直线与圆各种题型专项练习

直线和圆的位置关系练习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一、选择题：(每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1．已知⊙O 的半径为10cm,如果一条直线和圆心O 的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A 。

相离 B. 相切 C. 相交 D 。

相交或相离 2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线， ∠B=70°，则∠BAC 等于( ) A. 70° B 。

35° C. 20° D. 10° 3．如图，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B,OP 交⊙O 于C ，下列结论中,错误的是（ )A 。

∠1=∠2B 。

PA=PBC 。

AB ⊥OP D. =2PA PC ·PO4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P,PC=5，则⊙O 的半径为（ ）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB 是⊙O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ︰AB 等于∠BPD 的（A 。

正弦 B 。

余弦 C 。

正切 D 。

余切 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，错误!的度数是50°,∠OBC=40°，则∠OAC 等于（A 。

15°B. 25°C. 30°D. 40°8．内心与外心重合的三角形是（ ）A. 等边三角形B. 底与腰不相等的等腰三角形 C 。

不等边三角形 D 。

形状不确定的三角形9．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20,则△ABC 的周长为（ ）A 。

20 B. 30 C. 40 D 。

2135二、填空题：（每小题5分，共30分）11．⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P,已知AP=2cm ，BP=6cm ，CP ︰PD =1︰3，则DP=___________．12．AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB，垂足为E ，P 是BA 的延长线上的点，连结PC ，交⊙O 于F ，如果PF=7,FC=13，且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1，则CD =_________．13．从圆外一点P 引圆的切线PA ，点A 为切点，割线PDB 交⊙O 于点D 、B ，已知PA=12，PD=8，则=∆∆DAP ABP S S :__________．BB DA C EF 题图） 4题图)D CBAP14．⊙O 的直径AB=10cm,C 是⊙O 上的一点,点D 平分错误!，DE=2cm ，则AC=_____．15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠E=25°,∠DBC=50°，则∠CBE=________． 16．点A 、B 、C 、D 在同一圆上，AD 、BC 延长线相交于点Q ，AB 、DC 延长线相交于点P ，若∠A=50°,∠P=35°,则∠Q=________．三、解答题：(共7小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图,MN 为⊙O 的切线，A 为切点，过点A 作AP ⊥MN ，交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,求⊙O 的直径．18．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P,CE=BE ，E 在BC 上。

直线与圆经典题型题型一：对称性求最值例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．得交点P （，）．令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．解方程组x +2y ﹣7=0，x ﹣2y +2=0，故点P （，）、Q （0，）即为所求．1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．题型四：动直线问题已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，题型五：斜率取值范围已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．题型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。

