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【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)

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第1页 共12页 版人教A版必修2课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积； （Ⅲ）设异面直线AA与BC所成的角为，求cos．

解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC的高为1，所以22112AB． 故所求全面积22ABCBBCCABBASSSS 2(cm)

．

1221322328622

这个几何体的体积121332ABCVSBB3(cm) （Ⅲ）因为//AABB，所以AA与BC所成的角是BBC．

在RtBBC中，22223213BCBBBC，故33cos131313BBBC．

正视图 侧视图 俯视图

俯视图 A正视图 侧视图 A

BBABC

AB

CAB

C

123

113

AA

BB

CC23 第2页 共12页

2PPOOOO

222

222

2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为3cm）．

所以所求表面积21212127S2(cm)，

所求体积22131213233V3(cm)．

3.原题（必修2第30页习题1.3B组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。

改编 已知直角三角形ABC，其三边分为cba,,,（cba）.分别以三角形的a边，b边，c边所

在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,SSS和321,,VVV,则它们的关系为 ( )

A.321SSS, 321VVV B.321SSS, 321VVV

C.321SSS, 321VVV D.321SSS, 321VVV 解：aabcVcbabcS211)(31),)((,222231,bcVcacS , cbVbabS232331,, 选B.

4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：

POO

正视图 侧视图

俯视图 第3页 共12页 解：切面过轴线为（1），否则是圆锥曲线为（4）．本题以立体几何组合体为背景，其实运用圆锥曲线数

学模型．答案（1）、（4）． 5.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）

改编1 如右上图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么这六条面对角线所在直线中，所成的角为60的直线共有 12 对.

改编2 如图正方体中，o，1o为底面中心，以1oo所在直线为旋转轴，线段1BC形成的几何体的正视图为（ ）

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的

(1)(2)(3)(4)

AA1B1C1D1BCDO

O1

(A)(B)(C)(D) 第4页 共12页

侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线.即A、B、D不可能，故选C. 6.原题（必修2第37页复习参考题B组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？ 改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何体的正视图为（ ）

解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。即A、B、D不可能，故选C.

7.原题（必修2第59页例3）改编 设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱

锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面 α 有无数多个．答案：D. 8.原题（必修2第62页习题2.2A组第八题）如图，直线AA1，BB1，CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，求证：平面ABC∥平面A1B1C1. 改编 如图，直线AA1、BB1、CC1相交于点O，AO=A1O，BO=B1O，CO=C1O，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为_______。

解：液体部分的体积为三棱锥体积的18，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥体积的78，设空出三棱锥的高为x，则331x=87，所以，x=273,液面高度为12

73.

(A)(B)(C)(D)A B C

A 1 B

1

C 1 第5页 共12页

(1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值. (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值； (4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图（3）所示时，是定值；(6)当容器任意倾斜时, 水面可以是六边形；(7)当容器任意倾斜时, 水面可以是五边形.

（1） （2） （3） 解：（1），（2），（4），（5），（6），（7）.

（6） （7） 10.原题（必修2第79页复习参考题A组第十题）如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD

是垂足，试判断直线AB与CD的位置关系？并证明你的结论. 改编 如图，已知平面,，且,,,,ABPCPDCD是垂足．（Ⅰ）求证：AB平面

PCD；（Ⅱ）若1,2PCPDCD，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

BFBEBFBE 第6页 共12页 解：（Ⅰ）因为,PCAB，所以PCAB．同理PDAB．又PCPDP，故AB平面

PCD．

（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH．因为AB平面PCD，所以,ABCHABDH，所以CHD是二面角CABD的平面角．又1,2PCPDCD，所

以2222CDPCPD，即090CPD．在平面四边形PCHD中，090PCHPDHCPD，所以090CHD．故平面平面．

11.原题（必修2第90页习题3.2B组第一题）已知点)2,5(),2,2(NM,点P在x轴上，且MPN为直角,求点P的坐标. 改编：已知点)2,5(),2,2(NM,P在x轴上，若MPN为锐角，则点P的横坐标的取值范围是________

解： 用向量的数量积判别：0NPMP，易求答案为6m或1m 12.原题（必修2 第100页习题3.2 A组第三题）已知)4,7(A，)6,5(B，求线段AB的垂直平分线的方程. 改编1 已知)4,7(A关于直线l的对称点为)6,5(B，则直线l的方程是（ ）

A.01165yx B.0156yx C.01156yx D.0165yx

解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.∵65ABk，∴561ABlkk，∵AB的中点为（1，1），∴直线l的方程是)1(561xy即0156yx，故选（B）. 改编2 已知圆16)4()7(22yx与圆16)6()5(22yx关于直线l对称 ，则直线l的方程是 . 解：依题意得，两圆的圆心)4,7(A与)6,5(B关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分线，由

改编1可得直线l的方程为0156yx. 改编3 求点)4,7(A关于直线0156:yxl的对称点B的坐标.

