全国2018年数学同步优化指导练习：阶段质量评估1

第一章 §2 2.11．抛掷一枚骰子一次，A 表示事件“出现偶数点”，B 表示事件“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．既互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13.所以A 与B 是相互独立事件．答案：B2．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A ．18B ．14C ．25D ．12解析：事件A 包含(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4个基本事件，事件B 包含(2,4)一个基本事件．∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝14. 答案：B3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率和B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为________．解析：由P (A B －)＝P (B A －)，得P (A )P (B －)＝P (B )P (A －)，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]．∴P (A )＝P (B )．又P (A － B －)＝19， 则P (A －)＝P (B －)＝13.∴P (A )＝23. 答案：234．国庆节放假期间，甲、乙、丙三人计划去北京旅游的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率为________．解析：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，所以他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45.所以，至少有一人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 答案：35。

模块质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·高考四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：根据条件按比例抽样得知抽样方法．根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．答案：C2．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有() A．1对B．2对C．3对D．4对解析：E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．答案：B3．把38化为二进制数为()A．100 110(2)B．101 010(2)C．110 100(2)D．110 010(2)解析：由除“k”取余法知38化为二进制数为100 110(2)，故选A．答案：A4．(2016·高考山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：h)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5, 20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5 h的人数是()A ．56B ．60C ．120D ．140解析：利用频率分布直方图获取数据求解．由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5 h 的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5 h 的人数为0.7×200＝140.故选D ．答案：D5．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：“取出的2个球全是红球”记为事件A ，则P (A )＝310.因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件，所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．答案：C6．若下图程序输出y 的值为3，则输入的x 为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．8解析：当x ≥0时，由x 2－1＝3，得x ＝2； 当x <0时，由2x 2－5＝3，得x ＝－2． 综上可知输入的x 为2或－2． 答案：C7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( ) A ．y ^＝1.23x ＋0.08 B.y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋4D.y ^＝0.08x ＋1.23解析：设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝1.23.因为回归直线必过样本中心点，所以代入点(4,5)，得a ^＝0.08.所以回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.故选A ．答案：A8．(2013·高考四川卷)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )解析：由[0,5)，[5,10)内的频数均为1，可知图中相应的高度相等，可以排除选项B ，由于分组时按照组距为5分的，而选项C 、D 的组距为10，故错误．所以选A ．答案：A9．(2014·高考广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )图1 图2A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20解析：易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即为样本容量；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20．答案：D10．(2015·高考全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：逐次运行程序，直至程序结束得出a 值． a ＝14，b ＝18．第一次循环：14≠18且14<18，b ＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4且14>4，a ＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4且10>4，a ＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4且6>4，a ＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4且2<4，b ＝4－2＝2；每六次循环：a ＝b ＝2，跳出循环，输出a ＝2，故选B ． 答案：B11．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a <b 的概率为( )A ．45B.35 C ．25D.15解析：取出的两个数用数对表示，则数对(a ，b )的不同选法共有15种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，其中a <b 的情形有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，故所求事件的概率P ＝315＝15．答案：D12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f(x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4解析：函数f(x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2的点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4，故选B ．答案：B第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 13．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.0 8 9 135解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11．由方差公式得s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8．答案：6.814．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：c m)数据绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a ＝________________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为__________．解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a ＋0.020＋0.010)＝1，解得a ＝0.03.由直方图可知三个区域的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为1860×10＝3．答案：0.03 315．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________________人．解析：将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100．设在40岁以下年龄段中应抽取x 人， 则40200＝x100，解得x ＝20． 答案：37 2016．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是_ _______________．解析：由图知第一次循环得k ＝3，a ＝43，b ＝34，a <b ；第二次循环得k ＝4，a ＝44，b ＝44，a ＝b ；第三次循环得k ＝5，a ＝45＝1 024>b ＝54＝625.∴k ＝5．答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)画出下面的程序所描述的一个程序框图．INPUT x IFx>0 PRINT xELSEPRINT －x END解：程序框图如图．18．(本小题满分12分)一枚硬币连掷3次，观察向上面的情况． (1)写出所有的基本事件，并计算总数； (2)求仅有2次正面向上的概率．