湖南省衡阳市2020届高三下学期第三次联考文数试题版含答案
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1word版本可编辑.欢迎下载支持. 湖南省衡阳市2017届高三下学期第三次联考
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合}3,2,1,0,1,2{A，},3|||{AxxyyB，则BA( )
A．}0,1,2{ B．}2,1,0,1{ C．}1,0,1,2{ D．}1,0,1{
2. 已知biiia1，其中ba,是实数，i是虚数单位，则ba（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1
3.“直线bxy与圆122yx相交”是“10b”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4.在等差数列}{na中，若721086aaa，则12102aa的值为（ ）
A．20 B．22 C. 24 D．28
5.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的2,2nx，依次输入的a为3，3，7，则输出的s（ ）
A．9 B．21 C．25 D．34
6.已知2cos12sin2，则)4tan(的值为（ ）
A．1 B．3 C. 3或3 D．1或3
7.设函数)(xf是定义在R上的奇函数，且0),(0),1(log)(3xxgxxxf，则)8(g（ ）
A．2 B．3 C. 2 D．3
8.已知双曲线E：)0,0(12222babyax，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB、CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率为2，则直线AC的斜率为k，则||k等于（ ） 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2word版本可编辑.欢迎下载支持. A．2 B．23 C. 25 D．3
9.如图所示，三棱锥ABCV的底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC与底面ABC垂直，若以垂直于平面VAC的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC的方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为32，则其侧视图的面积是（ ）
A．23 B．3 C. 32 D．3
10.已知函数)0,0)(sin()(AxAxf的图象与直线)0(Aaay的三个相邻交点的横坐标分别为2，4，8，则)(xf的单调递减区间是（ ）
A．Zkkk],36,6[ B．Zkkk],6,36[
C. Zkkk],36,6[ D．Zkkk],6,36[
11.如图所示，在正方体1AC中，2AB，EDBCA1111，直线AC与直线DE所成的角为，直线DE与平面11BBCC所成的角为，则)cos(（ ）
A．66 B．33 C. 630 D．36
12.已知1x是函数),0(ln)(3Rbaxbxaxxf的一个极值点，则aln与1b的大小关系是（ ）
A．1lnba B．1lnba C. 1lnba D．以上都不对
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量)1,(a，)1,2(b，若||||baba，则实数的值为
14.在区间)6,0(上随机去一个实数x，则满足x2log的值介于1到2的概率为 ．
15.由约束条件1330,0kxyxyyx，确定的可行域D能被半径为22的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是 ．
16.在数列}{na及}{nb中，221nnnnnbabaa，221nnnnnbabab，文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3word版本可编辑.欢迎下载支持. 1,111ba.设nnnbac11，则数列}{nc的前2017项和为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 如图所示，ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，且满足bcBCcossin3.
（1）求角B的大小；
（2）点D为边AB上的一点，记BDC，若2，558,5,2aADCD，求sin与b的值.
18.全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出mn,的值，并完成频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别属于)100,50[和)200,150[的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
19.如图所示，空间几何体BCFADE中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD平面CDEF，DCAD，4,2EFDEADAB，M是线段AE上的动点.
（1）求证：CDAE；
（2）试确定点M的位置，使//AC平面MDF，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，求空间几何体BCFADM的体积.
20.已知抛物线yx22，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为BA,，且2PBPAkk.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
21. 已知函数xxaxfln2)1)(2()(（Ra）. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4word版本可编辑.欢迎下载支持. （1）若曲线xxfxg)()(上点))1(,1(g处的切线过点)2,0(，求函数)(xg的单调递减区间；
（2）若函数)(xfy在)21,0(上无零点，求a的最小值.
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为sincos2yx（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为24)4sin(.
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数axxxf|1||12|)(的定义域为R.
（1）求实数a的取值范围；
（2）若a的最大值为k，且)0,0(2nmknm，求证：341nm.
试卷答案
一、选择题
1-5：AACCC 6-10： DABBD 11、12：AB
二、填空题
13．1； 14．31； 15．31k 16．4034．
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理可得BCBCsinsincossin3,所以33tanB,故30B
（2）在BCD中，BCDCBsinsin,所以552sin
在ACD中，由552sin,2,所以55cosADC
在ACD中，由余弦定理的ADCCDADCDADACcos2222 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5word版本可编辑.欢迎下载支持. 即5552522)5(222AC
所以5b
18. (1)100,250004.0nn
008.05010040,005.05010025,002.05010010,001.0501005
(2)平均数为95，中位数为87.5；
（3）在空气质量指数为)200,150[)100,50[和的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为)100,50[的4天分别记为dcba,,,；将空气质量指数为)200,150[的1天分别记为e；从中任取2天的基本事件分别为：),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(edecdcebdbcbeadacaba共10种
其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：),(),,(),,(),,(),,(),,(dcdbcbdacaba共6种.
所以事件A“两天空气都为良”发生的概率是53106)(AP
19.解：（1）四边形CDEF是矩形，EDCD
AE在平面AED内，CDAE
（2）当M是线段AE的中点时，MDFAC平面//,证明如下：
连结CE交DF于N，连结MN,由于NM,分别是CEAE,的中点，
所以ACMN//,又MN在平面MDF内，
所以MDFAC平面//
（3）将几何体BCFADE补成三棱柱ADE－CFB，
∴三棱柱ADE－CFB的体积为VS△ADE·CD=842221
∴ 空间几何体BCFADE的体积为34320=316
20.解：（Ⅰ）设00,Pxy，则直线PA：00PAyykxx，代入抛物线方程：
2002220PAPAxkxykx，因为直线与抛物线相切，所以文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
6word版本可编辑.欢迎下载支持. 2000220PAPAkxky，同理200220PBPBkxky，
所以PAk，PBk分别为方程：200220kxky的两个不同的实根，
022PAPBkky，所以01y，所以点P的轨迹方程1y．
（Ⅱ）设11,Axy，22,Bxy，由212yx，yx，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为110xxyy 220xxyy，
又都过点0,1Px，
所以10120210,10,xxyxxy
所以直线AB的方程为010xxy，
所以直线AB恒过定点0,1．
21.解：（1）因为 xaxaxgln2)2()-3)(（，所以xaxg23)('，于是ag1)1('