直线与圆专项训练一、选择题1.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2或a >23B ．－23a <0C ．－2<a ≤0D ．－2<a <23解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x ＋a 2)2＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－34a 2－a ＋1>0，∴3a 2＋4a －4<0⇒－2<a <23. 答案 D2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：法一：因圆心在直线x ＋y －2＝0上，故设圆心为C （a ，2－a ） |AB|=|AC|，得a=1 所以C （1，1），r=2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4法二：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB＝－1，则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧y ＝xx ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1，从而圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2.因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案 C3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C. 答案 C4．过圆点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方程为( )A ．y ＝3xB ．y ＝－3xC ．y ＝33xD ．y ＝－32x解析 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的圆心为P (－2,0)，半径r ＝1，如图所示，过原点的直线l 切圆于点A ，则PA ⊥l ，|PA |＝1，|OP |＝2，在Rt △PAO 中，∠POA ＝30°，∴k l ＝tan30°＝33，∴l的方程为y ＝33x . 答案 C 5．(2011·福州质检)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13解析 解法一：(待定系数法)设出圆的方程求解．解法二：(排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，代入即可得r ＝43，排除D. 答案 C 6．(2010·江西高考)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33] D ．[－23，0]解析：圆心(3,2)到直线的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1， 则|MN |＝24－(|3k ＋1|k 2＋1)2＝2－5k 2－6k ＋3k 2＋1≥23，解得－34≤k ≤0，故选A. 7．(2011·泰安二模)若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：PQ 中点M (1,2)，∴k OM ＝21＝2.∴k PQ ＝－12.∴l PQ ：y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：B8．(2010·北京丰台)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a 、b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－140)D ．(－∞，14)解析：∵直线过圆心，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≥4ab ，∴ab ≤14. 答案：A9．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18) 答案 C解析 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1=r ，∴－24<k <24.10．平移直线x －y ＋1＝0使其与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则平移的最短距离为( )A.2－1 B ．2－ 2 C. 2 D.2－1与2＋1答案 A解析 如图，圆心(2,1)到直线l 0：x －y ＋1＝0的距离d ＝|2－1＋1|2＝2，圆的半径为1，故直线l 0与l 1的距离为2－1，∴平移的最短距离为2－1，故选A.11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C解析：设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝22，∴|PM |最小值为22，|PQ |＝|PM |2－1＝(22)2－1＝7，选C.二、填空题12．(2010·上海高考)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：∵x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， ∴(x －1)2＋(y －2)2＝1.圆心(1,2)到3x ＋4y ＋4＝0的距离为 d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3. 答案：313．已知两点A (－1,0)、B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值是________．答案 12(4＋5)，12(4－5)解析如图所示，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到AB 的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52和2－52. 14．(2010·课标全国)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为__________．解析：由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.① 过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为 y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案：(x －3)2＋y 2＝215．(2010·山东高考)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：设圆心A (x 0,0)，x 0>0，r ＝|AC |＝x 0－1，|BC |＝2，由直线l 方程可知∠BCA ＝45°， 所以r ＝2，x 0＝3，∵l ⊥AB ，∴k AB ＝－1，AB 方程为y ＝－1(x －3)，即x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝016．(2010·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2，即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d <1，即d ＝|c |13<1，－13<c <13.17．(2010·江西卷，理)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．答案 [－34，0]解析 如图，记题中圆的圆心为C (3,2)，作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|1＋k2，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥23，即4－9k 2＋6k ＋11＋k 2≥3，解得－34≤k ≤0.18．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 取值范围是__________．答案 －1＜b ≤1或b ＝－ 2解析 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)方程x 2＋y 2＝1(x ≥0)所表示的曲线为半圆(如图) 当直线与圆相切时或在l 2与l 3之间时，适合题意． 三、解答题19．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．解析∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.设切线方程为y ＝－x ＋b 或y ＝x ＋c ，分别代入圆C 的方程得2x 2－2(b －3)x ＋(b 2－4b ＋3)＝0或2x 2＋2(c －1)x ＋(c 2－4c ＋3)＝0，由于相切，则方程有等根，即b ＝3或b ＝－1，c ＝5或c ＝1. 故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.20．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切，∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |， 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12，∴有d 2＋(7)2＝r 2， 即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.21． (12分)(2011·衡水模拟)若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．解析：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，∴a ≠0.∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成 x 2＋y 2－4(a －1)a x ＋4ay ＝0. ∵D 2＋E 2－4F ＝16(a 2－2a ＋2)a 2>0恒成立，∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆． 设圆的半径为r ，则r 2＝4(a 2－2a ＋2)a 2＝2[4(1a －12)2＋1]，∴当1a ＝12a ＝2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 22． (12分)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． 解析：设圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P 截x 轴所得的弦长为2r . 故2|b |＝2r ，得r 2＝2b 2，又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2＋1，得2b 2－a 2＝1. 又因为P (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离为55， 得d ＝|a －2b |5＝55， 即有a －2b ＝±1，综上所述得⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2b 2－a 2＝1，a －2b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.于是r 2＝2b 2＝2.所求圆的方程是：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，或(x －1)2＋(y －1)2＝2.23． (12分)已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)．(1)过M 作圆的割线交圆于A 、B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程． (2)过M 作圆的切线，切点为C 、D ，求切线长及CD 所在直线的方程．解析：(1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (x －4)， 即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ， 则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1，由|PN |2＋(|AB |2)2＝r 2，得k ＝－4528，AB ：45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4，代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，y 1＝1，y 2＝－3符合题意， 综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4. (2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5. 以PM 为直径的圆的方程为 (x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0， 即x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0， 两式相减，得2x －7y －19＝0， 所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0.。

专题04直线和圆的位置关系4种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 (1)【考点二由直线和圆的交点个数求半径或距离的大小】 (2)【考点三直线和圆相切问题的应用】 (2)【考点四动点问题在直线和圆的位置关系中的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一由直线和圆的位置关系求半径的取值范围】A．01r<<B．【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围；【详解】解：过原点作OC AB⊥交AB于点-+与坐标轴的交点为x2解得2x=，故A点坐标为：【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．△中，4．Rt ABC．【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，A．(0，0)B．(2，0)C．（【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．综上所述：圆心M的坐标为(2,0)故选：D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．【答案】(1)当半径r为何值时，(2)当半径r为何值时，2【答案】【分析】根据题意可得，进行分类讨论：②当点P 在点A 左边，且P 与线段【详解】解：∵点()30A -,，点(0,B ∴3,3OA OB ==，【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系．【过关检测】一、单选题∵90ACB ∠=︒，AB =∴cos302BC AB =⨯︒=∴1322CD BC ==<故直线AB 与C 的位置关系是相交二、填空题由三角形的面积公式得：∴6810CD ⨯=⨯，∴ 4.8CD =，即 4.8R =．②如图2，当68R <≤时，故答案为： 4.8R =或6R <【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．6．O 的半径为R ，点O 到直线相切时，m 的值为_________【答案】35r <<【答案】56r <≤或245r =【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．△中，12．在Rt ABC位置关系是__________内【答案】点A在C42(1)求顶点D的坐标；(2)求直线BC的解析式；设21(,)3442E x x x ++-（0BCE BOCCOBE S S S =-四边形 BHE BOCCOHE S S S =+-梯形 0804(,)22M ++∴即(4,2)M 22(04)(42)CM ∴=-+-32030532025,444=<∴<，MD MC∴直线CD与圆M有两个交点，即直线与圆M的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．。

