山东省春季高考数学试题2007年真题(附答案)

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ）6π （B ） 4π （C ）3π （D ） 2π2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂= （A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3- 5 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π （C ）2,1π （D ） 2π6 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3xf x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x = 7 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项． 1．复数43i1+2i+的实部是（ ） A ．2- B ．2 C ．3 D ．42．已知集合11{11}|242x M N x x +⎧⎫=-=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，，，则M N =（ ）A ．{11}-，B ．{0}C ．{1}-D ．{10}-，3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位 5．已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）①正方形 ②圆锥③三棱台 ④正四棱A ．1B ．2C ．2D ．46．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =7．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二 组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x ，成绩大于等于 15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方 图中可以分析出x 和y 分别为（ ） A ．0.935， B ．0.945，C ．0.135，D ．0.145，0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率0.0.00.00.10.30.39．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB ．212pC ．136p D ．1336p10．阅读右边的程序框，若输入的n 是100，则输出的 变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2550，2500B ．2550，2550C ．2500，2500D ．2500，255011．设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ） A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，12．设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上．开始 输入n00S T ==，2?x <1n n =-T T n=+1n n =-结束输出S ，S S n=+否是13．设函数1()f x =21323()()x f x x f x x -==，，，则123(((2007)))f f f = ． 14．函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 15．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 16．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan 37a b c C =，，，． （1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ． 18．（本小题满分12分）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．19．（本小题满分12分）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥． （1）求证：11D C AC ⊥；（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．21．（本小题满分12分） 设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值． 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东文卷）答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．B 10．A 11．B 12．D 二、填空题 13．1200714．1 15．5m -≤ 16．22(2)(2)2x y -+-=三、解答题17．解：（1）sin tan 3737cos CC C=∴=， 又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．18．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q ==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=， 解得12122q q ==，． 由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列．12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=． 19．解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=， 即320x y +=．平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．0 100 200 300100200 300400 500 yxl Mmax 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．20．（1）证明：在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，连结1C D ，1DC DD =，∴四边形11DCC D 是正方形．11DC D C ∴⊥．又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥，AD ∴⊥平面11DCC D ， 1D C ⊂平面11DCC D ，1AD D C ∴⊥．1AD DC ⊂，平面1ADC ，且AD DC D =⊥，1D C ∴⊥平面1ADC ，又1AC ⊂平面1ADC ，1D C AC ∴1⊥．（2）连结1AD ，连结AE ，设11AD A D M =，BCDA1A1D1C1BBCD A1A1D1C1BMEBD AE N =，连结MN ，平面1AD E平面1A BD MN =，要使1D E ∥平面1A BD ， 须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点． 又易知ABN EDN △≌△，AB DE ∴=． 即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ．21．证明：因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，． ()f x '222b ax bax x x+=+=．当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减．所以当0ab >，函数()f x 没有极值点．当0ab <时，222()b b a x x a a f x x ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'=令()0f x '=，将1(0)2b x a =--∉+∞，（舍去），2(0)2b x a=-+∞，，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2b a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭， ()f x ' -0 +()f x极小值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：x02b a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2ba- 2ba ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x ' -0 +()f x极大值从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 222b b b f a a ⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：31a c a c +=-=，，222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，，又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---．1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=．解得：12227km k m =-=-，，且均满足22340k m +->． 当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，．。

◆精神损害赔偿数额确定的因素法定因素(1)侵权人的过错程度。

过错作为民事责任的构成要件之一，对于侵权行为是否承担民事责任是至关重要的。

过错包括故意和过失两种情况，区别故意和过失在精神损害赔偿中意义是较大的。

因为侵权人的过错程度一般与损害程度密切相联。

侵害人的主观故意或过失对受害人所产生的精神损害有轻重之别，因此在确定损害赔偿额时将侵害人的主观过错程度作为一个重要的参考因素。

(2)侵害的手段、场合，行为方式等情节。

侵权人侵权的具体情节不同，可以反映出侵权人的主观恶意程度和社会危害性大小的不同。

对受害人来说所造成精神损害肯定有所不同，应区分不同的情节，确定不同数额。

(3)侵权行为所造成的后果。

在有些情况下尽管采用极其恶劣的手段，但尚未造成严重后果，可酌情减少赔偿金的数额。

(4)侵权人的获利情况。

对于侵权人而言，如果其侵权行为获利较多，可酌情增加赔偿金数额。

(5)侵权人承担责任的经济能力。

视侵权人经济能力的不同，酌定不同的赔偿金数额。

(6)受诉法院所在地平均生活水平。

受诉法院所在地平均生活水平是确定赔偿金的重要因素。

可视受诉法院所在地平均生活水平的不同，酌定该地区赔偿金的数额酌定因素：A当事人主体的类别B侵权人的认错态度和受害人谅解程度; C侵权人的实际赔偿能力; D诉讼地的经济状况。

◆最高人民法院将统一精神损害赔偿标准：1111侵害他人生命权的精神损害抚慰金的赔偿数额，可依照该地区上年度职工平均工资标准赔偿20年。

受害人不满16岁的，每小一岁减一年，最低不少于5年;60岁以上的，每增加一岁减少一年，最低不少于5年。

侵害他人健康权的精神损害抚慰金的赔偿数额，参照侵害生命权的精神损害抚慰金的赔偿标准予以酌减，但不以受害人年龄作为参酌因素。

侵害他人身体权的，参照侵害精神性人格权的赔偿标准酌定赔偿数额。

同时，侵害他人精神性人格权的，将根据以下标准酌定赔偿数额：严重精神损害，抚慰金的赔偿数额分为5万元、4万元、3万元、2万元和1万元五个等级;一般性精神损害，抚慰金的赔偿数额分为8000元、6000元、4000元和2000元四个等级。