西南交通大学2011~2012第二学期《高等数学CII》期末试题解答(20130618)修改

2011－2012学年第(二)学期《高等数学CII》

期末试题详细解答

一、填空题（每题3分，共18分）

1、母线平行于x轴且通过曲线0162222222zyxzyx的柱面方程是22316yz

解：因为“母线平行于x轴的柱面方程”中不含x，故所求柱面方程就是“消去曲线0162222222zyxzyx方程中的x”后得到的方程，即22316yz。

2、空间曲线段02L2xyz：绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为222()zxy

解：因为“曲线02L2xyz：在yoz面上”，故它绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程就是将曲线02L2xyz：的方程中的式子22zy中的z不变、y换成22xy得到的，即为2222222()zxyxy，也即222()zxy。

3、过点1,1,2且在x轴、y轴上的截距分别为2和1的平面方程为12xyz

解：由条件“所求平面在x轴、y轴上的截距分别为2和1”，可设所求平面的截距式方程为121xyzc，又所求平面过点1,1,2，则2111121cc，

故所求平面方程为1211xyz，或2220xyz。

4、22220011limxyxyxy0

解：22222222000000221()11112lim=lim=lim0112xxxyyyxyxyxyxyyx

5、已知22yxydxadyxdu，则a1

解：此题是考平面曲线积分与路径无关的那几个等价条件。 因为222222xdyaydxayxdudxdyxyxyxy，所以2222xyxayxyxy，

即22222222222222222222221()()()()xyxxxyyyyxxyaaaxyxyxyxy

6、设L为周长为a的椭圆15422yx，则22(254)Lxyxyds20a

解：因为椭圆周22:145xyL关于x轴和y轴对称，而

2222(254)2(54)LLLxyxydsxydsxyds，则由对称性，得20Lxyds；

故222222(254)(54)20202045LLLLxyxyxydsxydsdsdsa。

二、选择题（每题3分，共18分）

7、在曲线tx，2ty，3tz的所有切线中，与平面42zyx平行的切线【 B 】

（A）只有一条 （B）只有两条 （C）至少三条 （D）不存在

解：曲线tx，2ty，3tz上任一点处的切向量为2(1,2,3)Ttt，而平面42zyx的法向量为(1,2,1)n，由于切线与平面平行，故

210143013TnTntttt或，即有两条切线。应选（B）。

8、若000,yxxf，000,yxyf，则(,)fxy在点00(,)xy处【 D 】

（A）连续且可微 （B）连续但不一定可微

（C）可微但不一定连续

（D）不一定可微也不一定连续

解：此题是考多元函数在一点处极限存在、连续、两个偏导数存在、可微及偏导函数在该点处连续的关系。

由000,yxxf，000,yxyf，得点00(,)xy是函数(,)fxy的驻点。

根据多元函数在一点处极限存在、连续、两个偏导数存在、可微及偏导函数在该点处连续的关系，知应选（D）。

9、函数yzxu2在点(1,1,2)M处的最大方向导数为【 C 】

（A）3 （B）3 （C）21 （D）21

解：此题是考多元函数在一点处沿某个方向的方向导数与梯度的关系，“函数yzxu2在点2,1,1M处的最大方向导数”就是函数在该点处的梯度的模，即

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2),,2,,uuugraduxyzxzxyxyz

2224,2,1(4)2121，故应选（C）。

10、级数（1）1321nnnn（2）131131nnnn（3）132sin2nnn（4）1312nnn 中发散级数有【 A 】

（A）（1） （B）（1）（2） （C）（1）（2）（3） （D）（1）（2）（3）(4)

解：在级数（1）1321nnnn中，因为2lim103nnnn，故级数（1）1321nnnn发散（利用“一般项极限不等于零的级数必发散”）；

在级数（2）131131nnnn中，由于33113131111nnnnnnn，而

3233231311limlim113nnnnnnnn且211nn收敛，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数33113131111nnnnnnn收敛，即级数（2）131131nnnn绝对收敛，从而级数级数（2）131131nnnn收敛；

级数（3）132sin2nnn是正项级数，因为1111222sin2233limlim12232sin233nnnnnnnnnn，则由正项级数的比值判别，得正项级数（3）132sin2nnn收敛；