解：(1)所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个基本事件．(2)由(1)知，仅有2次正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．设仅有2次正面向上为事件A ，则P (A)＝38．19．(本小题满分12分)为了了解工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数．(2)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2．(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，从这7个工厂中随机抽取2个，全部的可能结果有21种，随机抽取的2个工厂中至少有1个来自A 区的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共11种，所以所求的概率为1121．20．(本小题满分12分)(2015·高考新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i ．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率与截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝18(u i －u )(v i －v )∑i ＝18(u i －u )2，α^＝v －β^u ．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w －＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ． 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x ． (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32． ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12． 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本小题满分12分)(2015·高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006．(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，所以所求的概率为110．22．(本小题满分12分)有7名歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如表.(2)记从A 12312B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2，共4种，故所求概率P ＝418＝29．。

阶段质量评估(四) 导数及其应用(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－12，0，⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫0，12 解析：f (x )＝2x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝4x －1x.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f ′(x )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4x －1x＞0.∴x ＞12.∴f (x )递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：C2．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D3．f (x )＝3－x ，则f ′(0)＝( )A ．1B ．log 3eC ．ln 3D ．－ln 3解析：∵f ′(x )＝(3－x )′＝3－x ln 3·(－x )′＝－3－x ln 3，∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D4．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4C ．1D ．π2解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.答案：B5．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．对于函数f (x )＝x 3＋px 2＋2x ＋1，若|p |<6，则f (x )无极值D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故选项A 错误．函数y ＝x 3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故选项B 错误．函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上没有最值，故选项D 错误． 答案：C6．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 又∵f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.∴f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13. ∴|2x －1|<13.∴－13<2x －1<13.∴13<x <23.答案：A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )A B C D 解析：由已知得⎩⎨⎧－b2>0.c －b24<0.∴b <0.由f ′(x )＝2x ＋b ，只有A 项适合．答案：A8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0(a ∈R )的实数根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋a ，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1，∵Δ＝－8<0，∴f ′(x )>0.∴f (x )在R 上单调递增．∴f (x )与x 轴有一个交点，即f (x )＝0只有一根．答案：B9．下列等式成立的是( ) A.⎠⎛ab 0d x ＝b －aB.⎠⎛ab x d x ＝12C.⎠⎛－11|x |d x ＝2⎠⎛01|x |d xD.⎠⎛ab (x ＋1)d x ＝⎠⎛ab x d x解析：⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－10|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝⎠⎛－10(－x )d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2⎠⎛01|x |d x .答案：C10．定积分⎠⎛－11(3x 2－sin x )d x 的值为( )A ．2cos 1B ．－2C ．2D ．2sin 1解析：⎠⎛－11(3x 2－sin x )d x ＝13＋cos 1－(－1)3－cos(－1)＝2.答案：C11．(2015·福建卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1k B ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0. ∴函数F (x )在R 上单调递增．∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－kk －1>－1， 即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1.∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1.故C 错误． 答案：C12．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得不等式f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：当x >0时，令F (x )＝f (x )x， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数．∵f (x )为奇函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.故F (1)＝0. 在区间(0,1)上，F (x )>0； 在(1，＋∞)上，F (x )<0， 即当0<x <1时，f (x )>0； 当x >1时，f (x )<0. 又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 答案：A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．曲线f (x )＝2－12x 2与g (x )＝14x 3－2在交点处切线的夹角的正切值为____________.解析：联立方程，得x 3＋2x 2－16＝0.解得交点坐标为(2,0)．而k 1＝f ′(2)＝－2，k 2＝g ′(2)＝3，∴tan θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 21＋k 1k 2＝1.答案：114．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________________. 解析：令y ′＝3x 2＋2x －5>0， 解得x <－53或x >1.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞) 15．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________. 解析：由题意可知，f ′(x )＝2mx ＋1x －2＝2mx 2－2x ＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2mx 2－2x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．当m >0时，有Δ＝4－8m ≤0，解得m ≥12.当m ≤0时，不成立． 综上可知m ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 16．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是____________.解析：当a >0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，故在x ＝a 处取极小值．当a ＝－1时不合题意．