【人教版高中数学必修一学习课件】1-2-2函数的表示法(2)PPT课件

2.典例(2)中x和 有什么x 关系x? 1
提示:互为倒数关系x .
【解析】(1)方法一(换元法):令 +x1=t(t≥1),
则x=(t-1)2, 所以f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,
所以f(x)=x2-1(x≥1).t 12
方法二(配凑法):因为x+2 =( +1)2-1,
所以f( +1)=( +1)2-1. x x 又因为 x+1≥1,所x以f(x)=x2-1(x≥1).
当函数f(g(x))一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变,那 么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们由 f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的 “管辖范围”一致才妥.
1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( ＋1)=x＋2 ”变为
x
x
“f(2x-1)=x2＋x＋1”，则f(x)的解析式是什么？
【解析】设2x-1=t，则x=
所以f(t)=
t＋1， 2
即f(x)= (t＋1)2＋t＋1＋1 t2 ＋t＋7 .
2 2 44
1 x2＋x＋7 .
4
4
2.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( ＋1)=x＋2
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1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
【知识提炼】 函数的表示法
数学表达式 图象
表格
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)所有的函数都能用列表法来表示吗? 提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y=2x+1,x∈R. 因为自变量x∈R不能一一列出,所以不能用列表法来表示. (2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围? 提示:函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式的时候,一般要写 出函数的定义域.

提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较
优点
缺点
解 析 法
一是简明、全面地概括了变量 间的关系；二是可以通过解析 式求出任意一个自变量所对应 的函数值
不够形象、直观，而且并 不是所有的函数都可以用 解析式表示
列 表 法
不通过计算就可以直接看出与 自变量的值相对应的函数值
例：求下列函数的解析式： (1)已知f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求f(x)； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)．
解：(1)法一：(换元法) 令t＝1＋x x＝1x＋1，得x＝t－1 1，则t≠1. 把x＝t－1 1代入f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋ 1t－112 2＋
y 0 －1 0 3
8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
[类题通法] 1．作函数图象的三个步骤 (1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描 出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应 该是关键处的点．
s_t函数图象与故事情节相吻合的是
()
解析：由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的 路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B. 答案：B
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义
域是
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)

课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性；
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性； (3) A中元素不可剩，B中元素可剩；
课堂小结
(1) 映射三要素: 原象、象、对应法则； (2) 取元任意性，成象唯一性； (3) A中元素不可剩，B中元素可剩； (4) 多对一行，一对多不行；
思 考： 你能说出函数与映射之间的异同吗? 1)函数是一个特殊的映射；
思 考： 你能说出函数与映射之间的异同吗? 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数是非空数集A到非空数集B的映射，
而对于映射，A和B不一定是数集.
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B， 与b对应，则把元 素b叫做a在B中的象，而a叫做b的原 象.
③求正弦
1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
观察下列对应，并思考：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
1 ②求平方
-1 2 -2 3 -3
③求正弦
1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 32Βιβλιοθήκη 4356
映射的定义：
一般地，设A、B是两个集合，如果 按照某种对应法则f，对于集合A中的任 一个元素，在集合B中都有唯一的元素 和它对应，那么这样的对应(包括A、B 以及A到B的对应法则f )叫做集合A到集 合B的一个映射.

第2课时分段函数及映射
1
2
只要你能把数报对， 我就知道是什么牌
3
1.通过实例体会分段函数的概念.
2.会用分段函数解决简单的实际问题.(重点）
3.了解映射的概念及表示方法，并会判断一个
对应关系是否是映射.（难点）
某宾馆有相同标准的床位 100 张，根据经验，当该宾馆的 床价（即每张床位每天的租金）不超过 100 元时，床位可以 全部租出，当床位高于 100 元时，每提高 10 元，将有 3 张床 位空闲． 为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格， 条件是：①要方便结账，床价应为 10 元的整数倍；②该宾馆 每日的费用支出为 5750 元，床位出租的收入必须高于支出， 而且高出得越多越好．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出
甲、乙两户该月的用水量和水费.
14.4x,0≤x≤, 4
3
【解析】(1)依题意得y= 20.4x-4.8,＜4 x≤, 4
5
5
24x-9.6,x＞.4
3
21
(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈[0,]时4 ，y≤f()＜264.4；
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
针对于集
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应.
合A来说， 不管集合B
②A在B中所对应的元素是唯一的.
15
因此还可以用映射的概念来定义函数： 如果A、B是非空数集，那么A到B的映射f:A→B, 就叫做A到B的函数， 记作：y=f(x)
函数是一种特殊的映射
函数
若用 x 表示床价，用 y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即 除去每日的费用支出后的收入），试把 y 表示成 x 的函数，

考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.