直线与圆的位置关系练习题直线与圆的位置关系练习题在几何学中，直线与圆的位置关系是一个重要的概念。

理解直线与圆的位置关系对于解决几何问题和应用数学具有重要意义。

下面将通过一些练习题来帮助我们加深对直线与圆位置关系的理解。

练习题1：直线与圆的位置关系给定一个圆O，半径为r，圆心为A。

一条直线l与圆相交于点B和C，线段BC 的中点为M。

已知AM的长度为d，求证：BM × CM = d² - r²。

解析：首先我们需要明确一些几何定理。

根据圆的性质，如果一条直线与圆相交于两个点，那么这两个点与圆心连线的中垂线将会通过圆心。

因此，我们可以得出结论：AM垂直于BC，并且AM是线段BC的中线。

根据垂直中线定理，对于任意一个三角形，如果一条线段垂直于另一条线段，并且恰好是另一条线段的中线，那么这两条线段的平方和等于另一条边的平方的两倍。

所以我们可以得出等式：BM² + CM² = 2AM²。

另一方面，根据勾股定理，我们可以得到AM² = d² - r²。

将这两个等式代入到等式BM² + CM² = 2AM²中，我们可以得到BM² + CM² = 2(d² - r²)，即BM × CM = d² - r²。

练习题2：直线与圆的位置关系给定一个圆O，半径为r，圆心为A。

一条直线l与圆相交于点B和C，线段BC 的中点为M。

已知AM的长度为d，求证：BM + CM = 2√(r² + d²)。

解析：同样，根据之前的分析，我们可以得出结论：AM垂直于BC，并且AM 是线段BC的中线。

根据勾股定理，我们可以得到AM² = d² - r²。

另一方面，根据垂直中线定理，我们可以得到BM² + CM² = 2AM²。

直线与圆练习直线与圆练习第Ⅰ卷(选择题共40分)一.选择题(10_4′＝40′)1.直线l与直线y=1._-y-7=0分别交于P.Q两点,线段PQ的中点为(1,-1),则直线l的斜率为( )A.B.C.-D.-2.点P在直线2_+y+10=0上,PA.PB与圆分别相切于A.B两点,则四边形PAOB面积的最小值为( )A.24B.16C.8D.43.已知直线:y=_,:a_-y=0,其中a为实数,当这两直线的夹角θ∈(0,)时,a的取值范围为( )A.(0,1)B.(,)C.(,1)∪(1,)D.(1,)4.设a.b.k.p分别表示同一直线的横截距.纵截距.斜率和原点到直线的距离,则有( )A. B.k= C.=p D.a=-kb5.已知直线_+3y-7=0,k_-y-2=0和_轴.y轴围成四边形有外接圆,则实数k等于( )A.-3B.3C.-6D.66.若圆(r_gt;0)上恰有相异两点到直线4_-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是( )A.［4,6］B.4,6)C.(4,6D.(4,6)7.直线:,:,则=-1是⊥的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.过圆外一点P(4,-1)引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为( )A.4_-y-4=0B.4_+y-4=0C.4_+y+4=0D.4_-y+4=09.倾斜角为60°,且过原点的直线被圆(r_gt;0)截得弦长恰好等于圆的半径,则a.b.r满足的条件是( )A.B.C.D.10.直线y=k_+1与圆的两个交点关于y轴对称,则k为( )A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷(非选择题共60分)二.填空题(4_3′＝12′)11.若点P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线l对称,则直线l的方程是.12.已知圆的一条直径通过直线_-2y-3=0被圆截弦的中点,则该直径所在直线的方程为.13.关于_的方程k_+1=有且只有一个实根,则实数k的取值范围是.14.经过点P(-2,4),且以两圆和的公共弦为一条弦的圆的方程是.三.解答题(6_8′＝48′)15.若直线:_+y+a=0,:_+ay+1=0,:a_+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.16.已知点P是直线l上的一点,将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0_lt;α_lt;)所得直线的方程为3_-y-4=0,若继续绕点P逆时针方向旋转,则得的方程为_+2y+1=0,试求直线l的方程.17.设P是圆M:上的动点,它关于A(9,0)的对称点为Q,把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S,求SQ的最值.18.已知点A(3,0),点P在圆的上半圆周上,∠AOP的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程.19.如图,已知⊙A:,⊙B:,动圆P与⊙A.⊙B都外切.(1)求动圆圆心P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(2)若直线y=k_+1与(1)中的曲线有两个不同的交点.,求k的取值范围;(3)若直线l垂直平分(2)中的弦,求l在y轴上的截距b的取值范围.20.已知圆C:,是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.直线与圆练习参考答案1.C 方法1 设直线l为y=k_+b,分别与y=1,_-y-7=0联立解得P (-,1),Q (,).由PQ中点为(1,-1),∴,且1＋＝-2,∴k=-,故选C.方法2 设P (a,1),Q (b+7,b),因PQ的中点为(1,-1),∴,解得,故P为(-2,1),Q为(4,-3),∴,故选C.2.C 如图,＝=2.要求的最小值,只需求PO的最小值即可.