2020版高考数学(理)刷题小卷练 11定积分与微积分基本定理

考点解密 定积分与微积分基本定理考点1 定积分的计算题组一 用牛顿—莱布尼茨公式求定积分 调研1e11d x x=⎰A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】C【解析】因为()1ln x x'=，所以e e111d ln |1x x x ==⎰．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数或者利用其几何意义，属于基础题．先求出被积函数1x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 调研2 已知()21f x x =+，若()()1d f x x f a =⎰，则a 的值为A ．12-B ．2-C ．12D ．1【答案】C 【解析】因为()()1d f x x f a =⎰，所以()210|21xx a +=+，所以221a =+，解得12a =．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力．直接利用微积分基本原理化简()()1d f x x f a =⎰即得a 的值．调研3 若函数()1f x x x=+，则()e 1d f x x =⎰______________．【答案】2e 12+ 【解析】()1f x x x =+Q ，则()2e e 2e 11111e 1d d ln |22f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．【名师点睛】本题主要考查微积分基本定理求函数的定积分，意在考查对基本定理的掌握与应用，属于简单题．调研4 已知函数1(10)()πcos (0)2x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则π21()d f x x -=⎰______________．【答案】32【解析】πππ200222101113()d (1)d cos d ()|sin |1222x f x x x x x x x x ---=++=++=+=⎰⎰⎰．☆技巧点拨☆1．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； （2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； （3）分别用求导公式找到一个相应的原函数； （4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值． 2．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．题组二 用定积分的几何意义求定积分 调研5 计算333(cos )d x x x -=⎰______________．【答案】0【解析】因为3cos y x x =为奇函数， 所以333(cos )d 0x x x -=⎰．调研6 已知函数()f x 为偶函数，且6()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰______________．【答案】16【解析】因为函数()f x 为偶函数， 所以666()d 2()d 16f x x f x x -==⎰⎰．调研7．【答案】4π调研8 已知函数()(]sin ,π,00,1x x f x x ⎧∈-⎪=∈，则()1πd f x x -=⎰______________．【答案】π24-【解析】()10ππd sin d f x x x x x--=+⎰⎰⎰，0ππsin d cos |2x x x --=-=-⎰，x ⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14， 故01π,4x =⎰()1ππd 24f x x -∴=-⎰．☆技巧点拨☆1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强； （2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分x ⎰的几何意义是求单位圆面积的14，所以π=4x ⎰．2．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y =f (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则()d 0aa f x x -=⎰；（2）若偶函数y =g (x )的图象在[−a ，a ]上连续，则0()d 2()d aaag x x g x x -=⎰⎰．考点2 定积分的应用题组一 利用定积分求平面图形的面积调研1 如图，抛物线的方程为21y x =-，则图中阴影部分的面积可表示为A ．220()1d x x -⎰B ．|220()1d x x -⎰|C ．22||1d x x -⎰D ．1222011d 1)d (()xx x x -+-⎰⎰【答案】C【解析】由图形可知阴影部分的面积为1222011d 1)d (()x x x x -+-⎰⎰，而21220||(1)d 1d x x x x -=-+⎰⎰221()1d x x -⎰，故选C ．调研2 如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A ．21π- B ．2π C ．22πD ．221π-【答案】A【解析】∵π×1=πS =矩形，()ππ00sin d cos |cos πcos02x x x =-=--=⎰，π2S ∴=-阴影，∴豆子落在图中阴影部分的概率为π221ππ-=-． 故选A ．【名师点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键．分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．调研3 求由曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为A ．40(2x x -⎰ B ．0x ⎰C ．222(2)d y y y ---⎰D ．