2017_18学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线教学案

§4 平摆线和渐开线[对应学生用书P35][自主学习]1．平摆线 (1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)． 设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足 为Q .因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝SM ＝r α.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝SM －MQ ＝r α－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(－∞<α<＋∞)．2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M ，它的初始位置记作A ，绳子离开圆盘的位置记作B ，随着绳子逐渐展开，动点B 从点A 出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于B ；(Ⅱ)MB 的长度与B 在圆周上走过的弧长相等，即MB ＝AB .图(2) 图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r ，则动点M 的初始位置A 的坐标为(r,0)，设动点M 的坐标为(x ，y )，φ是以OA 为始边、OB 为终边的正角，令φ为参数，此时AB 的弧长为r φ.作ME ⊥Ox ，BC ⊥Ox ，垂足分别为E ，C ；作MD ⊥BC ，垂足为D ，则∠MBD ＝∠AOB ＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(其中φ是参数)．[合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？ 提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O ，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr ，拱高等于圆的直径2r .其中r 为滚动圆的半径．[对应学生用书P35][例1] 数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)和渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos α)＝0，由于r >0，即得cos α＝1，所以α＝2k π (k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，而φ＝α得x ＝r (2k π－sin2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )． 又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πα－sin α，y＝1π－cos α(α为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)．这就是所求的圆的渐开线的参数方程.[例2] ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线参数方程的应用，解答此题需要根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r－cos α(α为参数)，确定出r ，α的值，再求y 的最值及对称轴即可．[精解详析] 轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)，即α＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤α≤2π)的对称轴为x ＝8π.1．根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点P 相对于圆心的张角．如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．2．根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数α是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．答案：4 (2π，4)[对应学生用书P36]一、选择题1.如图为圆的渐开线，已知基圆的半径为2，当∠AOB ＝π3时，圆的渐开线上的点M 到基圆上B 点的距离为( )A.π3 B.2π3C.4π3D ．π解析：选B 由圆的渐开线的形成过程知|BM |＝AB ＝π3×2＝2π3.2. 平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)B ．(3π＋2,2)C ．(π－2,2)或(3π＋2,2)D ．(π－3,5)解析：选C 由y ＝2得2＝2(1－cos α)，∴cos α＝0. ∵0≤α≤2π，∴α＝π2或3π2.∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π2－sin 3π2＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)． 3．已知平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(α为参数)，则摆线上的点(4π，0)对应的参数φ的值是( )A ．πB ．2πC ．4πD ．3π解析：选B 因⎩⎪⎨⎪⎧α－sin α＝4π， ①－cos α＝0. ②由②得cos α＝1.∴α＝2k π(k ∈Z )． 代入①得2(2k π－sin 2k π)＝4k π(k ∈Z )， 即2k π＝2π(k ∈Z )， 所以取k ＝1，此时α＝2π，因此点(4π，0)对应的参数值为α＝2π.4．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．答案：(π，2)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)8．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rα－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos αy ＝r α－sin α(α为参数)三、解答题9．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据平摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程． (3)求平摆线和x 轴的交点． 解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)．(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )， 即圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．11．有一个直径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 与轮子中心连线的中点P 的轨迹方程．解：x M ＝a (φ－sin φ)，y M ＝a (1－cos φ)． 设轮子中心为C ，则x c ＝a φ，y c ＝a . 而P 是CM 中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝12a φ－sin φ，yP＝12a－cos φ(φ为参数)．。

四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ为参数)．M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |OA ―→＝(4cos θ，由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2t ＋t sin t ，y＝2t －(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A. ⎛⎪⎫1＋π4，1－π4⎭⎪⎫1＋π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4x 轴正方向的夹角．＝φ＋φsin φ，＝φ－φcos φ.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④相应的参数方程也会有所区别，至于渐开，(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数( )解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)． 又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y＝12k π－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线． 由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ，y ＝a－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)， 即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．。

四 渐开线与摆线课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z ),代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=πk 21. 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且k∈Z ，即k∈N *. 所以，所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k∈N *).温馨提示本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面. 各个击破类题演练 1求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(2),sin (2t y t t x (0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π, ∴t=2π或23π. ∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2, x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).温馨提示求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例2】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B 对应的参数分别是3π和2π，求A,B 两点的距离. 思路分析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A,B 对应的参数代入参数方程可得对应的A,B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数)， 分别把φ=3π和φ=2π代入， 可得A,B 两点的坐标分别为A(633,633ππ-+)，B(2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A,B 两点的距离为 |AB|=22)1633()2633(--+-+πππ 633366)3613(612+---=ππ, 即点A,B 之间的距离为633366)3613(612+---ππ 温馨提示本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记. 类题演练 2已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解:设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x 令y=0,得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z ).代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=πk 1(k∈Z ). 又由实际可知r>0,所以r=πk 1(k∈N *).易知,当k=1时,r 最大,最大值为π1. 代入即可得圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数).变式提升 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH,…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是…( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π;是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π. 所以,曲线AEFGH 的长是5π.答案:C。

渐开线与摆线教学设计教学目标：1、通过课堂活动、动手操作，使学生感知圆的渐开线和平摆线的存在，并能说出渐开线和摆线内的几何等量关系.2、通过活动问题的转化，引导学生利用数学向量和坐标的知识建立渐开线和摆线的参数方程，能说出其中参数的含义.3、通过实例介绍，增长学生视野，感受数学语言的特点和数学在生活中的运用.学情分析：本节课是在学生已经掌握了直线、圆的参数方程，对圆锥曲线的参数方程有了初步的了解的基础之上进行的一堂概念课。

学生对参数方程的建立有了初步的了解和认识，但是并不是很熟练，尤其是对平面坐标系中依据动点坐标与参数的关系的建立坐标等式的能力不足的情况下进行的。

所以，本节课需要教师从中做好引导。

但学生对平面向量的基本数学知识与平面直角坐标系建立的依据在必修教材的解析几何部分还是有一定的基础。

所以对本节的学习旨在让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。

教学重难点：教学重点：渐开线与摆线的生成过程与其参数方程的建立；教学难点：渐开线与摆线中动点的几何等量关系的确定.教学过程：课堂导入：前面，我们学习了直线、圆、椭圆的参数方程，使我们认识到：在平面直角坐标系中，曲线上点的坐标也可由参数表示，建立等量关系。

我们今天继续学习两种生产、生活中重要的曲线类型：渐开线与摆线.课堂活动（一）：下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？活动材料：透明胶卷（代替圆盘）、透明胶带（代替绳子）、白色作业纸一张、笔芯一只小组分工：甲同学将透明胶卷固定在白色作业纸上；乙同学将笔芯固定在胶带揭口上，慢慢揭起胶带，并始终保持胶带与胶卷圆盘相切.丙同学认真观察，记录活动过程，并不断提醒组员始终保持胶带与胶卷圆盘相切。

完成之后画上笔尖的轨迹。