当－1<a <0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，a )上是增函数，在(a ，＋∞)上是减函数，故在x ＝a 处取极大值．当a <－1时，函数f (x )在(－∞，a )上是减函数，在(a ，－1)上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数，故在x ＝a 处取极小值．综上，a ∈(－1,0)． 答案：(－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值．(2)求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f (x )在x ＝0处取得极值， ∴f ′(0)＝0，即b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.∵函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， ∴2≤－23a ≤4.解得－6≤a ≤－3.18.(12分)如图，已知矩形ABCD 的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长|AD |＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2.故矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，即S ＝8x －2x 3,∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)．当0<x <233时，S ′>0；当233<x <2时，S ′<0. ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大＝3239，y ＝83.故矩形的边长分别为433，83时，矩形的面积最大．19．(12分)设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值． (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32，该切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.20．(12分)设函数f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值．(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6.故a ＝12.(2)由( 1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－x 2＋ax ＋b ，(1)若函数f (x )的图象上有与x 轴平行的切线，求实数a 的取值范围．(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )<b 2＋b 恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ，依题意知，方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0有实根． ∴Δ＝4－4×6a ≥0，即a ≤16.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，16. (2)由函数f (x )在x ＝1处取得极值，知x ＝1是方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0的一个根， ∴a ＝－4，方程f ′(x )＝6x 2－2x －4＝0的另一个根为－23.∴当x <－23或x >1时，f ′(0)>0；当－23<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－23和[1,2]上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－23，1上为减函数． ∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝4427＋b ，极小值f (1)＝b －3. 又f (－1)＝b ＋1，f (2)＝b ＋4， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝4＋b . ∴只需满足f (x )max <b 2＋b ，即4＋b <b 2＋b . 解得b >2或b <－2.∴b 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．22．(12分)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a x ＋(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝a x ＋2(x ＋1)2， ∵a ＝0，∴f ′(x )＝2(x ＋1)2.根据导数的几何意义，得所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12.而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a (x ＋1)2＋2x x (x ＋1)2＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋ax (x ＋1)2.令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a 则Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋4. 当a ＝0时，f ′(x )＝2(x ＋1)2>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根分别为 x 1＝－(a ＋1)－2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)＋2a ＋1a .∵a >0，∴x 1<0，x 2<0. ∴g (x )> 0.∵x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )>0. 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12，则g (x )≤0.∴f ′(x )≤0.故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当Δ>0，即－12<a <0时，x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a >0，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a >0.令f ′(x )>0，则x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，则x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)，∴f (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减． 综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)上单调递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a .1当a≤－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．。

第1章 1.6一、选择题1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件是( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：实数a ，b ，c 不全为0的含义是a ，b ，c 中至少有一个不为0. 答案：D2．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不确定解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .答案：B 3．已知x ＝a ＋1a －2(a ＞2)，y ＝⎝⎛⎭⎫12b 2－2(b ＜0)，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ＞y B ．x ＜y C ．x ＝yD ．不能确定解析：易得x ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a ＞2)，而b 2－2＞－2(b ＜0)，即y ＝⎝⎛⎭⎫12b 2－2＜⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 所以x ＞y . 答案：A4．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M ＜1C ．M ＞1D ．M 与1大小关系不定解析：M ＜＝1.答案：B二、填空题5．若a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，b a ，b ＋ma ＋m ， a ＋nb ＋n ，按由小到大的顺序排列为____________．解析：由不等式a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，知 b a ＜b ＋m a ＋m ＜1，且b a ＜b ＋na ＋n ＜1， 得ab ＞a ＋n b ＋n ＞1，即1＜a ＋n b ＋n ＜a b . 答案：b a ＜b ＋m a ＋m ＜a ＋n b ＋n ＜a b6．已知a ∈R ＋，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为___________．解析：∵a ＋a ＋1＞a ＋a ＝2a ， a ＋a ＋1＜a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1， ∴2a ＜a ＋a ＋1＜2a ＋1， ∴12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1. 答案：12a ＞1a ＋a ＋1＞12a ＋1 三、解答题7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n . 求证：a 112＋a 222＋…＋a nn 2＞3n .证明：当n ＝1时，a 112＝S 1＝6＞3；当n ＞1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2＝S 112＋S 2－S 122＋S 3－S 232＋…＋S n －S n －1n 2＝⎝⎛⎭⎫112－122·S 1＋⎝⎛⎭⎫122－132·S 2＋…＋⎣⎡⎦⎤1(n －1)2－1n 2·S n －1＋1n 2·S n＞S n n 2＝n 2＋n n 2·3n ＞3n . ∴当n ≥1时，a 112＋a 222＋…＋a nn2＞3n .8．