第2题图解,∴,故选C.3.C 如图,设直线y=a_的倾斜角为α,则α≠,∴α-_lt;,∴_lt;α_lt;,且α≠.a=tanα∈(,1)∪(1,).4.A 应用点到直线的距离公式,选A.第5题图解第3题图解5.B 如图,设围成四边形为OABC,因OABC有外接圆,且∠AOC＝90°,故∠ABC＝90°.∴两条直线_+3y-7=0,k_-y-2=0互相垂直,(-)·k=-1,即k=3,故选Ｂ.说明运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D 如图,设l:4_-3y+25=0,与l平行且距离等于1的直线为4_-3y+b=0.∴或b=30.:4_-3y+20=0,:4_-3y+30=0.第6题图解圆心(0,0)到和的距离分别为=4,=6.故满足条件的r取值范围(4,6).实际上,圆没有点到直线4_-3y+25=0的距离等于1,则0_lt;r_lt;4,若圆上只有一点到直线4_-3y+25=0的距离等于1, 则r=4,类似可求出圆上有三点.四点到直线的距离等于1的r的取值范围.7.A 由,可得⊥,∴选A.第8题图解8.A方法1 设切点为A.B,则AB⊥OP,∵,∴.故排除B.C.又由图可知,AB在y轴的截距为负,故排除Ｄ,所以选A.方法2 设A(,),B(,),由AP⊥OA可得·=-1,即.∴,又,∴.同理可得,∴AB直线为-4_+y+4=0,即4_-y-4=0.方法3 设A(,),B(,),则切线PA为,.∴,,∴A.B在直线4_-y-4=0上.另:此题可推广到一般结论,若P (,)为圆 (r_gt;0)外一点,过P引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为.9.A 直线方程为,则圆心(a,b)到直线_-y=0的距离为d=,又因截得弦长恰好等于圆的半径,故d=r,∴a-b=r,故选A.10.B 方法1 将y=k_+1代入中有.设交点为A(,),B(,),∵A.B关于y轴对称,∴,∴k=0.故选B.方法2 因直线与圆的两个交点A(,),B(,)关于y轴对称∴,,故圆心在y轴上,∴k=0,故选B.11._-y-1=0 P.Q关于直线l对称,故=-1且PQ中点在l上,∴,又PQ中点为(,),∴l的方程为y-＝_-,即_-y-1=0.此题也可将a,b赋特殊值去求直线l.12.2_+y-3=0由圆的几何意义知该直径与直线_-2y-3=0垂直.故该直径方程为y+1=-2(_-2),即2_+y-3=0.13.{kk_gt;1或k=0或k_lt;-1} 画出函数y=k_+1.y=的图象,两曲线相切及只有一个交点时如图所示.第13题图解14. 设圆的方程为经过P(-2,4),∴,∴λ=-2,∴所求的圆的方程为.15.解由.相交,需1·a-1·1≠0,得a≠1,此时解方程组,可解得即.的交点为(-1-a,1),由.相交,需1·1-1·a≠0,∴a≠1,由,相交,需1·1-a·a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1), ∴a·(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,综上所述,a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a).(-1-a,-1+a+)互不重合,所以所求a的范围为a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).16.解由已知条件知P为直线3_-y-4=0和直线_+2y+1=0的交点,联立两直线方程得,∴.∴P点为(1,-1).又l与垂直,故l的方程为y+1=2(_-1),即l的方程为2_-y-3=0.17.解设P(_,y),则Q(18-_,-y),记P点对应的复数为_+yi,则S点对应的复数为:(_+yi)·i=-y+_i,即S(-y,_),∴S Q==其中可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离,其最大值为MB+r=2+1,最小值为MB-r=2-1,则SQ的最大值为2+,SQ的最小值为2-.18.解方法1 如图,设P(,)(_gt;0),Q(_,y).第18题图解∵OQ为∠AOP的平分线,∴,∴Q分PA的比为.∴即.又因,且_gt;0,∴.∴Q的轨迹方程为(y_gt;0).方法2 设∠AOP=α,α∈(0,π),则P(cosα,sinα),∠AOQ=,则OQ直线方程为y=_·tan=k_①,∴直线PA方程为y=(_-3) ②由Q满足①②且k=tan.由②得y=.消去k有y=,∴,由图知y_gt;0.故所求Q点轨迹方程为(y_gt;0).说明上述两种方程为求轨迹的基本方法.相关点及参数法.第19题图解19.解(1)如图,设⊙P的圆心P(_,y),半径为R,由题设,有PA=R+,PB=R+,∴PA-PB=2.∴⊙P的圆心轨迹是实轴长为2,焦点在_轴上,且焦距长为4的双曲线的右支,其方程为(__gt;0).(2)由方程组,有(__gt;0).①因为直线与双曲线有两个不同交点,∴.从而,有. ∴-2_lt;k_lt;-.(3)设的中点为M(.),则=.又M在y=k_+1上,∴=k+1=.∴M(,).∴的垂直平分线l的方程为:y-=-(_-),即y-=-(_-).令_=0,得截距b=,k∈(-2,-),又-2_lt;k_lt;-,∴-1_lt;3-_lt;0.∴b_lt;-4.20.解假设存在这样的直线,设直线l方程为y=_+b.方法1 将y=_+b代入圆的方程有.由题设知OA⊥OB,设A(,),B(,),∴＋＝0.又＝(＋b)(+b)=＋b(＋)＋,∴2＋b(＋)＋＝0. 又∵+=-(b+1),＝2b-2+,∴2(+2b-2)-b(b+1)+ =0.∴b=1或b=-4.此时Δ＝,∴存在这样的直线l:y=_+1或y=_-4满足题设. 方法2 设过圆C与l的交点的圆系D为即.圆心为(-,-),在直线y=_+b上,∴-=-+b,即λ=3+b.①又圆D过原点,∴bλ-4=0.②由①②得,,即b=1或b=-4.此时圆D的方程存在.故存在直线y=_+1或y=_-4.。

