山东省济南市市中区实验中学2024届高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2024年高考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数zabi（a，bR）对应向量OZ（O为坐标原点），设OZr，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则cossinzri，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111cossinzri，2222cossinzri，则12121212cossinzzrri，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：cossincossinnnrirnin，已知43zi，则z（ ）

A．23 B．4 C．83 D．16

2．已知双曲线22221xyCab：的一条渐近线与直线350xy垂直，则双曲线C的离心率等于( )

A．2? B．10 3 C．10? D．22

3．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A，2A，3A和3名女生1B，2B，3B中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A和1B两人组成一队参加比赛的概率为（ ）

A．19 B．29 C．13 D．49

4．已知数列na满足*331log1lognnaanN,且2469aaa,则13573logaaa的值是( )

A．5 B．3 C．4 D．991

5．已知复数z满足1zii，(i为虚数单位)，则z( )

A．2 B．3 C．2 D．3

6．5G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率y（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为0.042yxa.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）

A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月

7．在函数：①cos|2|yx；②|cos|yx；③cos26yx；④tan24yx中，最小正周期为的所有函数为（ ）

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

8．已知全集UR，集合{|31}Mxx，{|||1}Nxx，则阴影部分表示的集合是（ ）

A．[1,1] B．(3,1] C．(,3)(1,) D．(3,1)

9．在ABC中,,ABC所对的边分别是,,abc，若3,4,120abC，则c（

）

A．37 B．13 C．13 D．37

10．已知正方体1111ABCDABCD的体积为V，点M，N分别在棱1BB，1CC上，满足1AMMNND最小，则四面体1AMND的体积为( )

A．112V B．18V C．16V D．19V

11． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）

A．165

B．325

C．10

D．185

12．已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的焦距为2c.点A为双曲线C的右顶点，若点A到双曲线C的渐近线的距离为12c，则双曲线C的离心率是（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E是正方形11BBCC的中心，M为11CD的中点，过1AM的平面与直线DE垂直，则平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面面积为______.

14．给出下列等式：22cos4，222cos8，2222cos16，…请从中归纳出第n个等式：2222n个______.

15．已知向量a与b的夹角为3，|a|＝|b|＝1，且a⊥（aλb），则实数_____.

16．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知0a，0b，函数2fxxaxb的最小值为12.

（1）求证：21ab；

（2）若2abtab恒成立，求实数t的最大值.

18．（12分）已知0,0fxxaxbab. （Ⅰ）当1ab时，解不等式28fxx；

（Ⅱ）若fx的最小值为1，求1112ab的最小值.

19．（12分）设函数2()2ln(1)1xfxxx.

（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；

（Ⅱ）如果对所有的x≥0，都有()fx≤ax，求a的最小值；

（Ⅲ）已知数列na中，11a，且1(1)(1)1nnaa，若数列na的前n项和为nS，求证：

11ln2nnnnaSaa.

20．（12分）2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放.从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：

用户分类 预计升级到5G的时段 人数

早期体验用户 2019年8月至2019年12月 270人

中期跟随用户 2020年1月至2021年12月 530人

后期用户 2023年1月及以后 200人

我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率； （2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.

21．（12分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABBC，PAPC.点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点.

（1）求证：PA平面EBO.

（2）判断FG与平面EBO的位置关系，并证明.

22．（10分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：

爱情婚姻 咏史怀古 边塞战争 山水田园 交游送别 羁旅思乡 其他 总计

篇数 100 64 55 99 91 73 18 500

含“山”字的篇数 51 48 21 69 48 30 4 271

含“帘”字的篇数 21 2 0 0 7 3 5 38

含“花”字的篇数 60 6 14 17 32 28 3 160

（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

（2）已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；

②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的2K的观测值越大，排名就越靠前； 设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的2K观测值分别为1k，2k，3k.已知10.516k，231.962k，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.

属于“爱情婚姻”类 不属于“爱情婚姻”类 总计

含“花”字的篇数

不含“花”的篇数

总计

附：22()()()()()nadbcKabcdacbd，其中nabcd.

2PKk 0.05 0.025

0.010

k 3.841 5.024 6.635

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据复数乘方公式：cossincossinnnrirnin，直接求解即可.

【详解】

444313216cossin2266ziii

16cos4sin488366ii，

2288316z.

故选：D 【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

2、B

【解析】

由于直线的斜率k3,所以一条渐近线的斜率为13k，即13ba，所以21()bea103，选B.

3、B

【解析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222CCCCA，然后计算1A和1B分在一组的数目为1122CC，最后简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233CC

将选中2名女生平均分为两组：112122CCA

将选中2名男生平均分为两组：112122CCA

则选出的4人分成两队混合双打的总数为：

221111112223322212133222222218CCCCCCCCCCAAAA

1A和1B分在一组的数目为11224CC

所以所求的概率为42189

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m组，则要除以mmA，即!m，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

4、B

【解析】