八年级全等三角形专题练习(解析版)

八年级全等三角形专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.

【答案】15CP

【解析】

【分析】

根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.

【详解】

如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，

此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，

如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，

此时CP=AC，

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，

所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，

故答案为1≤CP≤5.

【点睛】

本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.

2．如图，在ABC中，点A的坐标为0,1，点B的坐标为0,4，点C的坐标为4,3，点D在第二象限，且ABD与ABC全等，点D的坐标是______．

【答案】(－4，2)或(－4，3)

【解析】

【分析】

【详解】

把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等.

故答案为(－4，2)或(－4，3).

3．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABCEDC，92AEB，则EBD的度数为 ________ ．

【答案】128

【解析】

【分析】

连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA=CB，CE=CD，

∵72ABCEDC=∠DEC，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD，

在∆ACE与∆BCD中，

∵CACBACEBCDCECD，

∴∆ACE≅∆BCD（SAS），

∴∠AEC=∠BDC，

设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，

∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．

故答案是：128．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

4．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则ADBC____．

【答案】22．

【解析】

【分析】

根据题意作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH＝DH，连接DH，并设AD＝2x，解直角三角形求出BC（用x表示）即可解决问题．

【详解】

解：作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH=DH，连接DH．

设AD=2x，

∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，DF12AD=x，AF3x，

∵∠ACD=15°，HD=HC，

∴∠HDC=∠HCD=15°，

∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，

∴DH=HC=2x，FH3x，

∴AB=AC=2x+23x，

在Rt△ACE中，EC12AC=x3x，AE3EC3x+3x，

∴BE=AB﹣AE3x﹣x，

在Rt△BCE中，BC22BEEC22x，

∴22222ADxBCx．

故答案为：22．

【点睛】

本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．

【答案】2

【解析】

【分析】

连接BE，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE＝∠F，进一步说明BE＝EF，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.

【详解】

解：如图：连接BE

∵AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，

∴AE＝BE，∠A+∠AED＝90°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠F+∠CEF＝90°，

∵∠AED＝∠FEC，

∴∠A＝∠F＝30°，

∴∠ABE＝∠A＝30°，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，

∴∠CBE＝∠F，

∴BE＝EF，

在Rt△BED中，BE＝2DE＝2×1＝2，

∴EF＝2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.

6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．

【答案】8．

【解析】

【分析】

作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

【详解】

解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠DBC=∠D=60°，

∴△BDM为等边三角形，

∴△EFD为等边三角形，

∵BD=5，DE=3，

∴EM=2，

∵△BDM为等边三角形，

∴∠DMB=60°，

∵AN⊥BC，

∴∠ENM=90°，

∴∠NEM=30°，

∴NM=1，

∴BN=4，

∴BC=2BN=8（cm），

故答案为8．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

7．如图，在ABC和DBC中，40A，2ABAC，140BDC，BDCD，以点D为顶点作70MDN，两边分别交,ABAC于点,MN，连接MN，则AMN的周长为_______.

【答案】4

【解析】

【分析】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．

【详解】

延长AB至F，使BF=CN，连接DF．

∵BD=CD，且∠BDC=140°，

∴∠BCD=∠DBC=20°．

∵∠A=40°，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠DBA=∠DCA=90°．

在Rt△BDF和Rt△CND中，

∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，

∴△BDF≌△CDN，

∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．

∵∠MDN=70°，

∴∠BDM+∠CDN=70°，

∴∠BDM+∠BDF=70°，

∴∠FDM=70°=∠MDN．

∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，

∴△DMN≌△DMF，

∴MN=MF，

∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．

故答案为：4．

【点睛】

本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．

8．如图,在ABC中, 90,ACBABD是ABC的轴对称图形,点E在AD上,点F在AC的延长线上.若点B恰好在EF的垂直平分线上,并且5AE,13AF,则DE______．

【答案】4．

【解析】

【分析】

连接BE，BF，根据轴对称的性质可得△ABD≌△ACB，进而可得DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF，然后证明Rt△DBE≌Rt△CBF

可得DE=CF，然后可得ED长．

【详解】

解：连接BE，BF，

∵△ABD是△ABC的轴对称图形，

∴△ABD≌△ACB，

∴DB=CB，AD=AC，∠D=∠BCA=90°，

∴∠BCF=90°，

∵点B恰好在EF的垂直平分线上，

∴BE=BF，

在Rt△DBE和Rt△CBF中

BDBCEBFB

，

∴Rt△DBE≌Rt△CBF（HL），

∴DE=CF，

设DE=x，则CF=x，

∵AE=5，AF=13，

∴AC=AD=5+x，

∴AF=5+2x，

∴5+2x=13，

∴x=4，

∴DE=4，

故答案为：4．

【点睛】

此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．

9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．