设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，且f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的最小值．(2)是否存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意x ＞0恒成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间． ∴g (x )的最小值为g (1)＝1.(2)满足条件的x 0不存在，理由如下：假设存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x 对任意的x ＞0恒成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1， 且当x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)， 从而可取一个x 1＞1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1，即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1＞1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0＞0，使得|g (x )－g (x 0)|＜1x对任意x ＞0恒成立．一、选择题1．lg 9·lg 11与1的大小关系是( ) A ．lg 9·lg 11＞1 B ．lg 9·lg 11＝1 C ．lg 9·lg 11＜1D ．不能确定解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0，且lg 9≠lg 11， ∴lg 9·lg 11＜⎝⎛⎭⎫lg 9＋lg 1122＝⎝⎛⎭⎫lg 9922＜⎝⎛⎭⎫lg 10022＝1.答案：C2．设x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1，m ＝(1＋xy )(1－xy )，则m 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．(0,1] C ．⎣⎡⎦⎤34，1D ．⎣⎡⎦⎤34，2解析：∵x 2＋y 2＝1≥2|xy |，∴|xy |≤12.两边平方，得0≤x 2y 2≤14.∴m ＝(1＋xy )(1－xy )＝1－x 2y 2.∴34≤m ≤1.答案：C二、填空题3．凸函数的性质定理：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为__________.解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A ，B ，C ∈(0，π)． ∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，∴sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案：3324．完成下列反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，…，7的一个排列． 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数，所以奇数＝________________＝________________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：假设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数． ∵奇数个奇数的和还是奇数，∴奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数． 答案：(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) 三、解答题5．求证：抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．证明：假设抛物线x ＝y 2上存在两点A (a 2，a )，B (b 2，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称．∵k AB ＝1，且A ，B 的中点⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b a 2－b 2＝1， ①a 2＋b 22＋a ＋b 2＋1＝0. ②由①，得a ＋b ＝1，代入②，得a 2＋b 22＋32＝0.此方程无解，说明假设不成立．∴抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．6．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，S 2＝12b 2.(1)若b 2是a 1，a 3的等差中项，求{a n }与{b n }的通项公式．(2)若a n ∈N *，{ba n }是公比为9的等比数列，求证：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜74.(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . ∵S 2＝12b 2，∴a 1＋a 1＋d ＝12b 1q ，而a 1＝b 1＝1，则q (2＋d )＝12.①又∵b 2是a 1， a 3的等差中项， ∴a 1＋a 3＝2b 2，得1＋1＋2d ＝2q . 即1＋d ＝q .②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－4.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，b n ＝3n －1；或a n ＝1＋(n －1)·(－5)＝6－5n ，b n ＝(－4)n －1.(2)证明：∵a n ∈N *，ba n ＝b 1qa n －1＝q 1＋(n －1)d －1＝q (n－1)d,∴ba n ＋1ba n ＝q ndq (n －1)d ＝q d ＝9，即q d ＝32.③ 由(1)知q (2＋d )＝12，得q ＝122＋d .④∵a 1＝1，a n ∈N *，∴d ∈N .又由③④知q ＞1，且q 为正整数，∴d ＝2，q ＝3. ∴a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.∴1S n ＝1n 2＜1(n －1)(n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1(n ≥2)． 当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜1＋12⎝⎛⎭⎫11－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋ 12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74－12n －12(n ＋1)＜74. 显然，当n ＝1时，成立． 故n ∈N *，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜74.。

第三章 本章整合提升1．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：⎭⎪⎬⎪⎫当x ＞1，y ＞1时，x ＋y ＞2一定成立，即p ⇒q 当x ＋y ＞2时，可以x ＝－1，y ＝4，即q /⇒p ⇒ p 是q 的充分不必要条件. 答案：A2．(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R . ( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥bD ．若f (a )≥2b ，则a ≥b解析：若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b .故a ≤b . 答案：B3．(2014·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪名学生比另一名学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两名学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人解析：满足题目条件的最多有3人，其中一个人语文最好，数学最差，另一个人语文最差数学最好，第三个人成绩均为中等．故选B ．答案：B4．(2014·陕西卷)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________.解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x.答案：f 2 014(x )＝x1＋2 014x5．(2014·课标Ⅰ)甲、乙、丙三名同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________.解析：由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲、乙可知，甲去过A ，C 且比乙多，且乙没有去过C 城市，故乙只去过A 城市．答案：A6．(2016·四川卷)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________________.(写出所有真命题的序号) 解析：根据定义求解．①设A (2,1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而A ′的伴随点为(－2，－1)，故①错． ②设P (x ，y )，其中x 2＋y 2＝1，则其伴随点为(y ，－x )，该点也在圆x 2＋y 2＝1上，故②正确．③设A (x ，y )，B (x ，－y )，则它们的伴随点分别为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，B ′⎝⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，A ′与B ′关于y 轴对称，故③正确．④设共线的三点A (－1,0)，B (0,1)，C (1,2)，则它们的伴随点分别为A ′(0,1)，B ′(1,0)，C ′⎝⎛⎭⎫25，－15，此三点不共线，故④不正确． 答案：②③7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC ．(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明：∵PC ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ， ∴PC ⊥DC ．∵DC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ， ∴DC ⊥平面P AC ．(2)证明：∵AB ∥DC ，DC ⊥AC ， ∴AB ⊥AC ．∵PC ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴PC ⊥AB ． ∵PC ∩AC ＝C ， ∴AB ⊥平面P AC ． ∵AB 平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AC ．(3)解：在棱PB 上存在中点F ，使得P A ∥平面CEF .∵点E 为AB 的中点，∴EF ∥P A ．∵P A 平面CEF ，EF 平面CEF ， ∴P A ∥平面CEF .8．(2016·四川卷)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．(1)解：f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解：由(2)，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2＞x 2－2x ＋1x 2＞0.因此h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。