22(4)d y y --⎰【答案】C【解析】曲线y =2y x =-+及y 轴所围成的图形如下图中阴影部分所示：则阴影部分的面积可表示为4(2x x -+⎰，可知A 正确；根据对称性可知2402(2)d (2)d x x x x -=-⎰⎰，所以阴影部分的面积可表示为4[0(x x -=⎰⎰，可知B 正确；同理，根据对称性可知，阴影部分的面积可表示为022(4)d y y --⎰，可知D 正确；故选C ．调研4 若从区间[0,2]内随机取两个数，则这两个数之积大于2的概率为______________．【答案】1ln22- 【解析】设这两个数为,x y ，则,[0,2]x y ∈，且2xy >， 令2xy =，则2y x=，则可作出如下图所示图象，要使2xy >，则(,)x y 必须在曲线2y x=的上方， 则阴影部分的面积为221142ln 2(22ln1)222(2)d (222)ln ln x x x x =---=--=-⎰，则所求概率22ln 21ln 2222P --=⨯=．☆技巧点拨☆利用定积分求平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考查方向，多以选择题、填空题的形式考查．难度一般不大，属中低档题型．常见的题型及其解法如下： 1．利用定积分求平面图形面积的步骤 ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．注意：当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值． 3．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算．题组二 定积分的物理意义调研5 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A【解析】由图可知，曲线v 甲，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积大于曲线v 乙，直线0t t =和t 轴所围成图形的面积，则在t 0时刻，甲车在乙车前面，故C 错误； 同理，在t 1时刻，甲车在乙车前面，故A 正确，D 错误；t 1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可知某时刻乙车会超过甲车，故B 错误． 故选A ．调研6 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m )作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )作的功为ABCD ．【答案】C【解析】由于()F x 与位移方向成30︒角，如图：F 在位移方向上的分力cos30F F ︒='⋅，所以()()22223211115cos30d 5d 5|2233W x x x x x x ︒⎫=-⋅=-=-=⎪⎝⎭⎰⎰ 故选C ．【名师点睛】本题体现了数形结合的思想方法．由物理学知识知，变力()F x 所作的功对应“位移—力”，只要求()2215cos30d W x x ︒=-⋅⎰，进而计算可得答案．☆技巧点拨☆利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．1．（九师联盟2020届高三上学期10月质量检测）计算213(1)d x x+⎰的值为 A ．ln21+ B ．2ln 21+ C ．3ln23+D ．3ln 21+【答案】D【分析】直接利用微积分基本原理计算求值得解． 【解析】213(1)d x x+⎰21(3ln )(3ln 22)(3ln11)3ln 21x x =+=+-+=+， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．2．（重庆市第一中学2019-2020学年高三上学期摸底考试）若函数()f x 在R 上可导，32()3f x x x =-，则2()d f x x =⎰A ．2B ．4C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】22232430001()d (3)d ()4844f x x x x x x x =-=-=-=-⎰⎰，故选D ．3．（重庆市南开中学2019-2020学年高三上学期第二次教学质量检测）e11(1)d x x-⎰的值为A ．e 2-B ．eC ．e 1+D ．e 1-【答案】A 【解析】ee e e 1e111111(1)d 1d d ln e 110e 2x x x x x x x -=-=-=--+=-⎰⎰⎰， 故选A ．4．（福建省华安一中、龙海二中2019-2020学年高三上学期第一次联考）已知12(1)d a xx =-⎰，2log 3b =，cos6c π=，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】由题可得12(1)d a x x =-=⎰（13x 3﹣x ）101|3=-1203=-<， b ＝log 23>log 22=1，cos 6c π=(0,1)=， 所以a ＜c ＜b ， 故选C ．5．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考）若ln 2a =，125b -=，201cos d 2c x x π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【分析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性可得1ln 2ln 2a =>=，再由以12y x -=的单调性可得11221542b --=<=，比较即可得解．【解析】由题可得201cos d 2c x x π==⎰1sin 2x |20π11(sin sin 0)222π=-=，又11221542b --=<=，1ln 22a =>=，所以b c a <<， 故选D ．【名师点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题．6．（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是 A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】A【分析】由定积分可以求出b ，2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上的单调递减可转化为()0g'x ≤在[1,)+∞上恒成立，由此即可求解．