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第2讲 “三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)含参的恒成立问题、存在性问题通常以不等式为载体，体现了转化与化归思想.
真 题 感 悟
1.(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________.
解析 由6＋x －x 2≥0得－2≤x ≤3，则D 为[－2，3]. 故所求概率P ＝3－（－2）
5－（－4）＝59.
答案 59
2.(2015·江苏卷)不等式2x 2－x
<4的解集为________.
解析 由2x
2－x
<4，知x 2－x <2，解得－1 答案 (－1，2) 3.(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有 f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________. 解析 因为二次函数开口向上，在区间[m ，m ＋1]上始终满足f (x )<0， 所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0即可， 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－22 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－2 2，0. 答案 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－22，0 考 点 整 合 1.“三个二次”的关系 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解. 2.解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：(1)对二次项系数与0的大小进行讨论；(2)在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；(3)当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；(4)讨论根与定义域的关系. 3.四个常用结论 (1)ax 2 ＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩ ⎨⎧a ＞0，Δ＜0. (2)ax 2 ＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎨⎧a ＜0， Δ＜0. (3)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ， a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . (4)存在f (x )f (x )min ， 存在f (x )>a 成立⇔a 热点一 含参一元二次不等式的解法 【例1】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0. 解 当a ＝0时，原不等式可化为x －2<0，所以x <2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x －2)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x －2a >0， ①当a >1时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x －2a >0，所以x <2a 或x >2. ②当a ＝1时，2 a ＝2，原不等式化为(x －2)2>0， 所以x ∈R 且x ≠2. ⎪⎫ x －2a >0，则x <2或x >2a . ④当a <0时，2a <2，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫ x －2a <0，所以2a 综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 当a >1 时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}； 当0 ⎬⎫x ⎪⎪⎪x <2或x >2a ； 当a <0 时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x ⎪ ⎪⎪2 a (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 【训练1】 (2017·上海十四校联考改编)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(2a ＋1)x ，g (x )＝ax .解关于x 的不等式：f (x )≤g (x ). 解 由f (x )≤g (x )得x 2＋(2a ＋1)x ≤ax ， 即x 2＋(a ＋1)x ≤0. 当a <－1时，解得0≤x ≤－a －1； 当a ＝－1时，解得x ＝0； 当a >－1时，解得－a －1≤x ≤0. 所以，当a <－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[0，－a －1]； 当a ＝－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为{0}； 当a >－1时，不等式f (x )≤g (x )的解集为[－a －1，0]. 热点二 “三个二次”之间的关系 【例2】 (2017·苏州调研测试)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R ，g (x )＝x 2－1. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥g (x )； (2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 解 (1)由f (x )≥g (x )，当a ＝1时， 即解不等式x |x －1|≥x 2－1. 由x ≥1时，不等式为x 2－x ≥x 2－1， 解得x ≤1，所以x ＝1； 当x <1时，不等式为x －x 2≥x 2－1， 解得－12≤x ≤1，所以－1 2≤x <1. 综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ －12，1. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )＝x 2－ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )＝f (2)＝4－2a .