活页作业(五) 合情推理(一)——归纳1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．27 B ．28 C ．32D ．33解析 因为数列的规律是5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，所以x －20＝12.故x ＝20＋12＝32.答案：C2．观察下列图形：……由此规律，则第30个图形比第27个图形中的“☆”多( ) A ．59颗 B ．60颗 C ．87颗D ．89颗解析 设第n 个图形中“☆”的个数为a n ，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.故第30个图形比第27个图形中的“☆”多30×312－27×282＝87(颗)．答案：C3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由此可归纳出：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f ′(x )( )A ．为偶函数B ．为奇函数C ．既为奇函数又为偶函数D ．为非奇非偶函数解析 (x 2)′＝2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； (x 4)′＝4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； (cos x )′＝－sin x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数； ……我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数． 答案：B4．对于大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”，23＝3＋5,33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析 由题意，从23到m 3，共有从3开始的连续奇数2＋3＋4＋…＋m ＝(m ＋2)(m －1)2(个)，59是从3开始的第29个奇数．当m ＝7时，从23到73，共有从3开始的连续奇数(7＋2)(7－1)2＝27(个)．当m ＝8时，从23到83，共有从3开始的连续奇数(8＋2)(8－1)2＝35(个)．故m ＝8. 答案：C5．根据三角恒等变换，可得如下等式： cos θ＝cos θ； cos 2θ＝2cos 2θ－1； cos 3θ＝4cos 3θ－3cos θ； cos 4θ＝8cos 4θ－8cos 2θ＋1； cos 5θ＝16cos 5θ－20cos 3θ＋5cos θ.依此规律，猜想cos 6θ＝32cos 6θ＋m cos 4θ＋n cos 2θ－1，其中m ＋n ＝________. 解析 由所给的三角恒等变换等式可知，各系数与常数项的和是1，即32＋m ＋n －1＝1，故m ＋n ＝－30.答案：－306．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝________.解析 该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝⎛⎭⎫13112.答案：⎝⎛⎭⎫131127．已知在数列{a n }中，a 1＝2cos π3，a n ＋1＝2＋a n (n ∈N ＋)，猜想这个数列的通项公式．解 ∵a 1＝2cos π3，a n ＋1＝2＋a n ，∴a2＝2＋a1＝2＋2cos π3＝2＋2⎝⎛⎭⎫2cos2π6－1＝4cos2π6＝2cosπ6.a3＝2＋a2＝2＋2cos π6＝2＋2⎝⎛⎭⎫2cos2π12－1＝4cos2π12＝2cosπ12.a4＝2＋a3＝2＋2cos π12＝2＋2⎝⎛⎭⎫2cos2π24－1＝4cos2π24＝2cosπ24.∴猜想{a n}的通项公式为a n＝2cosπ3×2n－1.8．在平面内，观察凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数随着边数增加的变化规律，由此猜想凸n边形有几条对角线．解凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；……于是猜想：凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2)条，即凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n－3)(n≥4，n∈N＋)．1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，……则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92解析由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案：B2．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如下图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去，那么第2 013次互换座位后，小兔的座位对应的编号是()A ．1B ．2C ．3D ．4解析 第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象．又2 013＝503×4＋1，故第2 013次互换座位后的座位情况就是第1次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是1.答案：A3．如下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两个数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，则第7行第5个数(从左到右)为________. 1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 15……解析 设第n 行第m 个数为a (n ，m )． 由题意知a (6,1)＝16，a (7,1)＝17，∴a (7,2)＝a (6,1)－a (7,1)＝16－17＝142，a (6,2)＝a (5,1)－a (6,1)＝15－16＝130，a (7,3)＝a (6,2)－a (7,2)＝130－142＝1105，根据对称性，得a (7,5)＝a (7,3)＝1105.答案：11054．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用含n 的数学表达式表示)．解析画图可知，f (4)＝5. 当n ＞4时，可得递推式 f (n )－f (n －1)＝n －1， f (n －1)－f (n －2)＝n －2， …… f (4)－f (3)＝3. 各式相加，可得f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)．又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2.化简整理，得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)5．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32；sin 212°＋sin 272°＋sin 2132°＝32；通过观察上述三等式的规律，请你写出一般性的命题，并给予证明． 解 一般形式：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)＝32－12⎝⎛⎭⎫cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α＝32＝右边．∴原式得证．6．已知函数f (x )＝13x ＋3.(1)分别计算f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2 015)＋f (2 016)． (2)试根据(1)的结果归纳猜想出一般性结论，并给出证明． 解 (1)∵f (x )＝13x ＋3，∴f (0)＋f (1)＝130＋3＋13＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝3＋13(1＋3)＝33；f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝113＋3＋133⎝⎛⎭⎫13＋3＝33＋133⎝⎛⎭⎫13＋3＝13＝33；f (－2 015)＋f (2 016)＝33. (2)由(1)的结果可以猜测f (x )＋f (1－x )＝33. 证明：f (x )＋f (1－x )＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3×3x ＝13x ＋3＋3x3(3＋3x )＝3＋3x 3(3＋3x )＝33. ∴f (x )＋f (1－x )＝33.。

