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R 绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题，本题共 12 小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1- i1. 设 z= 11+ i+ 2i ，则 z =A.0B.C.1D. 22.已知集合 A = {x | x 2 - x - 2 > 0}，则C A =A. {x | -1 < x < 2}C. {x | x < -1} {x | x > 2}B. {x | -1 ≤ x ≤ 2} D. {x | x ≤ -1} {x | x ≥ 2}3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和，若3S 3 = S 2 + S 4 ， a 1 = 2 ，则 a 5 = A.-12B.-10C.10D.125. 设函数 f(x ) = x 3 + (a -1)x 2 + ax ，若 f (x ) 为奇函数，则曲线 y =f (x ) 在点(0,0)处的切2线方程为 A. y = -2xB. y = -xC. y = 2xD. y = x6. 在∆ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB =A.C.7. 某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面上 B的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图 上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A. 2B. 2C.3D.28. 设抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为 F ，过点(- 2,0)且斜率为 2 的直线与C 交于 M , N 两点，3则 FM ⋅ FN = A.5B.6C.7D.8( ) = ⎧ e x , x ≤ 0 ( ) = ( )+ + ( ) 9. 已知函数 f x ⎨ , g x f x x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A. [-1,0)⎩ln x , x > 0B. [0,+∞)C. [-1,+∞)D. [1,+∞)10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题,每小题5分，共60分. 1、设z=，则|z ｜=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（,所以|z ｜=1【考点定位】复数2、已知集合A=｛x|x 2-x —2〉0｝,则A =A 、{x|—1<x 〈2｝B 、{x|—1x 2｝C 、｛x|x 〈-1｝∪｛x|x>2}D 、｛x|x -1}∪｛x|x 2｝ 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x —2≤0｝，所以｛x|-1x 2｝【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半. 【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%＊200%=74%>60％，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列｛a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2,则a5=A、—12B、—10C、10D、12【答案】B【解析】3*（a1+a1+d+a1+2d）=（a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d),整理得:2d+3a1=0；d=—3 ∴a5=2+（5—1）＊(—3)=—10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+（a—1)x2+ax,若f（x）为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0,0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f(x）为奇函数,有f（x）+f(-x）=0整理得：f（x)+f（—x)=2*（a—1)x2=0 ∴a=1f（x)=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘(0)=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性;函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点,则=A、-—B、-—C、—+D、—【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处.∴最短路径的长度为AB=【考点定位】立体几何：圆柱体的展开图形，最短路径8。
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷)理科数学参考答案与解析一、选择题:本题有12小题，每小题5分,共60分。