解：设),(yxB.由lAB，且AB的中点在直线l上，得0124527615674yxxy，解得65yx，

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2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)

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19．已知复数z满足 ， 的虚部为2，
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
高中数学人教a版必修2试题及答案

高中数学人教a版必修2试题及答案

高中数学人教a版必修2试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=2处的导数为\( f'(2) \)，则\( f'(2) \)的值为：A. 0.5B. -0.5C. 2D. -22. 已知数列\( \{a_n\} \)是等差数列，且\( a_1 = 3 \)，\( a_4 =10 \)，则\( a_7 \)的值为：A. 17B. 15C. 13D. 113. 设函数\( g(x) = x^3 - 3x + 1 \)，若\( g(2) = 3 \)，则\( g(-2) \)的值为：A. -3B. 3C. -1D. 14. 圆的方程为\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 \)，该圆的半径为：A. 3B. 6C. 9D. 125. 向量\( \vec{a} = (1, 2) \)和向量\( \vec{b} = (3, 4) \)，则\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)的值为：A. 5B. 8C. 11D. 146. 函数\( h(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标为：A. (2, -1)B. (4, -1)C. (2, 1)D. (4, 1)7. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 直线\( y = 2x + 1 \)与直线\( y = -x + 4 \)的交点坐标为：A. (1, 3)B. (3, 1)C. (-1, 3)D. (3, -1)9. 函数\( f(x) = \sin(x) \)的周期为：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \frac{2\pi}{3} \)10. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \)的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，则\( \sin(\theta) \)的值为______。

新人教A版高中数学必修2课件：立体几何初步的习题课

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②连接 FO，如图所示． ∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且 CE＝1， ∴四边形 CEFO 为菱形．∴CF⊥EO. ∵四边形 ABCD 为正方形，∴BD⊥AC. 又平面 ACEF⊥平面 ABCD， 且平面 ACEF∩平面 ABCD＝AC， ∴BD⊥平面 ACEF.∴CF⊥BD. 又 BD∩EO＝O，∴CF⊥平面 BDE.
下列结论一定正确的是
()
A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定
解析：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，记 l1＝DD1， l2＝DC，l3＝DA，若 l4＝AA1，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥ l4，此时 l1∥l4，可以排除选项 A 和 C.若 l4＝DC1，也满 足条件，可以排除选项 B. 答案：D
【集训冲关】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝∠ABC＝90°，且 AB＝BC＝2AD＝2，侧面 PAB⊥底面 ABCD， △PAB 是等边三角形．(1)求证：BD⊥PC； (2)求二面角 B-PC-D 的大小． 解：(1)证明：如图，取 AB 的中点 O，连接 PO，CO. 因为△PAB 是等边三角形，所以 PO⊥AB. 又侧面 PAB⊥底面 ABCD，所以 PO⊥底面 ABCD. 因为 BD⊂平面 ABCD，所以 PO⊥BD. 又 AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°， 所以△DAB≌△OBC.所以∠BCO＝∠ABD，所以 BD⊥OC.又 OC⊂平面 POC，PO⊂平面 POC，OC∩PO＝O， 所以 BD⊥平面 POC.因为 PC⊂平面 POC，所以 BD⊥PC.
3.如图所示的三棱锥 O-ABC 为长方体的一角．其中 OA，OB，OC
高中数学人教a版必修2试题及答案

高中数学人教a版必修2试题及答案

高中数学人教a版必修2试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是正确的）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为（）A. 3B. -3C. 5D. 12. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+34. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，那么a_5的值为（）A. 17B. 14C. 11D. 85. 已知复数z=1+2i，那么|z|的值为（）A. √5B. √2C. 2√2D. 36. 函数y=2x-3的图象与x轴的交点坐标为（）A. (3/2, 0)B. (3, 0)C. (-3/2, 0)D. (-3, 0)7. 已知向量a=(3,-4)，b=(2,1)，则向量a与b的点积为（）A. -10B. 2C. -2D. 108. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 59. 已知正弦函数y=sin(x)的周期为2π，那么函数y=sin(2x)的周期为（）A. πB. 2πC. 4πD. 1/2π10. 已知函数y=x^2-6x+8的对称轴为（）A. x=3B. x=-3C. x=6D. x=-6二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f'(x)的值为______。

12. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，那么a_4的值为______。

13. 已知复数z=3+4i，求|z|的值为______。

14. 已知函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为______。

15. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a与b的叉积为______。