【解析】由题意可得6601cos d sin 2|b x x x ππ===⎰， 所以2()2ln g x x x kx =--，因为2()2ln g x x x kx =--在[1,)+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[1,)+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[1,)+∞上恒成立，只需14(1)0h -≤⎪⎨⎪≤⎩即可，解得0k ≥，所以实数k 的取值范围是[0,)+∞．故选A ．【名师点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题．7．（湖北省百校大联盟高三上学期10月联考）4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为 A ．16 BC ．13D ．23【答案】C【分析】先计算图象交点，再利用定积分计算面积． 【解析】如图所示：由2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩，根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为13123200211)d ()333x x x x =-=⎰，故选C ．8．（安徽省合肥一中2019-2020学年9月高三阶段性检测）(sin x x -π=⎰A ．34πB ．324π+C ．24-D ．2【答案】C【解析】由题可得000(sin sin d x x x x x -π-π=+⎰⎰⎰，易得sin d x x -π⎰()0cos |2x -π=-=-，x ⎰是半径为π的圆的面积的四分之一，为34π，所以0(sin x x -π=⎰324π-，故选C ．9．（安徽省蚌埠市2019-2020学年高三上学期9月第一次教学质量检查）定积分232sin )d x x x-+⎰的值是 A ．π B ．2π C ．2π+2cos2D ．π+2cos2【答案】B【分析】根据定积分的性质，将定积分232sin )d x x x -+⎰可以展开为2x -+⎰22322(sin )d d x x x x ---+⎰⎰，利用定积分的运算，分别求出定积分值．【解析】由题可得222233222sin )d (sin )d d x x x x x x x x ----+=+-+⎰⎰⎰⎰，易得2x -⎰表示以()0,0为圆心，2为半径12圆的面积，所以21422x -=⨯π=π⎰，易得sin y x =-与3y x =都是奇函数，所以22322(sin )d d 000x x x x ---+=+=⎰⎰，所以232sin )d 2x x x -+=π⎰．故选B ．【名师点睛】本题考查定积分的性质，学生应熟练掌握定积分的运算法则和几何意义，属于中档题．10．（安徽省全国示范高中名校2019-2020学年高三上学期9月月考）由曲线22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为______________． 【答案】16【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积．【解析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)， 如图：结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)d ()326x x x x x x -+-=-+=⎰．11．（2019年河北唐山市区县高三上学期第一次段考）若211(2)d 3ln 2mx x x+=+⎰，则实数m 的值为______________． 【答案】1【分析】先找出12mx x +的原函数，然后根据定积分运算法则，两边进行计算即可求出实数m 的值． 【解析】由于22112(ln )1(|(ln 24)(ln1)ln 32)d 2mx x xx mx m m m =+=+-+=++⎰，所以3ln 23ln 2m +=+，解得1m =．12．（安徽省皖南八校2019-2020学年高三上学期第一次联考）若1214()d 3a x x --=⎰，则a =______________．【答案】1【分析】根据定积分的运算，得到1231111()d ()|3a x x ax x ---=-⎰，代入即可求解． 【解析】由1231111114()d ()|()()3333a x x ax x a a ---=-=---+=⎰，解得1a =．【名师点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．（湖南省师大附中2019-2020学年高三上学期10月月考）定积分x =⎰______________．【答案】4π【解析】令0)y y =≥，则（x -1）2+y 2＝1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其面积为π，所以0x ⎰表示半径为1的四分之一圆的面积，如下图所示，所以x =⎰4π．【名师点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础题． 14．（2019年河北省石家庄市二模）已知230d x x n =⎰，则(1)n x y ++展开式中2x y 的系数为______________．【答案】12【分析】由题意求定积分得到n 的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中2x y的系数． 【解析】因为23d x x ⎰24044x n ===，则4( 1)(1)n x y x y ++=++，它表示4个因式(1)x y ++的乘积，故其中有2个因式取x ，一个因式取y ，剩下的一个因式取1，可得2x y 的项． 故展开式中2x y 的系数211421C C C 12⋅⋅=．【名师点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．15．（河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期二调）如图，阴影部分是由曲线22y x =和2x +23y =及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______________．