直线与圆的圆程锻炼题之阳早格格创做一、采用题:1．直线1x =的倾斜角战斜率分别是（ ）A ．B ．C ．，没有存留D ．，没有存留 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 谦脚（ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过面(1,3)P -且笔直于直线032=+-y x 的直线圆程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知面(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的笔直仄分线的圆程是（ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位子闭系是（ ）A ．仄止B ．笔直C ．斜接D ．与的值有闭6．二直线330x y +-=与610x my ++=仄止，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴背目标仄移3个单位再沿y 轴正目标仄移1个单位后，又回到本去的位子，那么直线l 的斜率是（ ）A．3-C D ．38．直线l 与二直线1y =战70x y --=分别接于,A B 二面，若线段AB 的中面为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 9．若动面P 到面(1,1)F 战直线340x y +-=的距离相等，则面P 的轨迹圆程为（ ）A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中面，则直线AB 的圆程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=11．圆012222=+--+y x y x 上的面到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+ D ．221+12．正在坐标仄里内，与面(1,2)A 距离为1，且与面(3,1)B 距离为2的直线同有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13．圆0422=-+x y x 正在面)3,1(P 处的切线圆程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 接于,E F 二面，则∆EOF （O 是本面）的里积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心正在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C相切，则圆C 的圆程为（ ）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x 16．若过定面)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 正在第一象限内的部分有接面，则k 的与值范畴是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C.130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 战圆：0622=-+x y x 接于,A B 二面，则AB 的笔直仄分线的圆程是（ ）A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --=D ．4370x y -+=18．进射光芒正在直线1:23l x y -=上，通过x 轴反射到直线2l 上，再通过y 轴反射到直线3l 上，若面P 是1l 上某一面，则面P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3C D 二、挖空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 闭于y 轴对付称，则2l 的圆程为__________;若3l 与1l 闭于x 轴对付称，则3l 的圆程为_________;若4l 与1l 闭于x y =对付称，则4l 的圆程为___________;20．面(,)P x y 正在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过本面且仄分ABCD 的里积，若仄止四边形的二个顶面为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的圆程为________________.22．已知面(,)M a b 正在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为23．将一弛坐标纸合叠一次，使面(0,2)与面(4,0)沉合，且面(7,3)与面(,)m n 沉合，则n m +的值是___________________.24．直线10x y -+=上一面P 的横坐标是3，若该直线绕面P 顺时针转动090得直线l ，则直线l 的圆程是．25．若通过面(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线正在y 轴上的截距是 __________________.26．由动面P 背圆221x y +=引二条切线,PA PB ，切面分别为0,,60A B APB ∠=，则动面P 的轨迹圆程为.27．圆心正在直线270x y --=上的圆C 与y 轴接于二面(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的圆程为.28．已知圆()4322=+-y x 战过本面的直线kx y =的接面为,P Q 则OQ OP ⋅的值为_.29．已知P 是直线0843=++y x 上的动面，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切面，C 是圆心，那么四边形PACB 里积的最小值是________________.30．对付于任性真数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位子闭系是_________31．若直线21x y -=与直线b x y +=末究有接面，则b 的与值范畴是___________；若有一个接面，则b 的与值范畴是________；若有二个接面，则b 的与值范畴是_______；32．如果真数,x y 谦脚等式22(2)3x y -+=，那么xy 的最大值是________. 三、解问题:36．供通过面(2,2)A -而且战二个坐标轴围成的三角形的里积是1的直线圆程.37．供函数()f x =.38．供过面()1,2A 战()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的圆程.39．供过面(2,4)A 背圆422=+y x 所引的切线圆程.40．已知真数y x ,谦脚122=+y x ，供12++x y 的与值范畴. 41．供过面(5,2),(3,2)M N 且圆心正在直线32-=x y 上的圆的圆程.42．