B.{ x | x 1}
C.{ x | x 0,且x 1} D.{ x | x 0}
解析:函数的定义域满足
x 1 | x | x
0, 0.
解之,得
x 1,
x
0.
即 x 0,且x 1.
【3】求函数 y x 1 x 的值域.
解：设 t 1 x ,
y
则 x = 1- t2且 t ≥ 0.
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x≤ 1 时，
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
当x ＞1 时，
y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4
2x 4 x 5
y
6
5 x1
－5
2x 4
x 1
当x＞1时, y ( x 1) [(1 x)] =2.
y 22x,,
x 1, 1≤ x ≤1,
y
2
2, x 1.
由图知:－2≤y≤2.
-1
o1
x
故函数的值域为[－2, 2 ].
-2
x 2, x ≤ 1,
【1】已知函数
f
(
x)
x2
,
1 x 2,
若 f(x)=3, 则x的值是……2…x,……x ≥(2D. ).
∴y = 1-t 2+ t
(t 1)2 5 .
o
t
24
由图知：
y
≤
5 4
5 4
].
换元法:利用换元化单一函数
求函数y 2x 3 4x 13 的值域.

1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻
研习新知
•新知视界
• 1．分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
• 分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．
• ①映射的三要素：原象、象、对应关系； • ②A中元素不可剩，B中元素可剩；
• ③多对一行，一对多不行； • ④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射
• 其次，要准确把握映射与函数的关系：
• (1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上 引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射 的语言来叙述函数的问题．
• (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言， A和B不一定是数集．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
x－1

－x
x<1
x≥1
＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
，则f(f
解析：f(1)＝ 1－1＝0， ∴f(f(1))＝f(0)＝0.
答案：A
3．设A＝{0,1,2,4}，B＝ 12，0，1，2，6，8
下列对应关系能构成A到B的映射的是(f：x→(x－1)2
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已

合作探究
探究点一 分段函数的概念
问题1：分段函数的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成
的吗？
提示：不是.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同子
区间上对应关系不同而已，是一个函数.
合作探究
探究点一 分段函数的概念
问题2：分段函数的定义域和值域如何求？
提示：分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集.分段函数的 值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.
归纳小结
2．对映射的定义，应注意以下几点： (1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其 他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来 表达．
再见
课堂练习
解析：f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0. 答案：D
课堂练习
3．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝6，则f(x)的解析
式为f(x)＝________.
[答案] 2x2－x
归纳小结
1．理解分段函数应注意的问题： (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域 是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏． (2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的 解析式． (3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数 的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图 象．
[解析]
题后反思
[拓展提升] 1.求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.
当出现多层“f”的形式时，应从内到外依次求值母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.

的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．

解：已知给出的是用列表法表示的函数 M＝f(m)，该函
1.2 2.4 数是分段函数．M＝ 3.6 4.8 6.0
0<m≤20 20<m≤40 40<m≤60 60<m≤80 80<m≤100
3．已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f
k＝2， ∴ b＝－1 3
或 k b＝ ＝－ 1. 2，
∴f(x)＝2x－1 3或 f(x)＝－2x＋1.
思路点拨：注意解题方法的选取．
(2)解法一：(换元法)令 x＋1＝t(t≥1)， 则 x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二：(配凑法) x＋2 x＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)． ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
方法点评：求函数解析式的常用方法是待定 元法．当已知函数的类型时，可设出其函数解析 定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．
当不知函数类型时，一般可采用换元法，所 将接受对象“ x＋1”换作另一个字母“t”，然后 与 t 的关系，代入原式中便可求出关于“t”的函数 为所求函数解析式，但要注意自变量取值范 况．另外，求函数解析式的方法还有配凑法、解方
【答案】C
【答案】x＋x 1(x≠0 且 x≠－1)
解析：用1 x 代替原式中的
x，∴f 1 1 x ＝f(x)＝
又由题知 x≠0 且 x≠－1.
4．如图，函数 f(x)的图象是曲线 OAB，其中 ∴f(x)＝1＋ x x(x≠0 且 x≠－1)．
B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 ff13的值等于