1、设z=,则|z|=A 、0B 、C 、1D 、 【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以｜z|=1 【考点定位】复数2、已知集合A={x ｜x 2—x-2〉0}，则A =A 、｛x|—1<x<2｝B 、｛x|—1x 2｝C 、{x|x<-1｝∪｛x|x 〉2｝D 、｛x|x -1｝∪｛x|x 2｝ 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2—x —2≤0}，所以{x|—1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍.D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后,种植收入37％*200%=74%〉60％，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列｛a n｝的前n项和,若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、—12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3＊(a1+a1+d+a1+2d）=（a1+a1+d）(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d），整理得:2d+3a1=0；d=—3 ∴a5=2+(5—1）*(-3）=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为:A、y=—2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x)为奇函数，有f（x)+f（-x)=0整理得：f（x)+f(—x）=2*（a-1）x2=0 ∴a=1f（x)=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质:奇偶性;函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、——B、—-C、—+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、 【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1 【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x2}【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C 、-+D 、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年高考数学试题研究全国卷ⅰ 第16题
2018年高考数学试题研究——全国卷Ⅰ，第16题
2018年的高考已经结束，考试科目包括数学，高考数学试题研究也受到了考生和考官的高度关注。
在这里，我们针对全国卷Ⅰ第16题进行分析研究，让大家了解这道试题的特点和分析方法。
这道题有两个数字a,b，a为20，b不定，要求计算出P=a^3+b^3-3ab的值。
该试题属于二元一次方程组乘法法则问题，只要掌握行列式求值公式，可以快速解决。
公式：
P=（A^3+B^3-3AB）；
其中A=20，B=b 代入公式得到：
P=20^3+b^3-3*20*b
=8000+b^3-60b
以上即为该问题的结果。
从上面可以看出，该题只需要简单的数学推理，就可以得出结果，考查的是考生的及时解题能力和利用正确的数学公式计算能力。
高考数学联系中不仅要懂得方法，而且还要有一定的灵活性去应用。
经过以上分析，我们可以看出，考生在准备迎接高考数学考试时，应该掌握相关知识和公式，熟悉数据解释和推理，做好试卷的整体解答。
但也不能单一的停留在某种固定的方法上，而是要灵活地结合实际问题，畅通解题思路，才能更好地把握考题。
绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设121iz i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1D 2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R ð（ ） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -≤≤C ．{}{}|1|2x x x x <->D ．{}{}|1|2x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．28．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[)10-，B ．[)0+∞，C ．[)1-+∞，D ．[)1+∞，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ） A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
