初中数学求多项式最值问题十法.doc

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求多项式最值问题十法
高俊元

多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条
件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常
用方法加以汇总，供大家参考。
一、配方法
例1. 已知x，y，z都是实数，且1222zyx，则xzyzxym（ ）
A. 只有最大值
B. 只有最小值
C. 既有最大值又有最小值
D. 既无最大值又无最小值
解：xzyzxyzyxzyx222)(2222
11)()()(22222zyxzyxzyxm
即m有最小值1
而xzzxyzzyxyyx222222222，，
三式相加
)(2)(2222xzyzxyzyx

1222zyxm
即m有最大值1
故应选C

二、参数法
例2. 若32211zyx，则222zyx可取的最小值为（ ）

A. 3 B. 1459 C. 29 D. 6
解：设kzyx32211
则23121kzkykx，，
所以222zyx

1459)7
5
(1441014)23()12()1(22222k

kk
kkk

∴当75k时
222
zyx

的值最大为1459，应选B

三、消元法
例3. 已知x，y，z为3个非负实数且满足：523zyx，2zyx，设
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zyxs2
，s的最大值与最小值的和为_________。

解：由szyxzyxzyx22523 得0311034502szsysx
则32s，所以s的最大值为3，最小值为2，其和为5。
四、分类讨论法
例4. 设9321xxxx，，，，均为正整数，且220921921xxxxxx，，
则当54321xxxxx的值最大时，19xx的最小值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
解：由220921xxx，知

211011105432154321xxxxxxxxxx或
由<1>得255x，从而292827269876xxxx，，，
得220110110)()(987654321xxxxxxxxx，与题设矛盾
由<2>可取242322212054321xxxxx，，，，
使11054321xxxxx取到最大值，且1x也可取到最大值，此时取
292827269876xxxx，，，
可全部满足条件，因而19xx的最小值为

92029
。

五、枚举法
例5. 设整数a、b、c满足33351cbacba、、，的个位数依次为x、y、z，当
))()((xzzyyx
为最小时，求乘积abc的最大值。

解：依已知需把x、y、z、a、b、c求出
1255644273821133333，，，，

∴（x、y、z）有10种可能：
（1，8，7），（1，8，4），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），
（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5）
那么))()((xzzyyx的值依次为：
612612124854848442，，，，，，，，，
故))()((xzzyyx的最小值是84
此时（x，y，z）＝（1，8，4）或（1，8，5）
相应的8421abc或10521abc
故abc的最大值是10

六、等值代换法
例6. 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，adcdcbcba那么
dcba
的最大值是（ ）

A. 1 B. 5 C. 0 D. 1
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解：adccba，
dcdcba，即0db
db代入dcb
得ddcadc32，

)1(555b
bddcba


等号成立当且仅当1b时，此时
1023dca，，
dcba的最大值是5
，应选B。

七、放缩法
例7. 设721xxx，，，为自然数，且7621xxxx，又159721xxx，

则321xxx的最大值为__________。
解：由题设有6543211234567xxxxxxx
同理123451213141516xxxxxxxxxx，，，，

207138217)621(7159111721x
xxxxx

1x的最大值为19，取201921
xx，
则)54321(6120273xxx，从而202x
取191x，则
)4321(51403732xxxx

从而223x，依次可得符合条件的7个数为19，20，22，23，24，25，26
故知所求最大值为61

八、和差代换法
例8. 实数x、y、z满足35zxyzxyzyx，，则z的最大值是________。
解：设baybax，，代入已知式可得

23215222azba
za

由<1>得25za代入<2>得：
03)5()25(22bzz
z

化简得0131032zz
即0)1)(133(zz

解得3131z

故z的最大值为313

九、分析判断法
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例9. 已知a、b、c都是整数，且1990abc，则cabcab的最小值是_________。
解：由1990abc知
a、b、c中必有两负一正
不妨设000cba，，
此时00cbbc，
)(cbabccabcab

∵a、b、c为整数
∴当1cb时，a取最大值1990
cabcab
的最小值是：

3979219901

十、逐步调整法
例10. 已知4021xxx，，，都是正整数，且584021xxx，若
240222
1
xxx

的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于________。
解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2402221xxx的最小
值和最大值是存在的。
不妨设4021xxx，若11x
则)1()1(2121xxxx，且

222112222
1

222
1

2)(2)1()1(xxxxxxxx



所以，当11x时，可以把1x逐步调整到1，这时2402221xxx将增大；
同样地，可以把3932xxx，，，逐步调整到1，这时2402221xxx将增大。于是，
当3921xxx，，，均为1，1940x时，2402221xxx取得最大值
即40019111392222个A

若存在两个数jixx，，使得2ijxx
)401(ji
，则

2222
22

)1(2)1()1(jiijjijixxxxxxxx


这说明在403921xxxx，，，，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大
的数减1，这时2402221xxx将减小。
所以，当2402221xxx取到最小时，4021xxx，，，中任意两个数的差都不大于
1。
于是当12221xxx
2402423xxx
时

240222
1
xxx

取得最小值

即942221111822222222个个B

故A＋B＝494
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