已知二圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，供（1）它们的公同弦地圆直线的圆程；（2）公同弦少.43．已知定面A （0，1），B （0，－1），C （1，0）．动面P 谦脚：2||PC k BP AP =⋅.（1）供动面P 的轨迹圆程，并证明圆程表示的直线典型；（2）当2k =时，供|2|AP BP +的最大、最小值．参照问案一、采用题:1．C 1x =笔直于x 轴，倾斜角为090，而斜率没有存留2．D tan 1,1,1,,0a k a b a b b α=-=--=-=-=3．A 设20,x y c ++=又过面(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=4．B 线段AB 的中面为3(2,),2笔直仄分线的2k =，32(2),42502y x x y -=---= 5．B 6．D 把330x y +-=变更为6260x y +-=，则d ==7．A 1tan 3α=- 8．D (2,1),(4,3)A B --cos sin sin (cos )0θθθθ⋅+⋅-=9．B 面(1,1)F 正在直线340x y +-=上，则过面(1,1)F 且笔直于已知直线的直线为所供10．A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-11．B圆心为max (1,1),1,1C r d ==12．B 二圆相接，中公切线有二条13．D 2224x y -+=（）的正在面)3,1(P处的切线圆程为(12)(2)4x --+=14．D 弦少为4，142S =⨯=15．D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a a x y +>==-+= 16．A 圆与y17．C由仄里几许知识知AB 的笔直仄分线便是连心线18．C 提示：由题意13//l l ，故P 到3l 的距离为仄止线1l ，3l 之间的距离， 1:230l x y --=，再供得3:230l x y -+=，所以d = 二、挖空题:19．234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+20．822x y +可瞅成本面到直线上的面的距离的仄圆，笔直时最短：d ==21．23y x =仄分仄止四边形ABCD 的里积，则直线过BD 的中面(3,2) 22．322b a +的最小值为本面到直线1543=+y x 的距离：155d = 23．345 面(0,2)与面(4,0)闭于12(2)y x -=-对付称，则面(7,3)与面(,)m n也闭于12(2)y x -=-对付称，则3712(2)223172n m n m ++⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得35315m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24．70x y +-=(3,4)P l 的倾斜角为00004590135,tan1351+==- 25．1面(1,0)P -正在圆032422=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+= 26．224x y +=2OP =k <<27．22(2)(3)5x y -++= 圆心既正在线段AB 的笔直仄分线即3y =-，又正在 270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =28．5 设切线为OT ，则25OP OQ OT ⋅==29． 当CP 笔直于已知直线时，四边形PACB 的里积最小 30．相切或者相接2≤=；另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)正在圆上31．[-；[){}1,12-；⎡⎣直线21x y -=代表半圆32设22222,,(2)3,(1)410y k y kx x k x k x x x==-+=+-+=，2164(1)0,k k ∆=-+≥≤≤ 另可思量斜率的几许意思去干 33．32x =O ：圆心(0,0)O，半径r ='O ：圆心'(4,0)O，半径'r =设(,)P x y ，由切线少相等得222x y +-=22810x y x +-+，32x =． 34．π022⎛⎤- ⎥⎝⎦， 三、解问题:36．解：设直线为2(2),y k x -=+接x 轴于面2(2,0)k--，接y 轴于面(0,22)k +， 得22320k k ++=，或者22520k k ++= 解得1,2k =-或者 2k =- 320x y ∴+-=，或者220x y ++=为所供.37．解：()f x =可瞅做面(,0)x到面(1,1)战面(2,2)的距离之战，做面(1,1)闭于x 轴对付称的面(1,1)-38．解：圆心隐然正在线段AB 的笔直仄分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则 222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而22(13)(1)16,37,5a a a a r r --+===-==或22(3)(6)20x y ∴-+-=.39．解：隐然2x =为所供切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=r =32,,341004k x y ==-+=2x ∴=或者34100x y -+=为所供. 40．解：令(2),(1)y k x --=--则k 可瞅做圆122=+y x 上的动面到面(1,2)--的连线的斜率 而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+. 41．解：设圆心为(,)x y ，而圆心正在线段MN 的笔直仄分线4x =上，即4,23x y x =⎧⎨=-⎩得圆心为(4,5)，r ==22(4)(5)10x y -+-=42．解：（1）2210100,x y x y +--=①；2262400x y x y ++--=②；②-①得：250x y +-=为公同弦地圆直线的圆程；（2=，公同弦少为43．解：（1）设动面坐标为(,)P x y ，则(,1)AP x y =-，(,1)BP x y =+，(1,)PC x y =-． 果为2||PC k BP AP =⋅,所以22221[(1)]x y k x y +-=-+．22(1)(1)210k x k y kx k -+-+--=． 若1k =，则圆程为1x =，表示过面（1，0）且仄止于y 轴的直线． 若1k ≠，则圆程化为2221()()11k x y k k ++=--． 表示以(,0)1k k -为圆心，以1|1|k - 为半径的圆． （2）当2k =时，圆程化为22(2)1x y -+=，果为2(3,31)AP BP x y +=-，所以|2|9AP BP x += 又2243x y x +=-，所以|2|36AP BP += 果为22(2)1x y -+=，所以令2cos ,sinx y θθ=+=，则36626)46[46x y θϕ--=++∈-+． 所以|2|AP BP +3=3．。