深度透视２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科第１６题∗Ә汤小梅㊀㊀(虞阳中学ꎬ福建福清㊀３５０３０７)㊀㊀摘㊀要:对三角函数的最值求解问题进行一题多解与一题多变ꎬ能让学生将所学知识灵活运用㊁开拓思路ꎬ从而做到融会贯通.这就需要我们在面对三角最值试题时ꎬ学会多角度欣赏与思考ꎬ从中发现试题的解决规律ꎬ并能寻 根 探 源 与同 源 探 变 ꎬ从而掌握一类题的应对策略.关键词:一题多解ꎻ寻根探源ꎻ一题多变中图分类号:Ｏ１２２.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００４４￣０４㊀㊀近年来高考试题的命制越来越新颖多变ꎬ但万变不离其宗ꎬ大多数高考题都能在教材或往年高考真题中找到其 原形 .高考对三角最值的考查也不例外ꎬ通过背景包装㊁更换数字㊁变条件㊁变结论等多种方式对教材的例题㊁习题以及高考真题进行重新加工ꎬ看似平常ꎬ实则有很多值得品位的东西.现以２０１８年全国卷Ⅰ理科试题第１６题为例ꎬ从解法探究㊁寻根探源㊁同源变式等角度来欣赏它ꎬ从而轻松突破求三角最值问题的思维瓶颈.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第１６题)该题表述简洁ꎬ考查的内容丰富ꎬ主要考查二倍角公式㊁同角三角函数的基本关系式以及利用导数判断函数的单调性求最值或利用基本不等式的推论求最值等基础知识ꎬ意在考查考生的转化和化归能力㊁运算求解能力ꎬ考查逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等核心素养.在近５年的全国卷中ꎬ求三角函数的最值在２０１７年卷Ⅱ理科第１４题㊁２０１７年卷Ⅲ文科第６题㊁２０１４年卷Ⅱ文(理)科第１４题都出现过ꎬ这些题多利用二倍角公式㊁两角和差的正余弦公式以及辅助角公式对三角函数进行化简ꎬ再利用三角函数的单调性ꎬ即可求其最值.本题若不会利用导数法或基本不等式的推论ꎬ则即使会利用三角公式进行化简ꎬ也求不出最值.这样设制高考题规避了特殊技巧ꎬ凸显了数学本质ꎬ能有效地考查考生的创新意识.１㊀解法探究解法１㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)＝４ｓｉｎｘ２ｃｏｓｘ２ ２ｃｏｓ２ｘ２＝８ｓｉｎｘ２ｃｏｓ３ｘ２ꎬ所以㊀ｆ２(ｘ)＝６４３３ｓｉｎ２ｘ２ｃｏｓ６ｘ２æèçöø÷ɤ６４３３ｓｉｎ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２＋ｃｏｓ２ｘ２４æèççöø÷÷４＝２７４ꎬ当且仅当３ｓｉｎ２ｘ２＝ｃｏｓ２ｘ２ꎬ即ｓｉｎ２ｘ２＝１４时取到等号ꎬ从而０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ于是－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是 化简 ꎬ即利用二倍角的正弦公式与余弦公式ꎬ对三角函数的解析式进行化简ꎻ二是 用推论 ꎬ即利用基本不等式的推论ꎬ求出三角函数的最值ꎬ此时需注意等号成立条件的检验.解法２㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝∗收文日期:２０１８￣０６￣０８ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０５作者简介:汤小梅(１９７１－)ꎬ女ꎬ福建福清人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ所以ｆ２(ｘ)＝４ｓｉｎ２ｘ(１＋ｃｏｓｘ)２＝４(１－ｃｏｓｘ)(１＋ｃｏｓｘ)３ɤ４３３(１－ｃｏｓｘ)＋１＋ｃｏｓｘ＋１＋ｃｏｓｘ＋１＋ｃｏｓｘ４[]４＝２７４ꎬ当且仅当３(１－ｃｏｓｘ)＝１＋ｃｏｓｘꎬ即ｃｏｓｘ＝１２时取到等号ꎬ从而０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ于是－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的思路与解法１相同ꎬ求解的关键还是 三角函数解析式的化简㊁用基本不等式的推论 ꎬ只是在三角函数解析式化简时ꎬ不用像解法１中将 ２ｘ化为ｘ２ ꎬ只需化到ｘ即可ꎬ并且还需用到同角三角函数的基本关系式.显然ꎬ解法２比解法１省时ꎬ但仍需注意等号成立条件的检验.解法３㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ所以ｆ２(ｘ)＝４ｓｉｎ２ｘ(１＋ｃｏｓｘ)２＝４(１－ｃｏｓｘ)(１＋ｃｏｓｘ)３.设ｙ＝ｆ２(ｘ)ꎬｃｏｓｘ＝ｔꎬ则ｙ＝４(１－ｔ)(１＋ｔ)３(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ从而㊀ｙᶄ＝４[－(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)(１＋ｔ)２]＝８(１＋ｔ)２(１－２ｔ)ꎬ于是当－１<ｔ<１２时ꎬｙᶄ>０ꎬ当１２<ｔ<１时ꎬｙᶄ<０ꎬ即函数ｙ＝４(１－ｔ)(１＋ｔ)３(其中－１ɤｔɤ１)在－１ꎬ１２æèçöø÷上单调递增ꎬ在１２ꎬ１æèçöø÷上单调递减ꎬ因此当ｔ＝１２时ꎬｙｍａｘ＝２７４.又因为当ｔ＝ʃ１时ꎬｙｍｉｎ＝０ꎬ所以０ɤｙɤ２７４ꎬ即０ɤｆ２(ｘ)ɤ２７４ꎬ进而－３３２ɤｆ(ｘ)ɤ３３２ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是 会化简 ꎬ只需用二倍角公式与同角三角函数的基本关系式ꎬ把ｆ２(ｘ)化为同角同名的函数式ꎻ二是 会换元 ꎬ即通过三角换元ꎬ把三角函数转化为四次函数ꎬ此时需注意利用余弦函数的有界性ꎬ求出新元的取值范围ꎻ三是 用导数 ꎬ即对函数求导ꎬ利用导数的符号ꎬ判断函数的单调性ꎬ求出其最值ꎬ从而得到ｆ２(ｘ)的最值ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小值.