综合质量评估(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：复数i 3＋2i1＋i ＝－i ＋2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－i ＋i(1－i)＝1.故选A.答案：A2．曲线y ＝x 2上的点P 处的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标为 ( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116D ．⎝⎛⎭⎫12，14解析：因为y ＝x 2，所以y ′＝2x ，tan π4＝2x ，∴x ＝12，代入y ＝x 2，得y ＝14，因此点P的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，故选D.答案：D3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D ．e 22解析：∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22. 答案：D4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：由题意知f ′(－1)＝0，当x ＜－1时f ′(x )＜0； 当x >－1时f ′(x )>0， ∴当x ＜－1时，x ·f ′(x )>0， 当－1＜x ＜0时，x ·f ′(x )＜0， 当x >0时，x ·f ′(x )>0. 答案：C5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， 故可猜测f n (x )以4为周期， 有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ， f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ， f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ，所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C. 答案：C6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＜1 C ．a ＜2D ．a ≤13解析：由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 答案：A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．1解析：∵|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，∴⎠⎛0π|cos x |＝⎠⎛0π2cos x d x ＋⎠⎜⎛π2 π(－cos x )d x ＝sin x ⎪⎪⎪π20＋(－sin x ) ⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2.答案：C8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( ) A ．1 B ．2k ＋1 C ．2k －1D ．2k解析：∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项．答案：D9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a解析：因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，所以c >a >b .答案：B10．若a ，b 在区间[0, 3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 12 B ．33C.36D ．1－36解析：易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a .函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0，且其导函数的判别式大于 0，即a ≠0，且4b 2－12a 2>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ， 点(a ，b )满足的区域如图中阴影部分所示， 其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32， 故所求的概率是36. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．若函数f (x )＝－1b e ax (a ＞0，b ＞0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a＋b 的最大值是( )A ． 4B ．2 2C ．2D ． 2解析：求导数，可得f ′(x )＝－ab e ax ，令x ＝0，则f ′(0)＝－ab .又f (0)＝－1b，则切线方程为y ＋1b ＝－ab x ，即ax ＋by ＋1＝0.∵切线与圆x 2＋y 2＝1相切，∴1a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝1， ∵a ＞0，b ＞0，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a ＋b ≤ 2. ∴a ＋b 的最大值是2，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i(a ∈R )成等比数列，那么a 的值为______． 解析：由题意知，(a ＋i)2＝1×(3＋a 2i)， 即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2. 答案：214．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立： a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3， a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是____________．(要注明成立的条件)答案：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)15．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a －b ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴1＋3＝－2a3，1×3＝b3，∴a ＝－6，b ＝9，∴a －b ＝－15.答案：－1516．已知f (x )＝(2x －x 2)e x ，给出以下几个结论：①f (x )>0的解集是{x |0＜x ＜2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．其中判断正确的是__________．(填序号)解析：f (x )>0，又e x >0，∴2x －x 2>0.∴0＜x ＜2，故①正确．由f (x )＝(2x －x 2)e x ，得f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ 2.∵当x ＜－2或x >2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当－2＜x ＜2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (－2)是极小值，f (2)为极大值，故②正确．∵x ＜0时，f (x )＜0，x >2时，f (x )＜0且单调递减.∴f (2)为最大值，没有最小值，故③错，④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (－7＋24i )2(－4＋3i ) ＝24＋7i 4－3i ＝3＋4i.18．(本小题满分12分) 已知sin 2 30°＋sin 2 90°＋sin 2 150°＝32，sin 2 5°＋sin 2 65°＋sin 2 125°＝32，通过观察上述两个等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明． 解：一般形式：sin 2 α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos 2α2＋1－cos (2α＋120°)2＋1－cos (2α＋240°)2＝ 32－12[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°) ＝32－12(cos 2α－12cos 2α－32sin 2α－12cos 2α＋32sin 2α) ＝32＝右边． (将一般形式写成sin 2(α－60° )＋sin 2 α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确)19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax(x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )＜0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由(1)知F ′(x )＝x －ax 2(0＜x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0＜x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． (1)证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝ BC 2AB 2·AC 2，又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC 2. (2)解：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确． 21．(本小题满分12分)(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1.(2)由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)＞0，即m ＞－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1).由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x＋7.22．(本小题满分12分) (2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)，因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax ＋1.当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故g(x)≥0，所以e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．。