直线与圆的位置关系练习题1. 直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和圆相交的情况。

在这个练习题中，我们将探讨不同的直线和圆的位置关系，并解决相关的几何问题。

2. 问题1：直线穿过圆的中心的位置关系给定一个圆C的半径r和圆心O，以及一条直线l，如果直线l 穿过圆C的中心O，那么直线l和圆C的位置关系是什么？解答：如果直线l穿过圆C的中心O，那么直线l与圆C有两个交点，这两个交点与圆心O的距离分别为半径r。

因此，直线l与圆C相交于两个点。

3. 问题2：直线与圆相离的位置关系给定一个圆C的半径r和圆心O，以及一条直线l，如果直线l 与圆C不相交且不相切，那么直线l和圆C的位置关系是什么？解答：如果直线l与圆C不相交且不相切，那么直线l与圆C 的距离大于半径r。

此时，直线l与圆C没有交点。

4. 问题3：直线与圆相切的位置关系给定一个圆C的半径r和圆心O，以及一条直线l，如果直线l 与圆C相切，那么直线l和圆C的位置关系是什么？解答：如果直线l与圆C相切，那么直线l和圆C只有一个交点，这个交点与圆心O的距离等于半径r。

此时，直线l与圆C相切于一个点。

5. 问题4：直线与圆相交的位置关系给定一个圆C的半径r和圆心O，以及一条直线l，如果直线l 与圆C相交但不相切，那么直线l和圆C的位置关系是什么？解答：如果直线l与圆C相交但不相切，那么直线l与圆C有两个交点，这两个交点与圆心O的距离分别大于或小于半径r。

此时，直线l与圆C相交于两个不同的点。

6. 问题5：直线与圆内部的位置关系给定一个圆C的半径r和圆心O，以及一条直线l，如果直线l 完全位于圆C内部，那么直线l和圆C的位置关系是什么？解答：如果直线l完全位于圆C内部，那么直线l与圆C没有交点，直线l离圆C的距离小于半径r。

直线与圆方程一：圆的方程例1、 若方程014222=+++-+a y x y x 表示的曲线是一个圆，则a 的取值范围是圆心坐标是__________________,半径是________________例2、 求过点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程，并判断点)4,2(P 与圆的关系．例3 圆心在直线30x y -=上，与直线0=y 相切，且被直线0x y -=所截得的弦长为的圆的方程．**练习. 方程(0x y +-=所表示的曲线是 ( )A ．一个圆和一条直线B ． 两个点C ． 一个点D ．一个圆和两条射线 二：点与圆，直线与圆的位置关系：1、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是*2、设点（00,y x ）在圆222r y x =+的外部，则直线200r y y x x =+与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ． 相离D ．不确定*3、原点与圆22(1)()2(01)x y a a a -+-=<<的位置关系是___________ 三：直线与圆的位置关系（一）相交例1、已知圆 042:22=--+y x y x C 和点(0,2)P ，（1）求直线1:360l x y --=被圆C 截得的弦AB 的长；（2）直线2l 与圆 C 交与MN 两点，弦MN 被点P 平分，求2l 的方程（*3）过P点的直线l 截圆C 所得的弦长为4，求直线l 的方程。