解法４㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝２ｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝４ｃｏｓ２ｘ＋２ｃｏｓｘ－２.设ｙ＝ｆᶄ(ｘ)ꎬｃｏｓｘ＝ｔꎬ则ｙ＝４ｔ２＋２ｔ－２(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ４ｔ－１２æèçöø÷(ｔ＋１)(其中－１ɤｔɤ１).当－１<ｔ<１２时ꎬｙ<０ꎬ当１２<ｔ<１时ꎬｙ>０ꎬ即当－１<ｃｏｓｘ<１２时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当１２<ｃｏｓｘ<１时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ从而当ｘ＝２ｋπ－π３(其中ｋɪＺ)时ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ２ｋπ－π３æèçöø÷＝２ｓｉｎ２ｋπ－π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２２ｋπ－π３æèçöø÷＝－３３２.点评㊀与前３种解法相比ꎬ本解法跳过对函数ｆ(ｘ)的三角化简ꎬ直接对函数ｆ(ｘ)求导ꎬ再通过三角换元(注意新元的取值范围)ꎬ判断导函数的符号ꎬ直接求出ｆ(ｘ)的最小值ꎬ实属干净利落.解法５㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆ(ｘ＋２π)＝２ｓｉｎ(ｘ＋２π)＋ｓｉｎ２(ｘ＋２π)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝ｆ(ｘ)ꎬ从而２π是函数ｆ(ｘ)的周期ꎬ于是欲求函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ的最小值ꎬ等价于求函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ(其中０ɤ０ɤ２π)的最小值.求导得ｆᶄ(ｘ)＝２ｃｏｓｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝４ｃｏｓ２ｘ＋２ｃｏｓｘ－２＝４ｃｏｓｘ－１２æèçöø÷(ｃｏｓｘ＋１)ꎬ其中０ɤｘɤ２π.令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｃｏｓｘ＝１２或ｃｏｓｘ＝－１ꎬ即ｘ＝π３或ｘ＝５π３或ｘ＝πꎬ由于ｆπ３æèçöø÷＝３３２ꎬ㊀ｆ５π３æèçöø÷＝－３３２ꎬｆ(π)＝０ꎬ㊀ｆ(０)＝０ꎬ㊀ｆ(２π)＝０ꎬ故ｆ(ｘ)的最小值为－３３２.点评㊀本解法的关键:一是 会转化 ꎬ即利用周期函数的定义ꎬ判断三角函数的周期性ꎬ把求函数ｆ(ｘ)在定义域Ｒ内的最小值转化为求函数ｆ(ｘ)在[０ꎬ２π]上的最小值ꎻ二是 用导数 ꎬ即求方程ｆᶄ(ｘ)＝０的根ꎬ求出根所对应的函数值与端点的函数值ꎬ比较大小得函数ｆ(ｘ)在闭区间上的最值.２㊀寻根探源本题来源于人教Ａ版教材第１４７页复习参考题Ａ组第１１题的第１)小题[１]:例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ)ꎬ求ｆ(ｘ)的最大值.答案为２＋１.只需把例２中的已知函数ｆ(ｘ)变为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ(１＋ｃｏｓｘ)ꎬ再还原为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ并把所求 ｆ(ｘ)的最大值 变为 ｆ(ｘ)的最小值 ꎬ把解答题变为填空题ꎬ即可得到例１.该题在外观上更和谐简单ꎬ三角名一样而角翻倍ꎬ但高考题(例１)如 披着羊皮的狼 ꎬ其思维难度明显拔到一定的高度.３㊀同源变式思考１㊀若把例１中的 函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ 变为 ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ ꎬ其他都不变ꎬ即可得到如下难度降低的好题:变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.分析㊀设ｔ＝ｓｉｎｘ(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ则ｙ＝ｔ２＋２ｔꎬ即ｙ＝(ｔ＋１)２－１.当－１ɤｔɤ１时ꎬ函数ｙ＝ｔ２－４ｔ＋５单调递增ꎬ从而当ｔ＝－１时ꎬ函数ｙ＝ｔ２＋２ｔ(其中－１ɤｔɤ１)取得最小值ｙｍｉｎ＝－１ꎬ即ｆ(ｘ)的最小值是－１.点评㊀求形如ｙ＝ａｃｏｓ２ｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ或ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ(其中ａꎬｂꎬｃꎬｄ均为常数ꎬ且ａｂʂ０)的函数最值ꎬ常用三角换元法ꎬ将所给的函数化成最值容易确定的另一个函数.一般可设ｔ＝ｃｏｓｘ(其中－１ɤｔɤ１)或ｔ＝ｓｉｎｘ(其中－１ɤｔɤ１)ꎬ再利用配方法ꎬ判断函数的单调性ꎬ即可求出原函数的最值.但在换元时应注意等价性ꎬ即关注新元的取值范围.思考２㊀若把例１中的 函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ 变为 ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ ꎬ其他都不变ꎬ即可得到如下难度降低的好题:变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ则ｆ(ｘ)的最小值是.