第一章 本章整合提升1．(2015·湖北卷)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝by ＋a ，b ＞0，则z ＝by ＋a ＝－0.1bx ＋b ＋a ，故x 与z 负相关．答案：A2．如果有99%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( ) A ．χ2＞3.841 B ．χ2＜3.841 C ．χ2＞6.635D ．χ2＜6.635解析：由独立性检验的基本思想可知，当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关系．故选C ．答案：C3．(2016·山东卷改编)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．解析：设事件A 表示“甲第一轮猜对”， 设事件B 表示“乙第一轮猜对”， 设事件C 表示“甲第二轮猜对”， 设事件D 表示“乙第二轮猜对”，设事件E 表示“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2⎝⎛⎭⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.答案：234．一口袋中，有6个红球，4个白球，从中无放回地依次摸出2个球．在第1次摸到红球的情况下，第2次又摸到红球的概率为________．解析：设A 表示“第二次摸到红球”，B 表示“第一次摸到红球”，则A |B 表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红球”．解法一 直接利用A |B 的含义求解．由题意知，事件B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个白球，则事件A 发生的概率为59，即P (A |B )＝59.解法二 用公式求解． P (B )＝610＝35，而AB 表示两次都摸到红球，则P (AB )＝13.所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1335＝59.答案：595．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：∑i ＝116(i －8.5)2≈18.439，∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ⅱ)在(x －－3s ，x －＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2∑i ＝1n(y i －y －)2，0.008≈0.09.解：(1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ＝∑i ＝116(x i －x －)(i －8.5)∑i ＝116(x i －x －)2∑i ＝116(i －8.5)2≈－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)(ⅰ)由于x －＝9.97，s ≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －－3s ，x －＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，删除第13个数据，剩下数据的样本方差为12－15×10.022)≈0.008，15(1 591.134－9.22这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.6．(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)记事件用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下.平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，故P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.。

活页作业(十八) 数系的扩充与复数的引入1．已知下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，当x ＝－1时不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与b －1不能比较大小，故②错误；④是正确的．答案：D2．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( ) A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数 B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇔a ＝3，b ＝－3D ．－1的平方等于i解析：当a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，故A 错误；B 正确；若a ＋(b －1)i ＝3＋2i ，则a ＝3，b ＝3，故C 错误；(－1)2＝1，故D 错误．答案：B3．若复数z ＝6＋a i 3－i (其中a ∈R ，i 是虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵z ＝(6＋a i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝18－a ＋(6＋3a )i10，∴18－a ＝6＋3a .解得a ＝3.故选A ． 答案：A4．z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，当z 1＝z 2时，θ为( ) A ．k π(k ∈Z )B ．π3＋2k π(k ∈Z )C ．±π3＋2k π(k ∈Z )D ．π6＋2k π(k ∈Z )解析：由z 1＝z 2，得⎩⎨⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴⎩⎨⎧sin θ＝12，tan θ＝33.∴θ＝π6＋2k π(k ∈Z )．答案：D5．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0解析：复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， ∴|a |＝－a .∴a ≤0. 答案：D6．已知复数z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i(m ∈R )．若z 是实数，则m 的值为________；若z 是虚数，则m 的取值范围是_________；若z 是纯虚数，则m 的值为________．解析：z ＝m 2－m ＋(m 2－1)i ； 实部为m 2－m ，虚部为m 2－1.当m 2－1＝0，即m ＝±1时，z 为实数； 当m 2－1≠0，即m ≠±1时，z 为虚数；当m 2－m ＝0且m 2－1≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数． 答案：±1 m ≠±1 07．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，则|z |＝________.解：本题考查复数的有关概念及复数模的计算，根据z 是纯虚数，由复数z 的实部为0，求出m 的值后，利用模的定义求|z |.∵z ＝(m －2)＋(m ＋3)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋3≠0.∴m ＝2.∴z ＝5i. ∴|z |＝5. 答案：58．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，则复数z ＝m ＋n i ＝________.解析：将x ＝n 代入已知方程得n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝m ＋n i ＝3－i.答案：3－i9．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，求出各复数的模，并判断各复数对应的点在复平面内的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如下图所示．∴|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1， |z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∴在复平面内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．10．已知log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．解：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2≠1. 解得m ＝4，m ＝－1. 又∵m －2>0，∴m >2.即当m ＝4时，log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)＝i 是纯虚数．11．若复数z ＝cos 2θ＋i(1－tan θ)是纯虚数，则θ的值是( ) A ．k π＋π4(k ∈Z )B ．k π－π4(k ∈Z )C ．k π2＋π4(k ∈Z )D ．k π±π4(k ∈Z )解析：由复数z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝0，1－tan θ≠0.由cos 2θ＝0，得cos 2θ－sin 2θ＝0，即tan 2θ＝1. ∴tan θ＝±1.而1－tan θ≠0，∴tan θ＝－1. ∴θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：B12．若关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )有实根，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析：设实根为a ，则a 2＋(2＋i)a ＋2xy ＋(x －y )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0. 消去a ，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝213．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，则实数m 的值为________．解析：由M ∪P ＝P ，得M ⊆P . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2. 答案：1或214．若复数z 满足|z ＋2|＋|z －2|＝8，则|z ＋2|的最大值为________．解析：由题意知|z ＋2|＋|z －2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值．因此，当z ＝4，即复数z 对应的点是椭圆右顶点时，|z ＋2|有最大值6. 答案：615．