第3讲 导数的简单应用(可自主编辑word)

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高中数学导数及其应用一、知识网络二、高考考点1、导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用;3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；6、导数在解决实际问题中的应用.三、知识要点（一）导数1、导数的概念（1）导数的定义(Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x(△x可正可负）,则函数y相应地有增量 ,这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。

如果时，有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率),记作，即。

（Ⅱ）如果函数在开区间（ )内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数,我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即。

认知：(Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。

(Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：①求函数的增量；②求平均变化率 ;③求极限上述三部曲可简记为一差、二比、三极限.(2）导数的几何意义:函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

函数的可导与连续既有联系又有区别:（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间(）内可导,则在开区间(）内连续(可导一定连续）。

强化提升一 导数及其应用层次一：导数的概念、意义及简单应用突破点(一) 导数的运算八个公式+三个法则+复合函数求导[例1] (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；(5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1. [方法技巧]00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，[例1]已知函数f(x)＝x3－(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧][例2]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．[答案] (1,1)[例3] 直线y ＝kx ＋1b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 层次二：函数的单调性、极值最值突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧][例2]已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．[解]对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)， 所以3a3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒][例2] (1)若0<x 1<x 2A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. (2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．突破点(三) 利用导数解决函数的极值问题根据函数图象判断函数极值的情况[例1] 设函数象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)[解析] 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．[答案] D [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x .由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a .①若0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝a 时，f (x )取极大值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝－a －12.②若a >1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝－a －12；当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a .③当a ＝1时，x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，f (x )没有极值． 综上，当0<a <1时，f (x )的极大值为－12a 2－a ＋a ln a ，极小值为－a －12；当a >1时，f (x )的极大值为－a －12，极小值为－12a 2－a ＋a ln a ；当a ＝1时，f (x )没有极值． [方法技巧][例3] (1)(2017·a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0,1) D ．(0，＋∞)(2)(2017·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________． [解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由函数f (x )有两个极值点，可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.(2)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为在x ＝1处，f (x )有极值10， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，当a ＝－3，b ＝3时，在x ＝1处，f (x )无极值，不符合题意； 当a ＝4，b ＝－11时，符合题意，所以a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．突破点(四) 利用导数解决函数的最值问题[例1] 已知函数f (x )＝(x (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. [方法技巧]利用导数求函数最值的规律求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值时：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[例2] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[方法技巧]解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2) 解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)． 2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C.3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞)C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f ⎭⎪⎫∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x . 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。

