第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为
( )
A ．(－1,2)，2
B ．(1，－2)，2
C ．(－1,2)，4
D ．(1，－2)，4
2．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是
( )
A ．在圆内
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是
( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝3
3
x 的距离为
( )
A.12
B.32
C ．1 D.3 5．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)；
(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上．
8．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升
9．方程y ＝9－x 2表示的曲线是
( )
A ．一条射线
B ．一个圆
C ．两条射线
D ．半个圆 10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是
________．
12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？
为什么？ 三、探究与拓展
13．已知点A (－2，－2)，B (－2,6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2
＋|PC |2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋2
6.⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭
⎫y －3
52＝1 7．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，
圆心为点C (8，－3)，
∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有
⎩
⎪⎨⎪⎧
16＋(2－b )2＝r 2，
36＋(2＋b )2＝r 2，⇒
⎩
⎨⎧
r 2＝1454，b ＝－52
.
∴所求圆的方程是
x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋522＝1454
. 8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0， ∴由⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝7，y ＝－3.
∴圆心C (7，－3)，半径r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]
12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 ⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋(1－
b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝3，
r ＝ 5.
∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)代入上式圆的方程，得 (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 13．解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.
|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y . ∵－2≤y ≤2，
∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.
即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是
( )
A ．m ≤2
B ．m ＜12
C ．m ＜2
D ．m ≤1
2
2．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于
( )
A ．1
B. 2
C. 3
D ．2
3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0
D ．2x ＋y －6＝0
4．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0( )
A ．圆内
B ．圆外
C ．圆上
D ．圆上或圆外
5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.
7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．
8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升
9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是
( )
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x 2＋y 2＝0
D ．x 2－y 2＝0 10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方程为
( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0
11． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展
13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
