初中数学 数与式 总复习
实数的有关概念 (1)实数的组成
{
}
⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎭⎩
⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数
注意：1.最简分数是有理数。2. π、最简根式、e 等是无理数。
(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一个不可)，实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数， (3)相反数
实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零)．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称． (4)绝对值
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离 (5)倒数
实数a(a≠0)的倒数是a
1
(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数．
【例题经典】
理解实数的有关概念
例1 ①a 的相反数是-1
5
,则a 的倒数是_______．
②实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示:0a
b
则化简│b -．
③去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约______________________． 【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．
例2.(-2)3与-23( )．
(A)相等 (B)互为相反数 (C)互为倒数 (D)它们的和为16 分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。
例3.-3的绝对值是 ；-321 的倒数是 ；9
4
的平方根是 ．
分析：考查绝对值、倒数、平方根的概念，明确各自的意义，不要混淆。 答案：3，-2/7，±2/3
例4.下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A ．-3与3
B ．｜-3｜与一31
C ．｜-3｜与3
1
D ．-3与2(-3)
分析：本题考查相反数和绝对值及根式的概念 掌握实数的分类
例1 下列实数227、sin60°、3
π
、
0、3.14159、
（
-2
中无
理数有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．
实数的运算 (1)加法
同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即
⎪⎩
⎪
⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||)
,(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab
(4)除法
)0(1
≠⋅=b b
a b a (5)乘方 32
1Λ个
n n a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3
在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括
号里面．
3．实数的运算律
(1)加法交换律 a+b ＝b+a
(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac
其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便． 【例题经典】 例1、若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度（℃）可列式计算为
A ． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18 Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26
点评：本题涉及对正负数的理解、简单的有理数运算，试题以应用的方式呈现，同时也强调“列式”，即过程。
例2．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6．71×103千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) ( ) A ．5．90 ×105千米 B ．5．90 ×106千米 C ．5．89 ×105千米 D ．5．89×106千米 分析：本题考查科学记数法 例3.化简
2
73-的结果是( )．
(A)7-2 (B)
7+2 (C)3(7-2) (D)3(7+2)
分析：考查实数的运算。 例4.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )． ①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
分析：考查实数的运算，在数轴上比较实数的大小。
例5 计算：-1
13-⎛⎫
⎪⎝⎭
+（-2）2×（-1）0-│12．
【点评】按照运算顺序进行乘方与开方运算。
例5.校学生会生活委员发现同学们在食堂吃午餐时浪费现象十分严重，于是决定写一张标语贴在食堂门口，告诫大家不要浪费粮食．请你帮他把标语中的有关数如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天就要大约浪费 吨大米
例7.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级……逐步增加时，楼梯的上法数依次为：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(这就是著名的斐波那契数列)．请你仔细观察这列数中的规律后回答：上10级台阶共有 种上法． 分析：归纳探索规律：后一位数是它前两位数之和 例8.观察下列等式(式子中的“!”是一种数学运算符号)
