第46讲 空间点、线、面的位置关系
1.(2013·山东省青岛市上期期末检测)已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( )
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
4.四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( )
A.55 B.255
C.45 D.35
5.(2013·浙江瑞安期末质检)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是__________．
6.如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，其中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为__________．
7.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 对．
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AD、AB的中点．求证：直线D1M、A1A、B1N三线共点．
9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点．
第十三讲 空间点、直线、平面的位置关系和平行证明
[玩前必备]
1. 空间点、线、面之间的位置关系
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a⊂α
2．直线与平面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b
结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b
3.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义 定理
图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
[玩转典例]
题型一 点线面的位置关系
例1 如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：
(1)与直线B′C′平行的直线和平面分别有哪几个？
(2)与直线B′C′垂直的直线和平面分别有哪几个？
(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？
(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？
[玩转跟踪]
1.如图所示，用符号语言可表示为( )
A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
学习资料
班 级： 科 目： 2021届高考数学统考二轮复习
第二部分 专题3 立体几何 第2讲 空间位置关系的判断与证明（教师用书）教案 理 专题3第2讲 空间位置关系的判断与证明
空间线、面位置关系的判断
授课提示:对应学生用书第30页
考情调研 考向分析
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1。空间线面位置关系的判断．
2.异面直线所成角．
3.线面角.
[题组练透]
1．在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
答案：A
2．（2019·张家口、沧州模拟)已知直线a，b和平面α，a⊂α，则b⊄α是b与a异面的( ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析:由题意，若直线b不在平面α内，则b与a相交或b∥a，不一定有b与a异面，反之,若b与a异面,一定有直线b不在平面α内,即b⊄α是b与a异面的必要不充分条件．故选B。
答案：B
3.(2019·南宁模拟)如图所示，长方体ABCD。A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7,则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（ )
A。错误! B。错误!
C.错误! D.错误!
解析：作FG⊥AD，垂足为G，连接EG,因为FG∥AA1，所以∠EFG为异面直线EF与AA1所成的角（或补角），且tan∠GFE＝错误!，因为EG＝错误!＝5，FG＝AA1＝7，所以tan∠GFE＝57。故选B.
22 第2讲 空间位置关系的判断与证明
[做小题——激活思维]
1．设a，b，c表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的是( )
A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若a⊥b，b⊥α，则a⊥α
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
D [线面平行时要考虑线是否在平面内．]
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
B [A中m与α的位置关系不能确定，故A错误；
∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，
又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；
若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．选B.]
3．给出下列命题，其中错误命题的个数为( )
①若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
②若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
③若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
④若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
22 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是________．(填序号)
①AD1∥BC1；
②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；
④AD1∥平面BDC1.
①②④ [如图，因为AB綊C1D1，
所以四边形AD1C1B为平行四边形．
故AD1∥BC1，从而①正确；
易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，
又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，
故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；
由图易知AD1与DC1异面，故③错误；
因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
