下载文档原格式
有趣的图形数
(一)
古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派，对数学的发展做出过巨大的贡献。
毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点，2表示线，3表示面，4表示体(如图)：
世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而1＋2＋3＋4＝10，因此，10就可以表示宇宙。
毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合，尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形等图形的数，把它们称为“三角形数”“正方形数”“长方形数”等。
所谓三角形数，就是：
……
正方形数，就是：
……
1 4 9 16
长方形数，就要根据长和宽的不同情况来描绘。
下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的公式。
公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数：
所以，(1＋2＋3＋4＋5)×2＝5×6，即，
1＋2＋3＋4＋5＝
26
5
推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有n＋1个点，于是得到求连续自然数之和的公式：
1＋2＋3＋…＋n＝
2)1
(+ n n
从图上还可以看出，三角形数也能用
2)1
(+
n
n
表示。换句话说，从1开始到n的连续自然数的和，就等于第n个三角形数。
公式二：正方形数可以这样划分：
所以，1＋3＋5＋7＋9＝52。推而广之，如果正方形数有n层，第n层就有2n－1个点，于是得到求连续奇数和的公式：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2公式三：长方形数可以这样划分：
所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×(5＋1)。推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，于是得到求连续偶数和的公式：2＋4＋6＋…＋2n＝n(n ＋1)
公式四：正方形数还可以这样划分：
先按横行从1加到5，再按竖列从4加到1，即，1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52。推而广之，如果正方形数有n层，于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式：1＋2＋3＋…＋n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n2
图形数把抽象的数，与直观的图形巧妙地联系起来，这种数形结合的方法，是一种常用的数学思想方法。下面我们用这种方法再推出两个重要的公
式。
公式五：把12、22、32、42、52这5个连续的正方形数稍加变形，排成左下方的“摩天楼形”：
如果在它的两侧各加上同样的5个连续的正方形数，就会得到一个像右上方的那样的长方形数。摩天楼形数等于
12＋22＋32＋42＋52
长方形数是它的3倍，等于
3×(12＋22＋32＋42＋52)
而这个长方数有
1＋2＋3＋4＋5＝
2)1
5(
5+
⨯层，每层有2×5＋1个点，所以，
3×(12＋22＋32＋42＋52)＝
2)1
5(
5+
⨯
×(2×5＋1) 即，
12＋22＋32＋42＋52＝
6
)1
5
2(
)1
5(
5+
⨯
⨯
+
⨯
推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：
12＋22＋32＋…＋n2＝
6
)1 2
)(
1
(+
+n
n
n
真是妙不可言！
公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。
观察发现，虽然有两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。于是可以说，这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的，它的面积等于
1×12＋2×22＋3×32＋4×42＋5×52＝13＋23＋33＋43＋53 因为大正方形的边长等于1＋2＋3＋4＋5，所以
13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
而
1＋2＋3＋4＋5＝
2)1
5(
5+
⨯
于是
13＋23＋33＋43＋53＝[
2)1
5(
5+
⨯
]2推而广之，就得到求连续立方数之和的公式：
13＋23＋33＋…＋n3＝[
2)1
(+
n
n
]2
于是，连续立方数的和，等于连续自然数之和的平方。因为连续自然数之和就等于相应的那个三角形数，换句话说，连续立方数的和等于相应的三角形数的平方，真是不可思议！
上面我们用数形结合与合情推理的方法，轻而易举地得到六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在的奥秘所陶醉，为她那无与伦比的美所倾倒。这，就是数学的魅力！
(二)
从前面的叙述可以知道：
三角形数，实际上就是从1开始的一些连续自然数的和：
1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…
正方形数，实际上就是从1开始的一些连续自然数的平方：
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…
那么，有没有这样的自然数，既是三角形数又是正方形数呢？有，并且有无限多个。它们是：
1，36，1225，41616，1413721，48024900，…
这类数是两个自然数的平方的积，也就是说，是两个正方形数的积。
1＝12×12；
36＝32×22；
1225＝72×52；
41616＝172×122；
1413721＝412×292；
48024900＝992×702；
……
三角形数、正方形数，既然可以看成点的集合，那么，如果把三角形数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…
“一层一层摞起来”，就可以形成“四面体数”：(四面体—底面是三角形的锥体。图略)
1，4，10，20，35，56，84，120，…
同样，如果把正方形数：
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，…
“一层一层摞起来”，就可以形成“金字塔数”：(金字塔—底面是正方形的锥体。图略)
1，5，14，30，55，91，140，204，…
那么，有没有这样的数，既是正方形数又是金字塔数呢？有，但是只有一个，就是4900，实在有点意外。
关于三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数，还有一些意想不到的性质。
1、自然数的立方和，等于相应的三角形数的平方。如,