分析㊀因为ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘꎬ所以ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ＝１＋２ｓｉｎ２ｘ－π４æèçöø÷.当２ｘ－π４＝２ｋπ－π２(其中ｋɪＺ)ꎬ即ｘ＝ｋπ－π８(其中ｋɪＺ)时ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ取到最小值１－２.点评㊀破解此类三角函数最值问题的关键:一是化简三角函数的解析式ꎬ化简的目标为 角化同 (如本题ꎬ优先考虑 幂降一次角翻倍 ꎬ即先把 ２ｓｉｎ２ｘ 转化为 １－ｃｏｓ２ｘ ꎬ再利用辅助角公式ꎬ把函数ｆ(ｘ)转化为形如ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｈ的形式)ꎻ二是利用正弦函数的最值性ꎬ即可求出三角函数的最值.思考３㊀若想考查考生构造函数的能力ꎬ并渗透函数的奇偶性的性质ꎬ可把例１中的 函数ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ＋ｓｉｎ２ｘ 变为 ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１ ꎬ并把所求 ｆ(ｘ)的最小值 变为 ｆ(ｘ)的最小值与最大值之和 ꎬ便可得到如下立意新颖㊁构思独特㊁考查真功的好题:变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１ꎬ则ｆ(ｘ)的最小值与最大值之和为.分析㊀因为二次曲线的若干优美性质∗２０１８年全国卷Ⅰ解析几何试题引发的思考Ә杨瑞强㊀㊀(黄石市第一中学ꎬ湖北黄石㊀４３５０００)㊀㊀摘㊀要:２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题是两道经典的试题ꎬ试题言简意赅ꎬ立意深刻ꎬ结论优美ꎬ值得深入研究.文章从３个疑惑出发ꎬ推广两道试题的结论ꎬ从而得出一般二次曲线的若干优美性质.关键词:二次曲线ꎻ推广ꎻ优美性质中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)０９￣００４７￣０４㊀㊀２０１８年全国数学高考卷Ⅰ(文㊁理科)的解析几何试题有一个共同特点:已知定点Ｐ(ｍꎬ０)是圆锥曲线Ｃ:Ｆ(ｘꎬｙ)＝０内一点ꎬ过点Ｐ的动直线与圆锥曲线Ｃ相交于点ＡꎬＢꎬ则存在点Ｑꎬ使得øＡＱＰ＝øＢＱＰ.１㊀试题呈现例１㊀设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１的右焦点为Ｆꎬ过点Ｆ的直线ｌ与Ｃ交于点ＡꎬＢꎬ点Ｍ的坐标为(２ꎬ０).１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＡＭ的方程ꎻ２)设Ｏ为坐标原点ꎬ证明:øＯＭＡ＝øＯＭＢ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第１９题)例２㊀设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ点Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(－２ꎬ０)ꎬ过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于点ＭꎬＮ.１)当ｌʅｘ轴时ꎬ求直线ＢＭ的方程ꎻ２)证明:øＡＢＭ＝øＡＢＮ.(２０１８年全国数学高考卷Ⅰ文科试题第２０题)２㊀引发思考上述两道试题的第２)小题难度都不大ꎬ例１的第２)小题只需要证明ｋＭＡ＋ｋＭＢ＝０ꎬ即可知直线㊀㊀ｆ(ｘ)＝６ｘ２－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ＋３２ｘ２＋１＝３(２ｘ２＋１)－ｘ２ｓｉｎ３ｘ＋６ｘ２ｘ２＋１＝３－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ令ｇ(ｘ)＝ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１ꎬ则ｇ(－ｘ)＝(－ｘ)２ｓｉｎ(－３ｘ)－６(－ｘ)２(－ｘ)２＋１＝－ｘ２ｓｉｎ３ｘ－６ｘ２ｘ２＋１＝－ｇ(ｘ)ꎬ所以函数ｇ(ｘ)为奇函数.设ｇ(ｘ)的最大值和最小值分别为Ｍᶄꎬｍᶄꎬ则Ｍᶄ＋ｍᶄ＝０.设函数ｆ(ｘ)的最大值为Ｍꎬ最小值为ｍꎬ则Ｍ＋ｍ＝(３－Ｍᶄ)＋(３－ｍᶄ)＝６－(Ｍᶄ＋ｍᶄ)＝６.点评㊀破解此类题的关键:一是巧妙变形ꎬ对所给函数的解析式进行适当变形ꎻ二是巧构函数ꎬ根据函数的解析式所具有的明显特征ꎬ巧妙构造函数ꎻ三是活用性质ꎬ即活用奇函数的性质ꎬ奇函数的图像关于原点对称ꎬ即可轻松求出最值.从以上３个角度可窥:对典型高考题从不同角度进行变式探究ꎬ是深化知识㊁提升能力的重要途径.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书 数学(必修４)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１６.∗收文日期:２０１８￣０６￣１２ꎻ修订日期:２０１８￣０７￣０８作者简介:杨瑞强(１９７９－)ꎬ男ꎬ湖北黄冈人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.。
