作业题答案

2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？

答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

在流场中经过一封闭曲线(不是流线)的所有流线所围成的管状表面，称为流管。

流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。

2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为

22uxy，22vxy

试证过点（1，7）的流线方程为

2248yx

证：根据流线微分方程dxdyuv

求得，2222dxdyxyxy

积分得22yxc

代入点（1，7）求积分常数48c

过点（1，7）的流线方程为2248yx

2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为

2222Vxxyy，22yxy常数

求速度分量的表达式。

解：对22yxy常数求导，2220dydyyyxdxdx，得出dyydxxy

根据流线微分方程dxdyuv，得到u和v的关系，xyuvy

代入222222Vuvxxyy

得vy

求得u和v的表达式：,vyuxy或,vyuxy

2-4 求第2-3题中速度分量u的最大变化率及方向。

解：梯度矢量Ggradijkxyzurrrr ()uxy

()uuGgradijijxyurrrrr

2G

2-5 试证在柱坐标系（,,rz）下，速度的散度表达式为

1()rrVVwdivVVrrz

证：uvwdivVxyz

cosxr，sinyr，rdrVdt，rdVdt

cossinrdxuVVdt

sincosrdyvVVdt

sincosuuruuuxrxxrr

cossinvvrvvvyryyrr

cosruVrr ，sin(sincos)ruVVV

sinrvVrr ，cos(cossin)rvVVV

222222cossinsinsincoscosrrrrrruvVVVVVVVVVxyrrrrrrrrr代入1()rruvwVVwdivVVxyzrrz

2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？

（a）3sinuxy 23cosvxy

（b）3sinuxy 23cosvxy

（c）2sincosur 22sinvr

（d）2kVr 22xy常数 解：对于不可压缩流体，应满足连续方程 0uvxy

（a）22 3sin3sin0uvxyxyxy 满足质量守恒条件

（b）22 3sin3sin0uvxyxyxy 不满足质量守恒条件

（c）22rxy ，arctanyx

2223sinsincos2sincos2cos2sin2sinuuruuurrxrxxrrr

33coscossin2sin(4sincos)2sin4sincosvvrvvvryryyrrr 24sincos0uvxy 不满足质量守恒条件

（d）对22xy常数求导，220dyxydx得出dyxdxy

根据流线微分方程dxdyuv，得到u和v的关系，xvuy

代入222kVuvr

得3222()kyuxy，3222()kxvxym

5522222233 0()()uvkxykxyxyxyxy 满足质量守恒条件

2-7 流体力学具有分速度

2223/22223/22223/2()()()xuxyzyvxyzzwxyz

试问该流场是否有旋？如果无旋，求出其速度位函数。 解：判定无旋流的条件：0,0,0zyx

即;xvyu;ywzvzuxw

522223()vxyxxyz，522223()uxyyxyz

uvyx

同理;ywzvzuxw

 该流场无旋

对于无旋流，速度位函数32222()xdxydyzdzdudxvdywdzxyz

122221()cxyz

2-8 有不可压流体作定常运动，其速度场为

2uaxvayaz

式中a为常数。求：

（1） 线变形率、角变形率；

（2） 流场是否有旋；

（3） 是否有速度位函数存在。

解：微团线变形速率

2xyzuaxvaywaz

微团角变形速率 102102102xyzwvyzuwzxvuxy

1()02xvuxy 同理0,0yz

 该流场无旋

对于无旋流，速度位函数2dudxvdywdzaxdxaydyazdz

2221122axayazc

2-9 二维位流流场为3223xxxyy，求曲线24xy上点（2，-1）处的切向速度分量。

解：对24xy求导，得出(2,1)21dyydxx，

得到45，为x轴到切线方向的转角。

22uxxyx，2vxyy

32cos(,)cos(,)cossin2vuxsvysuv

2-10 设下列几种函数分别代表流动的3个分速度：

（1）,,0ukxvky；

（2）,,ukxvkykx；

（3）,,ukxvkykz；

（4）,,2ukxvkykz；

（5）,,ukxvkykz。

其中k为常数。问哪几种情况可以代表不可压流动？

解：对于不可压缩流体，应满足连续方程0uvwxyz

（1）,,0ukxvkyw； 0uvwxyz 可以代表不可压流动

（2）,,ukxvkywkx；

0uvwxyz 可以代表不可压流动

（3）,,ukxvkywkz；

0uvwxyz 不可以代表不可压流动

（4）,,2ukxvkywkz；

0uvwxyz 可以代表不可压流动

（5）,,ukxvkywkz。

0uvwxyz 不可以代表不可压流动

2-11 某一流动可描述为()Vfr，22xy常数。问()fr应具有什么形式，流场才能满足连续条件？为什么？

解：对22xy常数求导，220dyxydx

得出dyxdxy

根据流线微分方程dxdyuv，得到u和v的关系，xvuy

代入22()Vuvfr

得1222()()yfruxy，1222()()xfrvxym

要满足质量守恒条件，需 0uvxy

()nfrcr（c,n为任意常数）

2-12 二维点涡诱导的无旋流场是否满足连续条件？ 解：二维点涡的位函数02

流速只有012Vrr，0rV

11()0rruvVVVVxyrrr

满足连续方程 0uvxy，满足连续条件

2-13 某二维流动可描述为2245Vxxyy，2yxy常数。试用两种方法证明（见习题副图2-13）图中对curlzV在暗影区的面积分等于－4。

证：对2yxy常数求导，20dydyyyxdxdx

得出2dyydxxy

根据流线微分方程dxdyuv，得到u和v的关系，2xyuvy

代入222245Vuvxxyy

得vy

求得u和v的表达式：,(2)vyuxy或,2vyuxy

curlzV为V在z轴的旋度，同2z

1()12zvuxy

()(2)4LLLVdsudxvdyxydxydyrrm蜒?

沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在L上任意曲面 S上的涡通量。

()()24zLLssvuVdsudxvdydSdSxyrr蜒

2-14 一架飞机以180km/h的速度在海平面上飞行，求驻点处的表压（即大于或小于大气压的那部分压强）及相对流速为60m/s处的表压。

解：1180/50/Vkmhms