第三讲 导数的简单应用[必记公式]1．基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f (x )＝C (C 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈R ) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1x log a e ＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2.导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； (4)若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝y u ′·u x ′， 即y x ′＝a ·y u ′.[重要概念]1．切线的斜率函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，因此曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0(f ′(x )<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增(单调递减)．3．函数的极值设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点x ，都有f (x )<f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点都有f (x )>f (x 0)，那么f (x 0)是函数的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值．4．函数的最值将函数y ＝f (x )在[a ，b ]内的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[重要性质]1．定积分的性质(1)⎠⎜⎛a bkf(x)d x ＝k ⎠⎜⎛ab f(x)d x ； (2)⎠⎜⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎜⎛a b f 1(x)d x±⎠⎜⎛abf 2(x)d x. (3)⎠⎜⎛abf(x)d x ＝⎠⎜⎛a c f(x)d x ＋⎠⎜⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)． 2．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎜⎛abf(x)d x ＝F(b)－F(a)．[失分警示]1．对复合函数求导法则用错．2．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．3．混淆在点P 处的切线和过点P 的切线：前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．4．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．考点导数的几何意义及定积分典例示法题型1 导数的几何意义典例1 [2015·陕西高考]设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．[解析] y′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x>0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x>0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P(a ，b)，则曲线y＝1x(x>0)上点P 处的切线的斜率为y′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P(a ，b)在y ＝1x上，所以b ＝1，故P(1,1)．[答案] (1,1) 题型2 定积分的计算典例2 [2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足⎠⎜⎛-11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，⎠⎜⎛-11⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎜⎛-1112sin x d x ＝12⎠⎜⎛-11sin x d x ＝⎪⎪⎪12－cos x 1－1＝12{－cos 1－[－cos (－1)]}＝12(－cos 1＋cos 1)＝0. 故①为一组正交函数；对于②，⎠⎜⎛-11[(x ＋1)(x －1)]d x ＝⎠⎜⎛-11(x 2－1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 1－1＝13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝23－2＝－43≠0， 故②不是一组正交函数；对于③，⎠⎜⎛-11(x·x 2)d x ＝⎠⎜⎛-11x 3d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 41－1＝0. 故③为一组正交函数，故选C . [答案] C1．求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x 0，y 0)，求y ＝f(x)过点P 的切线方程： 求出切线的斜率f′(x 0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点P(x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．3．求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分基本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分⎠⎜⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎜⎛011－x 2d x ＝π4. 提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．考点利用导数研究函数的单调性典例示法题型1 利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例3 [2014·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝e x －e －x －2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b 的最大值；(3)已知1.4142<2<1.4143，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．[解] (1)f′(x)＝e x ＋e －x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e 2x －e －2x －4b(e x －e －x )＋(8b －4)x ， g′(x)＝2[e 2x ＋e －2x －2b(e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0； ②当b>2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2， 即0<x<ln (b －1＋b 2－2b)时，g′(x)<0. 而g(0)＝0，因此当0<x<ln (b －1＋b 2－2b)时， g(x)<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g(ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g(ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.6928；当b ＝324＋1时，ln (b －1＋b 2－2b)＝ln 2， g(ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.6934.所以ln 2的近似值为0.693.题型2 根据函数的单调性求参数的范围典例4 [2016·西安质检]已知函数f(x)＝mx 2－x ＋ln x. (1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0<m≤12时，若曲线C ：y ＝f(x)在点x ＝1处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求m 的值或取值范围．[解] (1)f′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m≤0时显然成立；当m>0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，故0<m<18.综上所述，m<18，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18.(2)∵f(1)＝m －1，f′(1)＝2m ，故切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1.从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上有且只有一解．设g(x)＝mx 2－x ＋ln x －(2mx －m －1)，则g(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．又g(1)＝0，故函数g(x)有零点x ＝1. 则g′(x)＝2mx －1＋1x －2m ＝2mx 2－2m ＋1x ＋1x＝2mx －1x －1x.当m ＝12时，g′(x)≥0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴函数g(x)有且只有一个零点x ＝1，满足题意． 当0<m<12时，由g′(x)＝0，得x ＝12m或x ＝1.且12m >1，由g′(x)>0，得0<x<1或x>12m ； 由g′(x)<0，得1<x<12m.故当x 在(0，＋∞)上变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 ⎝⎛⎭⎪⎫1，12m12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞ g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)极大值极小值根据上表知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0.又g(x)＝mx ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1.∴g ⎝⎛⎭⎪⎫2＋1m >0，故在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上，函数g(x)又有一个零点，不符合题意．综上所述，m ＝12.1．