同角三角函数关系式与诱导公式基础(学生用)
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同角三角函数关系及诱导公式
教学目标：
1. 理解同角三角函数的基本关系式；
2. 掌握正弦，余弦的诱导公式。
教学重点：同角三角函数基本关系及诱导公式的灵活运用
教学难点：诱导公式的灵活运用
一．知识梳理
1.同角三角函数基本关系：
（1）基本关系：
①平方关系: sin 2α＋cos 2α＝1 2211tan cos αα
+= ②商数关系: tan α＝sin αcos α（α≠k π＋π2，k ∈Z ）；cot α＝cos αsin α
（α≠k π，k ∈Z ）． ③倒数关系: 1
tan cot αα=（12
k απ≠） （2）常用变换形式:
①根据这三大关系，若已知一个角α的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值． ②几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式：
（1）基本关系
（一）2k πα+ （二）πα+ （三） α- （四）πα- （五）2πα- （六）2
πα+ 正弦 sin α sin α- sin α- sin α
cos α cos α 余弦 cos α cos α- cos α cos α- sin α
sin α- 正切
tan α tan α tan α- tan α- / / （2）记忆及运用方法：
①六组诱导公式统一为“()2
k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，体现了化归思想。
(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数.
(2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数.
(3)进一步转化成锐角三角函数.
二．典型例题
考点一 诱导公式
例1 化简：（1）化简
)
1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-
（2）
cos(sin(2)sin()cos(πααπαππα+)⋅+--⋅--)
例2 已知8cos()17
πα-=
，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值．
考点二 同角三角函数恒等式
例3 已知α是三角形的内角，若1sin cos 5
αα+=
，求tan α的值．
例4 已知)1,2(,cos sin ≠≤
=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值.
考点三 恒等式与诱导公式的综合
例5 已知cos(75°＋α)＝13
，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
变式1 设θ是第二象限角, 且,312sin 2cos =-θθ求2
sin 2cos θθ+的值.
变式2 已知α是第三象限的角，且
f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋32 π）tan （―α―π）sin （－π－α）
(1)化简f （α）； (2)若cos(α－32 π)＝15
，求f (α)的值； (3)若α＝－1860°，求f （α）的值.
例6 化简 (1)
x x x x x x sin tan sin tan cos 1sin +-⋅-
(2)
12sin cos 12sin cos (0)22222ααααπ-++<α<
例7 证明(1)
1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ
变式 (1)求证:cos x 1－sin x
＝1＋sin x cos x
课后作业
一、选择题：
1.若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则( )
A ．α＝β
B ．α＝180°＋β
C ．α＝k ·360°＋β，k ∈Z
D ．α＝k ·360°＋180°＋β，k ∈Z
2．若－π2
<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A ．sin θ2
B ．cos θ2
C ．tan θ2
D ．cos2θ
5．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A ．sin θ<0，cos θ>0
B ．sin θ>0，cos θ<0
C ．sin θ>0，cos θ>0
D ．sin θ<0，cos θ<0
6．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )
7．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4
，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4
8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
9．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )
A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2 10．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－m m ＋1
，且α为第二象限角，则m 的允许值为( ) A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32
11．点P (1,0)沿x 2＋y 2＝1逆时针转2π3
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 ( ) A ．(－12，32) B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12
) 12．(tan x ＋1tan x
)cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x
二、填空题：
13．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin(3π2－θ)＝________. 14．1－2sin40°cos40°
cos40°－1－sin 250°＝________. 15．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34
，则sin α＋cos α的值为________． 16. 若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为________．
17．已知tan α＝2，则
(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α
＝________；(2) 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. 18. 化简cos(－θ)cos(360°－θ)·tan 2(180°－θ)－cos(90°＋θ)cos 2(270°＋θ)·sin(－θ)
＝________. 19. 已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35
，则x 的值为________．。