【答案】28π-【分析】首先求出曲线的交点，然后求直线y =与22y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果．【解析】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为3(,)22A ， 则直线OA的方程为y =，如图，则2231232d (2)2324838S x x x x =-=-=⨯-⨯=， 又扇形AOB 圆心角为3απ=， 则扇形AOB 的面积221132232S r αππ==⨯⨯=，所以阴影部分的面积2128S S S π=-=-． 【名师点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题．16．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）如图，曲线2y x =与2y x =-的图象所围成的阴影部分面积为______________．【答案】92【分析】由于2y x =不是函数，不方便直接用定积分求面积，可先将整个图像关于y x =作对称变换得到2y x =与2y x =+，再根据定积分的方法求解即可．【解析】将曲线2y x =与2y x =-作关于y x =的对称图象，得到2y x =与2y x =+，求出2y x =与2y x =+交点坐标分别为(1,1)-与(2,4)，故所求面积表达式为221(2)x x dx -+-⎰，易得原函数23()223x x F x x =+-，故所求面积为232322(1)(1)9(2)(1)(22)(2(1))23232F F ----=+⨯--+⨯--=，即阴影部分面积为92．【名师点睛】对于不方便直接用定积分求面积的问题，可以找寻与之面积相等的图像进行求解．本题中的抛物线焦点在x 轴上不易求解，故转换到y 轴上．1．【2014年高考山东卷理数】直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A ．22B ．24C ．2D ．4【答案】D【解析】由已知得，23242001(4)d (2)|44S x x x x x =-=-=⎰， 故选D ．2．【2014年高考湖北卷理数】若函数()f x 、()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰，则称()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数： ①1()sin2f x x =，1()cos 2g x x =； ②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =，2()g x x =．其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①：1111111111(sin cos )d (sin )d (cos )|02222x x x x x x ---⋅==-=⎰⎰，则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数；对于②：1123111114(1)(1)d (1)d ()|33x x x x x x x ---+-=-=-=-⎰⎰， 则()f x 、()g x 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对于③：1341111d |04x x x --==⎰，则()f x 、()g x 为区间]1,1[-上的正交函数． 所以满足条件的正交函数有2组， 故选C ．3．【2015年高考湖南卷理数】2(1)d x x -=⎰______________．【答案】0 【解析】2220011(1)d ()|42022x x x x -=-=⨯-=⎰． 4．【2015年高考天津卷理数】曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为______________．【答案】16【解析】由题意可得封闭图形的面积为122310011111()d ()|23236x x x x x -=-=-=⎰． 5．【2015年高考山东卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为______________．【答案】116【解析】开始n =1，T =1，因为1<3，所以11212001131d 1|11222T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =1+1=2； 因为2<3，所以13130023313111d |1223236T x x x =+=+=+⨯=⎰，n =2+1=3．因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为116．6．【2015年高考福建卷理数】如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______________．【答案】512【解析】依题意知点D 的坐标为(1，4)，所以矩形ABCD 的面积S =1×4=4， 阴影部分的面积S 阴影=3222111754d 44333| x x x =-=--=⎰， 根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P =553412S S ==阴影． 7．【2015年高考陕西卷理数】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______________．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=， 设抛物线的方程为22x py =(0p >)，因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =， 所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()53235355222240(2)d (2)(255)[255]257575753x x x x ---=-=⨯-⨯-⨯--⨯-=⎰， 故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案为1.2．。

