2020高考数学(文科)增分大二轮增分练：第二部分 专题5 增分强化练(二十四) Word版含解析

增分强化练(二十四)

一、选择题

1．直线(1－2a)x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2a＝0垂直，则实数a的值为( )

A．－52 B.72

C.56 D.16

解析：∵直线(1－2a)x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2a＝0垂直，∴3(1－2a)－2＝0，∴a＝16，故选D.

答案：D

2．过点(1，－1)且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程为( )

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．x－2y－3＝0 D．2x＋y－1＝0

解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y＋1＝12(x－1)，即x－2y－3＝0.故选C.

答案：C

3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为( )

A．－7 B．－1

C．－1或－7 D.133

解析：当m＝－3时，两条直线分别化为：2y＝7，x＋y＝4，此时两条直线不平行；当m＝－5时，两条直线分别化为：x－2y＝10，x＝4，此时两条直线不平行；当m≠－3，－5时，两条直线分别化为：y＝－3＋m4x＋5－3m4，y＝－25＋mx＋85＋m，∵两条直线平行，∴－3＋m4＝－25＋m，5－3m4≠85＋m，解得m＝－7.综上可得：m＝－7.故选A.

答案：A

4．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )

A．(5，－3) B．(9,0)

C．(－3,5) D．(－5,3)

解析：根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x－4y－27＝0的斜率为34，所以过P点垂直于已知直线的斜率为－43，又P(2,1)，则该直线的方程为：y－1＝－43(x－2)即4x＋3y－11＝0，与已知直线联立得 4x＋3y－11＝0 ①3x－4y－27＝0 ②

①×4＋②×3得25x＝125，解得x＝5，

把x＝5代入①解得y＝－3，

所以 x＝5y＝－3，

所以直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)．

故选A.

答案：A

5．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为( )

A．8 B．4

C．2 D．1

解析：两圆方程作差得x＝2，

当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，

即y＝±2，

即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)， 则|AB|＝2－(－2)＝4，

故选B.

答案：B

6．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )

A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0

C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0

解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，

∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，

∴其方程为：y＋2x－1＝1＋22－1，

整理，得3x－y－5＝0.

故选A.

答案：A

7．圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝3x截得的线段长为( )

A．2 B.3

C．1 D.2

解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝3x的距离为d＝|3|32＋1＝32，弦长为2·1－322＝1，故选C.

答案：C

8．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点，则 “k＝1”是“∠AOB＝120°”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 解析：由题意得圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝11＋k2，若∠AOB＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k2＝1即k＝±1，若k＝1时，则∠AOB＝120°，但∠AOB＝120°时，k＝－1或k＝1，故选A.

答案：A

9．(2019·青岛模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：y＝k(x＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为( )

A.15

B.14

C.13 D.12

解析：直线l方程为kx－y＋2k＝0，

当直线l与圆C相切时可得|2k|k2＋1＝1，

解得k＝±33，

∴直线l与圆C相交时，k∈－33，33，

∴所求的概率P＝23323＝13.

故选C.

答案：C

10．(2019·威海模拟)已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝3x＋b的最短距离为3，则b的值为(

)

A．－2或2 B．2或43＋2

C．－2或43＋2 D．－43－2或2

解析：由圆(x－2)2＋y2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，设圆心(2,0)到直线y＝3x＋b的距离为d，则d＝|23＋b|3＋1，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝3x＋b的最短距离为3，所以d－r＝3，即|23＋b|3＋1－1＝3，解得b＝2或b＝－43－2，故选D.

答案：D

11．圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝9和C2：x2＋(y－2)2＝1，M，N分别是圆C1，C2上的点，P是直线y＝－1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值是(

)

A．52－4

B.17－1

C．6－22 D.17

解析：圆C1关于y＝－1的对称圆的圆心坐标A(1，－5)，半径为3，圆C2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P，C2，A，三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A.

答案：A

12．设过点P(－2,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8PA→＝5AB→，则|AB|＝( )

A.855 B.463

C.665 D.453

解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，由 x2＋y2－4x－2y＋1＝0x＝my－2，得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，

则y1＋y2＝8m＋2m2＋1，y1y2＝13m2＋1，又8PA→＝5AB→，所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝135y1，代入y1y2＝13m2＋1得：y21＝5m2＋1，故y22＝16925×5m2＋1，又(y1＋y2)2＝8m＋2m2＋12，即y21＋y22＋2y1y2＝19425×5m2＋1＋26m2＋1＝8m＋2m2＋12，整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，又|AB|＝1＋m2·y1＋y22－4y1y2＝23m2＋8m－12m2＋1，

当m＝2时，|AB|＝855；

当m＝38时，|AB|＝855.

综上，|AB|＝855.

故选A.

答案：A

二、填空题

13．若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为________．

解析：∵直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，

∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，

∴(a－1)(a＋2－2a－3)＝0，

∴(a－1)(a＋1)＝0，

∴a＝1或a＝－1.

答案：±1

14．已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是________．

解析：设圆心为(t,0)，且t>0, ∴半径为r＝|t|＝t，∵圆C截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2,

∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝|t－0＋1|2＝t2－1

∴t2－2t－3＝0，

∴t＝3或t＝－1(舍)，

故t＝3，

∴(x－3)2＋y2＝9.

答案：(x－3)2＋y2＝9

15．已知圆x2＋y2＝9被直线mx＋y－2m－1＝0所截得弦长为32，则实数m的值为________．

解析：因为圆x2＋y2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，

根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d＝9－3222＝322，

所以d＝|－2m－1|m2＋1＝322，解得m＝1或m＝7.

答案：1或7

16．已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．

解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，

由反射的对称性可知，P′Q与圆相切于点T，|PQ|＋|QT|＝|P′T|，

∵圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心坐标为A(3,4)，半径r＝2，

∴|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，

∴|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝|AP′|2－|AT|2＝43.

答案：43