2 , an r， b线性相关。 a1 , a2 , an r线性无关，并且 a1 , a2 , an r， b线性相关。 由相关性与线性表示的 关系定理， b能由 a1,a2 , an r 唯一线性表示。由最大 无关组定义，
齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A可化为
1
0
b11
b1, n
r
0 A~
0
1 br1
br ,n r
0
0 0
1
0
b11
b1,nr
x1 x2
0 Ax 0
0
1
br1
br
,nr
0
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
r2r3~(
3) 3
1 1 1 1 3
0
1
0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
r2r3~(
3) 3
~ r1 r3
0
0 0 xn
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
现对xr1 ,, xn 取下列 n r 组数：
xr1 1
xr2
0
,
xn 0
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
b1
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
二、齐次线性方程组的解空间
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
线性代数5-1齐次线性方程组
2、若 r(A) r n（未知量的个数），则原方程组仅 有零解，即 x1 0, x2 0,, xn 0, 求解结束；
若r(A) r n（未知量的个数），则原方程组有 非零解.进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵 A化为行最简形矩阵，并写出 同解方程组； 4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量 组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系， 进而写出通解.
（1）齐次线性方程组解的性质
定理2 若 是齐次线性方程组 AX 0 的一个解，则k 也是它的解，其中 k 是任意常数.
定理3 若 1,2 是齐次线性方程组 AX 0 的两个解， 则 1 2也是它的解.
即齐次线性方程组的所有解组成的集合是一个向量空 间，称其为解空间.
由于向量空间中的任意向量，都可以由向量空间 的基(极大无关组)来线性表示；因此，为了表示出线 性方程组解空间里的每一个解，可以类似地在解空间 中给出如下定义:
可得同解方程组
x1 x4
2 x2 0
x3
0
取
x2 ,
x3
为自由未知量
x1 x4
2 x2 0
x3
令x2
k1 ,
x3
k2，代入同解方程组有
x1 x4
2k1 0
k2
即
x1 x2 x3 x4
2k1 k1 k2 0
k2
，也即
x1 x2 x3 x4
k1
2
1
0
0
k2
1
0
1
0
.
k1 , k2 为 任意常数.
1
2
则
1
,2
即为原方程组的一个基础解系.
以上讨论中，是先求出齐次线性方程组的通
若r(A) r n（未知量的个数），则原方程组有 非零解.进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵 A化为行最简形矩阵，并写出 同解方程组； 4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量 组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系， 进而写出通解.
（1）齐次线性方程组解的性质
定理2 若 是齐次线性方程组 AX 0 的一个解，则k 也是它的解，其中 k 是任意常数.
定理3 若 1,2 是齐次线性方程组 AX 0 的两个解， 则 1 2也是它的解.
即齐次线性方程组的所有解组成的集合是一个向量空 间，称其为解空间.
由于向量空间中的任意向量，都可以由向量空间 的基(极大无关组)来线性表示；因此，为了表示出线 性方程组解空间里的每一个解，可以类似地在解空间 中给出如下定义:
可得同解方程组
x1 x4
2 x2 0
x3
0
取
x2 ,
x3
为自由未知量
x1 x4
2 x2 0
x3
令x2
k1 ,
x3
k2，代入同解方程组有
x1 x4
2k1 0
k2
即
x1 x2 x3 x4
2k1 k1 k2 0
k2
，也即
x1 x2 x3 x4
k1
2
1
0
0
k2
1
0
1
0
.
k1 , k2 为 任意常数.
1
2
则
1
,2
即为原方程组的一个基础解系.
以上讨论中，是先求出齐次线性方程组的通