**例2、 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线340x y b ++=的距离为1的点有三个，则_____b =， **例3、.已知方程04222=+--+m y x y x 表示圆,（1）求m 的取值范围；（2）若该圆与直线042=-+y x 相交于两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值；（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.**例4. 已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=。

圆与直线方程的训练题一．选择题（共20小题）1．圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．22．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．23．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=104．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=25．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）7．直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为（）A．1或﹣6 B．1或﹣7 C．﹣1或7 D．1或﹣8．圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切9．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离10．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含11．若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5＜r＜10）相切，则r等于（）A．6 B．7 C．8 D．912．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2D．13．在直角坐标系中，直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．14．直线AB的斜率为2，其中点A（1，﹣1），点B在直线y=x+1上，则点B的坐标是（）A．（4，5）B．（5.7）C．（2，1）D．（2，3）15．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣216．已知直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，则直线l1与l2的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直17．若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．118．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．19．点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A．B．C．D．20．在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2016•北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==．故选：C．2．（2016春•金昌校级期末）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．3．（2016•长沙模拟）已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．4．（2016•平度市一模）圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|=，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|=，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C5．（2016•贵州校级模拟）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．6．（2016•扬州校级一模）直线x+y=1与圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）没有公共点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：把圆x2+y2﹣2ay=0（a＞0）化为标准方程为x2+（y﹣a）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=＞r=a，当a﹣1＞0即a＞1时，化简为a﹣1＞a，即a（1﹣）＞1，因为a＞0，无解；当a﹣1＜0即0＜a＜1时，化简为﹣a+1＞a，即（+1）a＜1，a＜=﹣1，所以a的范围是（0，﹣1）故选A7．（2016•佛山模拟）直线l：x=my+2与圆M：x2+2x+y2+2y=0相切，则m的值为（）A．1或﹣6 B．1或﹣7 C．﹣1或7 D．1或﹣【解答】解：圆M：x2+2x+y2+2y=0，即（x+1）2+（y+1）2=2，表示以M（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于的圆．再根据圆心到直线l：x﹣my﹣2=0的距离等于半径，可得=，求得m=1，或m=﹣7，故选：B．8．（2016•枣庄一模）圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的位置关系为（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【解答】解：这两个圆（x﹣1）2+y2=1与圆x2+（y﹣1）2=2的圆心分别为（1，0）、（0，1）；半径分别为1、．圆心距为，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，故选：C．9．（2016春•漳州期末）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心M（2，3），半径R=3．∴|CM|==5=R+r=3+2=5．∴两圆外切．故选：A．10．（2016春•厦门期末）已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．11．（2016春•承德期末）若圆O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5＜r＜10）相切，则r等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=25的圆心M（3，4）、半径为5；圆（x+2）2+（y+8）2=r2的圆心N（﹣2，﹣8）、半径为r．若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即=|r﹣5|，求得r=18或﹣8，不满足5＜r＜10．若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即=|r+5|，求得r=8或﹣18（舍去）．故选：C．12．（2016•马鞍山）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2D．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D．13．（2016•衡阳校级模拟）在直角坐标系中，直线x+y+3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y+3=0斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选D．14．（2016•长沙校级模拟）直线AB的斜率为2，其中点A（1，﹣1），点B在直线y=x+1上，则点B的坐标是（）A．（4，5）B．（5.7）C．（2，1）D．（2，3）【解答】解：根据题意，点B在直线y=x+1上，设B的坐标为（x，x+1），则直线AB的斜率k===2，解可得x=4，即B的坐标为（4，5），故选：A．15．（2016•衡阳校级模拟）直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a 的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．16．（2016•马鞍山）已知直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，则直线l1与l2的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【解答】解：由直线l1：x+y=0，l2：2x+2y+3=0，可得斜率都等于﹣1，截距不相等．∴l1∥l2．故选：B．17．（2016•海南校级模拟）若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．1【解答】解：∵直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，∴，解得a=﹣2，故选：A．18．（2016春•新疆期末）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：=，∵a＞0，∴a=．故选C．19．（2016•衡阳校级模拟）点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：点（2，1）到直线3x﹣4y+2=0的距离d==．故选A．20．（2016•北京）在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，∴b2=42+（2﹣b）2，∴b=5．故选：C．。