概率论与数理统计论文
引言：
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要1000年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。
关键词：概率统计；随机事件；数学期望；n 重贝努利试验，随机变量的数字特征
一．随机变量的数字特征
1．数学期望
设X 是离散型的随机变量，其概率函数为
(),1,2,
,i i P X a p i ===
如果级数i
i
i
a p
∑绝对收敛，则定义X 的数学期望为
()i i
i E X a p =∑；
设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx
+∞
-∞⎰绝对可积，则定义X 的数学期望为
()()E X xf x dx
+∞-∞
=⎰
．
2．随机变量函数的数学期望
设X 为离散型随机变量，其概率函数
(),1,2,,i i P X a p i ===
如果级数
()i
i
i
g a p
∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为
[()]()i i
i E g X g a p =∑
设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数
(,),,1,2,,
i j ij P X a Y b p i j ====
如果级数(,)i j ij j i g a b p ∑∑
绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为
[(,)](,)i j ij
j
i
E g X Y g a b p =∑∑；
特别地
();()i ij j ij
i
i
j
i
E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.
设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx
+∞
-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为
[()]()()E g X g x f x dx
+∞-∞
=⎰
．
设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积
分(,)(,)g x y f x y dxdy
+∞
+∞
-∞
-∞
⎰⎰
绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为
[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy
+∞+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
；
特别地
()(,)E x xf x y dxdy
+∞
+∞
-∞-∞=⎰
⎰
, ()(,)E Y yf x y dxdy
+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰
⎰
.
3．数学期望的性质
3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；
3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)； 3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；
3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 4．方差与标准差
随机变量X 的方差定义为
2()[()]D X E X E X =-． 计算方差常用下列公式：
22()()[()]D X E X E X =-’
当X 为离散型随机变量，其概率函数为
(),1,2,,i i P X a p i ===
如果级数
2
(())
i i
i
a E X p -∑收敛，则X 的方差为 2()(())i i
i
D X a
E X p =-∑；
当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分
2
(())()x E X f x d x +∞
-∞
-⎰收敛，则X 的方差为 2()(())()D X x E x f x dx
+∞
-∞
=-⎰.
随机变量X 的标准差定义为方差()D X 5．方差的性质
5.1 ()0D c = (c 是常数)；
5.2 2
()()D kX k D X = (k 为常数)；
5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+. 6．协方差
设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为
cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．
计算协方差常用下列公式：
cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-． 当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==． 协方差具有下列性质：
6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)； 6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =； 6.3
cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)；
6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+ 7．相关系数
随机变量(,)X Y 的相关系数定义为
XY ρ=
相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，
X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关．
相关系数具有下列性质： 7.1 ||1XY ρ≤；
7.2 ||1XY ρ=的充要条件是()1P Y aX b =+=，其中,a b 为常数；
7.3 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即0XY ρ=，但由
0XY ρ=不能推断X 与Y 独立．
7.4下列5个命题是等价的： ． 7.4.1 0XY ρ=；
7.4.2 cov(,)0X Y =；
7.4.3 ()()()E XY E X E Y =； 7.4.4 ()()()D X Y D X D Y +=+)； 7.4.5 ()()()D X Y D X D Y -=+． 利用协方差或相关系数可以计算
()()()2cov(,)()()2XY D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ±=+±=+± 8．原点矩与中心矩
随机变量X 的k 阶原点矩定义为()k
E X ；