对级数（4）1312nnn的收敛性的判定，

判断方法一：由于

11112111112233333nnnnnnnnnn，且113nn和113nn都收敛（因为它们都是公比的绝对值小于1的等比级数），从而级数（4）1312nnn收敛。 判断方法二：由于1212110333nnnn，且1113nn收敛（它是公比的绝对值小于1的等比级数），则由正项级数的比较判别法，得正项级数（4）1312nnn收敛。

综上，发散的级数只有（1）1321nnnn。故应选（A）。

11、若级数11nnnxa在1x处收敛，则此级数在2x处【 B 】

（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）收敛性不能确定

解：此题是考幂级数的收敛性质：若幂级数1nnnax在0xx（00x）处收敛，则适合不等式0xx的一切x使幂级数1nnnax绝对收敛。反之，若若幂级数1nnnax在0xx处发散，则适合不等式0xx的一切x使幂级数1nnnax发散。

则由于级数11nnnxa在1x处收敛，即级数1nnnat（其中1tx）在2t（20）处收敛，则适合不等式22t的一切t使幂级数1nnnat绝对收敛。而当2x时，1t满足不等式2t，故幂级数1nnnat在1t时绝对收敛；从而幂级数11nnnxa在2x处绝对收敛。应选（B）。

12、设函数2()fxx，x0，而1()sin()nnSxbnx，x，其中

02()sin()nbfxnxdx（1,2,...n），则12S【 B

】

（A）21 （B）41 （C）41 （D）21

解：此题是考非周期函数通过周期延拓（奇延拓，即把非周期函数延拓成以2为周期的函数，且是奇函数，称为奇延拓）后，考察其傅里叶级数（正弦级数）的收敛性问题。

由条件“函数2()fxx，x0，而1()sin()nnSxbnx，x，其中 02()sin()nbfxnxdx（1,2,...n）”，可知正弦级数1sin()nnbnx是通过将函数2()fxx，x0通过周期延拓，延拓成以2为周期的函数，且是奇函数()Fx后（其中2()Fxx，0x，且()Fx是以2为周期的奇函数），然后求得()Fx的傅里叶级数（即正弦级数）1sin()nnbnx，再考察正弦级数1sin()nnbnx的收敛性。

由于(21)xk（kZ）是函数()Fx的跳跃间断点（左极限2((21)0)Fk，右极限2((21)0)Fk），而(21)xk（kZ）是函数()Fx的连续点，从而函数()Fx的傅里叶级数（正弦级数）1sin()nnbnx的收敛性为

1(),(21)()sin()0,(21)()nnFxxkkZbnxxkkZ，

而1()sin()nnSxbnx，故1(),(21)()()sin()0,(21)()nnFxxkkZSxbnxxkkZ，

12x是函数()Fx的连续点，从而211111()22224SFFfx，

故应选（B）。

三、计算题（每题8分，共40分）

13、设yzeux，其中(,)zzxy是由0xyzzyx确定的隐函数，求(0,1)du；

解：本题是考多元函数求全微分和隐函数求导。

要求(0,1)du，则先求当0,1xy时对应的z的取值。

由于(,)zzxy是由0xyzzyx确定的隐函数，将0,1xy代入该方程，得1z；

故(0,1)du即为(0,1,1)du。

由于yzeux，而(,)zzxy，所以(0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)uududxdyxy，

而(0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)1xuzzyezxxx， (0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)1xuzzezyyyy，

对方程0xyzzyx两边分别关于,xy求偏导数，得

110()01zzzyzyzxxxxxy，101()01zzzxzxzyyyyxy

则(0,1,1)(0,1,1)101zyzxxy，(0,1,1)(0,1,1)111zxzyxy

故(0,1,1)(0,1,1)1101uzxx，

(0,1,1)(0,1,1)11(1)2uzyy

所以(0,1,1)(0,1,1)(0,1,1)2uududxdydxdyxy。

14、设(,)uyfxyxy，其中f具有二阶连续偏导数，求2uxy；

解：本题是考多元抽象函数求偏导数，要用统一符号来表示。

注意：符号2uxy的意思是uxy，即u先对x求偏导数后，再对y求偏导数。