已知集合M ＝{z ||z －1|≤1，z ∈C }，N ＝{z ||z －1－i|＝|z －2|，z ∈C }，集合P ＝M ∩N . (1)指出集合P 在复平面内所表示的图形． (2)求集合P 中复数模的最大值和最小值．解：(1)设z ＝x ＋y i ，则由|z －1|≤1，得(x －1)2＋y 2≤1. 又由|z －1－i|＝|z －2|，得(x －1)2＋(y －1)2＝(x －2)2＋y 2， 两边平方，整理得y ＝x －1.因此，集合P 是圆截直线l 所得的一条线段AB ，如下图所示．(2)圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，直线l 的方程为y ＝x －1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＝0，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22，y ＝22，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22，y ＝－22.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2＋22，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，－22. ∴|OA |＝2＋2，|OB |＝2－2，点O 到直线l 的距离为22，且过点O 向直线l 引垂线，垂足在线段BE 上．∵22<2－2， ∴集合P 中复数模的最大值为2＋2，最小值为22. 16．已知全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，且z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应点的轨迹．解：∵z ∈C ，∴|z |∈R ，∴1－|z |∈R . ∵||z |－1|＝1－|z |，∴1－|z |≥0. ∴|z |≤1.∴A ＝{z ||z |≤1}． 又B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }．∵z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A 且z ∈(∁U B )，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1，|z |≥1.∴|z |＝1. 由模的几何意义知，复数z 在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。

活页作业(十一)　导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6.答案：C2．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则13实数a 的取值范围是( )A ．B ．(43，3)(43，103)C ．D ．(－∞，3](43，3]解析：∵函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，13∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立．∵当x >1时，x 2＋2x >3，∴a ≤3.①∵函数f (x )＝x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，13∴f (1)<0，f (2)>0.∴<a <.②43103由①②得，<a ≤3.43答案：C3．已知f (x )＝Error!在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0.∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数．∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数．∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2，∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c .答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥，则p 是q 的43________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0.∴4－3m ≤0.∴m ≥.43又当m ＝时，f (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋1＝3＋在R 上单调递增，∴m ≥.∴p 是q 的4343(x ＋23)192743充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________.解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－，c ＝－6.32答案：－　－6327．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间，∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根．∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________．解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝(a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．ax (1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤恒成立，12求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋(x >0)，ax F ′(x )＝－＝(x >0)．1x ax 2x －ax 2∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的．由F ′(x )<0得x ∈(0，a )，∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)．(2)∵F ′(x )＝(0<x ≤3)，x －ax 2 ∴k ＝F ′(x 0)＝≤(0<x 0≤3)恒成立．x 0－a x 2012即a ≥max .(－12x 20＋x 0)当x 0＝1时，－x ＋x 0取得最大值，122012∴a ≥.∴a min ＝.121210．设f (x )＝－x 3＋x 2＋2ax .若f (x )在上存在单调递增区间，求a 的取值范1312(23，＋∞)围．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－2＋＋2a ，(x －12)14当x ∈时，f ′(x )的最大值为f ′＝＋2a .[23，＋∞)(23)29函数有单调递增区间，即在内，导函数大于0有解，令＋2a >0，得a >－.(23，＋∞)2919所以当a ∈时，f (x )在上存在单调递增区间．(－19，＋∞)(23，＋∞)11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<，则f (x )<＋的解集为12x 212( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－－，则g ′(x )＝f ′(x )－<0.∴g (x )在R 上是减函数．x 21212∵g (1)＝f (1)－－＝1－1＝0，1212∴g (x )＝f (x )－－<0的解集为{x |x >1}．x 212答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2.答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立，∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0.∴a ≥对x ∈[－1,2]恒成立．x 22x ＋3解得a ≥1.答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >在区间(1，＋∞)内恒成立．1＋ln xx设g (x )＝，1＋ln xx ∴g ′(x )＝－<0(x >1)．ln xx 2∴g (x )＝在区间(1，＋∞)内递减．1＋ln xx∴g (x )<g (1)．∵g (1)＝1，∴<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1.1＋ln x x答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性；(2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－＝.3x 3(x 3－1)x当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝＋3x 2＝.∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上ax 3x 3＋a x恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立．∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3.(3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号．∴ln x <x ，即x －ln x >0.∴a ≤(x ∈[1，e])．x 2－2xx －ln x 令g (x )＝(x ∈[1，e])，x 2－2xx －ln x 则g ′(x )＝.(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)，∴g (x )在[1，e]上为增函数．∴g (x )的最小值为g (1)＝－1.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]．16．设函数f (x )＝e －ax .1＋x1－x (1)试写出定义域及f ′(x )的解析式；(2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f ′(x )＝e －ax ，其中x ≠1.ax 2＋2－a(1－x )2(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >或x <－；由a －2a a －2a f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－<x <.a －2a a －2a 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在，，(1，＋∞)上单调递增，在上单(－∞，－a －2a)(a －2a，1)(－a －2a，a －2a)调递减．。