导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间． (2)函数f(x)在D 上单调递增⇔∀x∈D ，f′(x)≥0且f′(x)在区间D 的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D 上单调递减⇔∀x∈D，f′(x)≤0且f′(x)在区间D 的任何子区间内都不恒为零．2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求f′(x)．(2)将单调性转化为导数f′(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．考点利用导数研究函数的极值与最值典例示法题型1 求函数的极值(最值)典例5 [2016·合肥质检]已知函数f(x)＝e 1－x (2ax －a 2)(其中a≠0)．(1)若函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)设函数f(x)的最大值为g(a)，当a>0时，求g(a)的最大值． [解] (1)由f(x)＝e 1－x (2ax －a 2)，得f′(x)＝－e 1－x (2ax －a 2)＋2a e 1－x ＝－e 1－x (2ax －a 2－2a)＝0，又a≠0，故x ＝1＋a 2，当a>0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋a 2上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a2，＋∞上为减函数，∴1＋a2≤2，即a≤2，∴0<a≤2；当a<0时，不合题意， 故a 的取值范围为(0,2]．(2)由(1)得，当a>0时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2＝2a·e－ a2即g(a)＝2a e － a 2.则g′(a)＝(2－a)e － a 2＝0，得a ＝2，∴g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数， ∴g(a)max ＝g(2)＝4e.题型2 知极值的个数求参数范围典例6 [2016·沈阳质检]已知函数f(x)＝x ln x －a 2x 2－x ＋a(a ∈R )在其定义域内有两个不同的极值点．(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为x 1，x 2，且x 1<x 2.已知λ>0，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，求λ的取值范围．[解] (1)依题，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根， 即方程ln x －ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根． 解法一：可以转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图．可见，若令过原点且与函数y ＝ln x 图象相切的直线斜率为k ，只需0<a <k .令切点A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<a <1e.解法二：可以转化为函数g (x )＝ln xx与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．又g ′(x )＝1－ln xx2，当0<x <e 时，g ′(x )>0， 当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．从而g (x )极大值＝g (e)＝1e.又g (x )有且只有一个零点是1，且在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→0，所以g (x )的草图如图所示，可见，要想函数g (x )＝ln xx与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同交点，只需0<a <1e.解法三：令g (x )＝ln x －ax ，从而可以转化为函数g (x )有两个不同的零点，而g ′(x )＝1x －a ＝1－axx(x >0)，若a ≤0，可见g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时g (x )不可能有两个不同零点．若a >0，当0<x <1a 时，g ′(x )>0，当x >1a时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，从而g (x )极大值＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a－1.又因为在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→－∞，于是只需：g (x )极大值>0，即ln 1a －1>0，所以0<a <1e .综上所述，0<a <1e.(2)e 1＋λ<x 1·x λ2等价于1＋λ<ln x 1＋λln x 2.由(1)可知x 1，x 2分别是方程ln x －ax ＝0的两个根， 即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，所以原式等价于1＋λ<ax 1＋λax 2＝a (x 1＋λx 2)，因为λ>0,0<x 1<x 2，所以原式等价于a >1＋λx 1＋λx 2.又由ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2作差得，ln x 1x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝ln x 1x 2x 1－x 2. 所以原式等价于lnx 1x 2x 1－x 2>1＋λx 1＋λx 2，因为0<x 1<x 2且原不等式恒成立，所以ln x 1x 2<1＋λx 1－x 2x 1＋λx 2恒成立．令t ＝x 1x 2，t ∈(0,1)，则不等式ln t <1＋λt －1t ＋λ在t ∈(0,1)上恒成立．令h (t )＝ln t －1＋λt －1t ＋λ，又h ′(t )＝1t －1＋λ2t ＋λ2＝t －1t －λ2t t ＋λ2，当λ2≥1时，可见t∈(0,1)时，h′(t)>0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，又h(1)＝0，h(t)<0在(0,1)上恒成立，符合题意．当λ2<1时，可见t∈(0，λ2)时，h′(t)>0，t∈(λ2,1)时，h′(t)<0，所以h(t)在(0，λ2)上单调递增，在(λ2,1)上单调递减，又h(1)＝0，所以h(t)在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e1＋λ<x1·xλ2恒成立，只需λ2≥1，又λ>0，所以λ≥1.利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤①求定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，研究极值情况；④确定f′(x0)＝0时x0左右的符号，定极值．(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来讨论求解．3求函数y＝f x在[a，b]上最大值与最小值的步骤①求函数y＝f x在a，b内的极值；②将函数y＝f x的各极值与端点处的函数值f a，f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.提醒：1求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；2求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大小值；3对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.[全国卷高考真题调研]1．[2015·全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)答案A解析令F(x)＝f xx，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′x－f xx2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f xx在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.2．[2014·全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3答案D解析∵y＝ax－ln (x＋1)，∴y′＝a－1x＋1，当x＝0时y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.3．[2016·全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．答案y＝－2x－1解析 由题意可得当x >0时，f (x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.[其它省市高考题借鉴]4．[2014·江西高考]若f (x )＝x 2＋2⎠⎜⎛01f(x)d x ，则⎠⎜⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13 D ．1答案 B解析 ∵⎠⎜⎛01f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2d x ＋⎠⎜⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎜⎛01fx d x d x＝⎪⎪⎪13x 31＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎠⎜⎛01f x d x x 1＝13＋2⎠⎜⎛01f(x)d x ， ∴⎠⎜⎛1f(x)d x ＝－13.故选B . 5．[2016·北京高考]设函数f(x)＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f(x)的单调区间．解 (1)因为f(x)＝x e a －x ＋bx ，所以f′(x)＝(1－x)·e a －x ＋b.依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝2e ＋2，f′2＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e .(2)由(1)知f(x)＝x e 2－x ＋e x.由f′(x)＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f′(x)与1－x ＋e x －1同号．令g(x)＝1－x ＋e x －1，则g′(x)＝－1＋e x －1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．一、选择题1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e x cos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析 依题意，f(0)＝e 0cos 0＝1，因为f′(x)＝e x cos x －e x sin x ，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .2．