三、教学过程 1、复习：
定积分的概念及用定义计算 2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为
2
1
()T T v t dt ⎰
。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即
2
1
()T T v t dt ⎰
=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算
()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
证明：因为()x Φ=
()x
a
f t dt ⎰
与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=
()a
a
f t dt ⎰
=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a
∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x
a
f t dt ⎰
令x b =，有
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用()|b
a F x 表示()()F
b F a -，即
()()|()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求
定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）2
11dx x ⎰； （2）3211
(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=，所以22
111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰。
（2））因为2'
'211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰
23
3111122||(91)(1)33
x x =+=-+-=
。 练习：计算1
20
x dx ⎰
解：由于
313x 是2x 的一个原函数，有 120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=1
3
例2．计算下列定积分：
220
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
ππ
π
⎰
⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为'
(cos )sin x x -=，所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x π
ππ=-=---=⎰
，
2
2
sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x π
π
ππππ=-=---=-⎰， 22
sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x π
π
π=-=---=⎰
. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2
刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t =0时，汽车速度0v =32公里/小时=321000
3600
⨯米
/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从
(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88
t= 4.931.8
≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.93
(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰
⎰
= 4.93
20
1
(8.88 1.8t )
21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车需走过
21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