[2016·南宁适应性测试(二)]设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1B .13 C .23 D .43答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝1得x ＝±1.由对称性与图形可知，S ＝2(1×1－⎠⎜⎛01x 2d x)＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫1×1－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝43，选D . 3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]答案 B解析 f′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x ，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c≤x 2＋2x ＋5，c≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c≤4.4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B .12<x 0<1C .22<x 0< 2 D .2<x 0<3 答案 D解析 由题令f(x)＝x 2，f′(x)＝2x ，f(x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝lnx(x∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y′＝1x，所以l的方程为y ＝1x1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 2，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2－ln2x －1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D .5．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B 选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝ ⎛ －a3，⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－xy ＝x 3－x有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[2,10]B ．[－1,8]C ．[－2,2]D ．[0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－ a －23a ≤－1，即 a －23a ≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在[－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－ a －23a>－1，即a －23a<1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎢⎡－ a －23a，⎦⎥⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－ a －23a ，而f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－ a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f(x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－ a －23a， a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a ≤2，即(a －2)a －23a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．[2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．[2015·天津高考]曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 由题意可得封闭图形的面积为⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪⎪10＝12－13＝16. 9．[2016·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 －1≤a≤2解析 函数f(x)＝－e x －x 的导数为f′(x)＝－e x －1，设曲线f(x)＝－e x －x 上的切点为(x 1，f(x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g(x)＝ax ＋2cos x 的导数为g′(x)＝a －2sin x ，设曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g(x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a－2sin x 2＝1e x1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a≤2.三、解答题10．[2016·石景山区高三统测]已知函数f(x)＝x －a ln x ，g(x)＝－1＋ax(a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间； (3)若存在x 0∈[1，e ]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1时，f′(x)＝x －1x .由f′(x)＝0，解得x ＝1.当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；所以当x ＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝1－ln 1＝1；(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)．又h′(x)＝x 2－ax －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2.由a>0可得1＋a>0，在x∈(0,1＋a)上h′(x)<0，在x∈(1＋a ，＋∞)上h′(x)>0，所以h(x)的递减区间为(0,1＋a)；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立， 即在[1，e ]上存在一点x 0，使得h(x 0)<0. 即h(x)在[1，e ]上的最小值小于零．①当1＋a≥e ，即a≥e －1时，由(2)可知h(x)在[1，e ]上单调递减．故h(x)在[1，e ]上的最小值为h(e )， 由h(e )＝e ＋1＋a e －a<0，可得a>e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a>e 2＋1e －1；②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，由(2)可知h(x)在(1,1＋a)上单调递减，在(1＋a ，e )上单调递增．h(x)在[1，e ]上最小值为h(1＋a)＝2＋a －a ln (1＋a)． 因为0<ln (1＋a)<1，所以0<a ln (1＋a)<a.∴2＋a －a ln (1＋a)>2，即h(1＋a)>2不满足题意，舍去．综上所述：a∈⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 11．[2016·贵阳监测]设函数f(x)＝x ln (ax)(a>0)． (1)设F(x)＝12f(1)x 2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x 1，f′(x 1))，B(x 2，f′(x 2))(x 1<x 2)的直线的斜率为k ，求证：1x 2<k<1x 1.解 (1)f′(x)＝ln (ax)＋1，所以F(x)＝12(ln a)x 2＋ln (ax)＋1，函数F(x)的定义域为(0，＋∞)，F′(x)＝(ln a)x ＋1x＝ln a x 2＋1x.①当ln a≥0，即a≥1时，恒有F′(x)>0，函数F(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当ln a<0，即0<a<1时，令F′(x)>0，得( ln a)x 2＋1>0, 解得0<x< －1ln a ； 令F′(x)<0，得(ln a)x 2＋1<0，解得x> －1ln a. 所以函数F(x)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0， －1ln a 上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫ －1ln a ，＋∞上为减函数． (2)证明：因为k ＝f′x 2－f′x 1x 2－x 1＝ln ax 2－ln ax 1x 2－x 1＝ln x 2x 1x 2－x 1，x 2－x 1>0，要证1x 2<k<1x 1，即证x 2－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2－x 1x 1，令t ＝x 2x 1，则t>1，则只要证1－1t<ln t<t －1即可，①设g(t)＝t －1－ln t ，则g′(t)＝1－1t >0(t>1)，故g(t)在(1，＋∞)上是增函数．所以当t>1时，g(t)＝t －1－ln t>g(1)＝0，即t －1>ln t 成立．②要证1－1t<ln t ，由于t>1，即证t －1<t ln t ，设h(t)＝t ln t －(t －1)，则h′(t)＝ln t>0(t>1)，故函数h(t)在(1，＋∞)上是增函数，所以当t>1时，h(t)＝t ln t－(t－1)>h(1)＝0，即t－1<t ln t成立．故由①②知1x 2<k<1x 1成立，得证．12．[2016·广西质检]已知函数f(x)＝1x ＋a ln x(a≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1，所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a，若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a<0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当1a>0，即a >0时，①若e≤1a，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝a ＋a ln 1a ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．. .。

【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-． 【基础考点突破】 考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】 已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.变式训练1．【2016高考新课标3】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_____________________． 命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 变式训练2．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0)命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．命题点5 导数与函数图象的关系【例5】 函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）考点2．导数几何意义的综合应用 【例6】 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围.【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝03．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( ) A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．35．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝06．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，2B.⎝⎛⎭⎫32，134C.⎝⎛⎭⎫52，134D.⎝⎛⎭⎫52，2 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；【知识梳理】 1．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即0()k f x '=，相应地，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．【基础考点突破】 考点1．导数的几何意义命题点1 已知切点的切线方程问题【例1】 已知函数32()454f x x x x =-+-．（1）求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求经过点A(2，－2)的曲线()f x 的切线方程.解析： (1)∵2()385f x x x '=-+，∴(2)1f '=，又(2)2f =-， ∴曲线在点(2,(2))f 处的切线方程为22y x +=-，即40x y --=.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点320000(,454)P x x x x -+-，∵200()385f x x x '=-+，∴切线方程为200(2)(385)(2)y x x x --=-+-， 又切线过点320000(,454)P x x x x -+-，∴322000000452(385)(2)x x x x x x -+-=-+-， 整理得200(2)(1)0x x --=，解得02x =或1.∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为40x y --=，或20y +=.【归纳总结】 (1)导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P 处的切线”是以点P 为切点，“曲线过点P 的切线”则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.变式训练1．【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =--【解析】当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，所以1()3f x x'=-，则切线的斜率为(1)2f '=-，所以切线的方程为32(1)y x +=--，即21y x =--． 命题点2 未知切点的切线方程问题【例2】与直线y ＝2x 平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0答案 D解析 (1)对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0. 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.变式训练2．【2016高考新课标2】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-．【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数ln 2y x =+相切于111(,)P x y ，与ln(1)y x =+相切于222(,)P x y ，则11ln 2y x =+，22ln(1)y x =+，则点111(,)P x y 在切线上得：1111(ln 2)()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得：2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解得112x =，所以112k x ==，所以1ln 211ln 2b x =+-=-． 命题点3 求切点坐标【例3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．变式训练3．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0，1)B ．(1，－1)C ．(1，3)D ．(1，0) 答案：C解析：由题意知y ′＝3x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，故点P 0的坐标是(1，3)．命题点4 和切线有关的参数问题【例4】若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值．解析：设y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于P (x 0，y 0)，则y 0＝kx 0，①y 0＝x 30－3x 20＋2x 0.②又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.③由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.命题点5 导数与函数图象的关系【例5】 函数cos y x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）答案：A解析：()cos sin f x y x x x ''==-，()()f x f x ''-=，所以()f x '-是一个偶函数，排除C ；(0)1f '=，排除D ，由于在[,]x ππ∈-上，()cos sin cos 1f x y x x x x ''==-≤=，所以当0x =时，()f x '最大，排除B ，选A.考点2．导数几何意义的综合应用 【例6】 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围. 解析 (1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22.因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)·(1－x 0).整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”.g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)，于是，当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：所以g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值；g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值.当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点.当g (0)>0且g (1)<0，即－3< t <－1时，因为g (－1)= t －7<0，g (2)= t+11>0，所以g (x )分别在区间[1,0),[0,1)-和[1,2)上恰有1个零点，由于g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上单调，所以g (x )在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(3,1)--．【基础练习巩固】1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.2．函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.3．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( ) A ．－sin x －cos x B ．sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x D ．sin x ＋cos x答案 D解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x +cos x ，故选D.4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.5．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A ．x ＋4y －2＝0B ．x －4y ＋2＝0C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0答案 A解析 y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，12)，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0. 故选A.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析 由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．故选A7．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1 (x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，2B.⎝⎛⎭⎫32，134C.⎝⎛⎭⎫52，134D.⎝⎛⎭⎫52，2 答案 B解析 设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)，∴y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝2(x 20＋1)＋2x 0(1－x 0＋2－x 0)，∴S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为_______________． 解：(1)当P 为切点时，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)，则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)， 因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程，求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)，所以切点为Q ⎝⎛⎭⎫－1，－13，即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0； 综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.10．已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a的值是________． 答案 9解析 先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上有y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.11．若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 答案 －e解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. 12.【2016河北衡水四调】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()1,2-C ．[]2,1-D ．()2,1- 【答案】A【解析】由题意得：12,,x R x R ∀∈∃∈使得12(1)(2sin )1xe a x ---=-，即函数111x y e =+的值域为函数22sin y a x =-的值域的子集，从而(0,1)[2,2]a a ⊆-+，即20,2112a a a -≤+≥⇒-≤≤，故选A.13．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.14．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线15．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

导数及其运用知识网络；⎝⎭②复合函数的求导法则：'(())x f x ϕ=''()()f u x ϕ或x u x u y y '''⋅=★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。

问题1.比较函数()2xf x =与()3xg x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量21x x x ∆=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ∆=- (3)计算平均增长率:2121()()f x f x y x x x -∆=∆-对于()2xf x =, 2111223,21y x ∆-==∆-又对于()3xg x =,212233821y x ∆-==∆- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2. 已知2)2cos 1(x y +=,则='y .点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'⋅-⋅='+=''='x x u x u u y y x u x)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=⋅-⋅=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

第六章导数的应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：§ 6.1 中值定理，函数的线性逼近重点及难点：中值定理；罗比达法则。

基本内容：1、Rolle中值定理；2、Lagrange中值定理；3、Cauchy中值定理；4、应用。

基本要求：1、深刻理解中值定理，特别是Lagrange中值定理的分析意义及几何意义；2、掌握Rolle中值定理、Lagrange中值定理的证明；3、了解导函数特征：连续性与介值性；4、初步具有应用中值定理论证问题的能力。

基本方法：1、用Lagrange中值定理证明等式、不等式的方法；2、判定零点的方法。

课时分配：一、引入新课：通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。

在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。

因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。

我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课：（一）、罗尔定理定义 设)(x f 在区间I 有定义。

若I x ∈0，且存在0x的某邻域I x U ⊂)(0，)(0x U x ∈∀，有))()()(()(00x f x f x f x f ≥≤，则称x 为)(x f 的一个极大值点（极小值点）。

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f满足：（1）在[]b ,a 连续.（2）在()b ,a 可导.（3）()()b f a f= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ使()0f/=ξ例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。

证： 设()()x xf x F=在[a,b]可导，()()1F 0F =∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,证明存在η ()()0F F /=η+η 。

解: 设()()x f e x Fx =，且()()1F 0F = 由罗尔定理存在η 使()0F/=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f/=η+η例 习题6设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理如()x f满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。