定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<c)C ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：—(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪x4402＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )`A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.&∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x 的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ))[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )B ．1C ．4[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76 [答案] A~[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3dx ＝⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C（[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323. 4－x2dx ＝( )《A ．4πB ．2πC ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面|B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区】6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________. —[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， -即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12—C ．1或－12D ．－1或－12 [答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，,∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。

第十二节 定积分与微积分基本定理☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x 。

2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式。

3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )。

4．定积分的几何意义 如图：设阴影部分面积为S 。

(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x 。

5．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛ab f(x)d x ＝F (b )－F (a )。

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x ax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax bn ax be a e ++=⋅ (3)()()ln n xx n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dxμμμ-= ⑶()sin cos d x xdx=⑷()cos sin d x xdx=- ⑸()2tan sec d x xdx= ⑹()2cot csc d x xdx=-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx=-⋅⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx= ⑾()1ln d x dx x =⑿()1log ln xa d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+六、微分运算法则 ⑴()d u v du dv±=± ⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a =+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰⑾arcsin x c=+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsinxc a=+ln x c=+十、分部积分法公式 ⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx = 形如sin nxxdx⎰令nu x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln nxxdx⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx⎰，cos ax e xdx⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

1.5~1.6 定积分的概念、微积分基本定理重点练一、单选题1．)10x dx =⎰（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 2．已知函数()e3211(1)2f x x dx x f x x'=⋅--⎰，则()()11f f '+=（ ） A ．－1B ．1C ．－2D ．23．已知311tan 4e dx x πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎰，则2sin cos cos sin αααα+=-（ ） A ．4-B ．4C ．5D ．5-4．已知()()ln xxf x e e -=+，201sin 2a xdx π=⎰， 1.112b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3c =，则下列选项中正确的是（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f a f c f b >> C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>二、填空题5．011edx x-+=⎰⎰______________.6．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.三、解答题7．计算下列各式的值．（1）()0sin cos d x x x π-⎰；（2）1x⎰．参考答案1．【答案】D【解析】由定积分的运算法则，可得)111()x dx dx x dx =+-⎰⎰⎰，又由1dx ⎰相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，如图所示，可得104dx π=⎰， 又因为021011()1()|22x d x x --=-=⎰，所以)1110001()42x dx dx x dx π=+-=-⎰⎰⎰. 故选D.2．【答案】A【解析】因为e111ln |1edx x x ==⎰，所以()()3212f x x x f x '=--，所以()()232'12f x x xf '=--，令1x =，得()()13212f f ''=--，解得1(1)3f '=，所以321()23f x x x x =--，14(1)1233f =--=-， ()()1411133f f ⎛⎫'+=+-=- ⎪⎝⎭，故选A ． 3．【答案】D【解析】由()()()331311ln ln ln13e e dx x C e C C x ⎰=+=+-+=，则tan 1tan 341tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，则tan 2α=，由2sin cos 2tan 15cos sin 1tan αααααα++==---故选D. 4．【答案】C【解析】()()ln xxf x e e-=+，x ∈R ，则()()()ln xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为R 上的偶函数，并且()x xx xe ef x e e---'=+，则[)0,x ∈+∞时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，“=”成立， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，在(],0x ∈-∞上单调递减，()220111sin cos 222a xdx x ππ==-=⎰1.111110222b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221log log 332c ==-， 又()22111log 3log 3222f c f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()f c f a f b >>.故选C 5．【答案】21π+【解析】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2-⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2-⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x⎰2-+⎰＝12π+.故填21π+. 6．【答案】13【解析】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为31120021(1()|33S dx x x ==-=⎰， 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113p ==⨯． 故填137．【答案】（1） 2；（2） π【解析】（1）由题得()0sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos 0sin 0)x x x x x ππππ-=--=-----⎰=10102-++=；（2）令22(1)4(13,0)y x y x y =∴-+=≤≤≥，因为1x ⎰等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为212=4ππ⨯⨯，所以1x π=⎰.。

2020版考前小题练 高考数学理科（全国通用）总复习文档：12＋4满分练十一一、选择题1.与复数z 的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z 的共轭复数，并记作，若z=i(3－z 2i)(其中i 为虚数单位)，则等于( )z A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i2.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q ：∀x∈，tan x>sin x ，则下列命题为(0，π2)真命题的是( )A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.p∧(q)3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a=3e 1－e 2， b=2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为( )A.120°B.60°C.45°D.30°4.已知双曲线过点(2，3)，其中一条渐近线方程为y=x ，则双曲线的标准方程是( )3A.－=1 B.－=1 C.x 2－=1 D.－=17x216y212y23x22y233y223x2235.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更n 2准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A.5B.16C.5或32D.4或5或326.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.131233327.定义为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知正整数数列{a n }前n 项n p1＋p2＋…＋pn的“均倒数”为，b n =，则＋＋…＋等于( )12n ＋1an ＋141b1b21b2b31b10b11A. B. C. D.111112101111128.设不等式组Error!所表示的平面区域为M ，函数y=的图象与x 轴所围成的区域为N ，1－x2向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A. B. C. D.2ππ4π8π169.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10＋2的△ABC 满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶，14[c2a2－(c2＋a2－b22)2]77则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( )A.6B.4C.8D.1237710.将函数f(x)=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象.若(0＜φ＜π2)对满足|f(x 1)－g(x 2)|=2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min =，则φ等于( )π3A. B. C. D.5π12π3π4π611.若,则9的展开式中 x 3项的系数为( )(ax ＋12ax)A.－ B.－ C. D.212638638631612.设函数g(x)=e x ＋3x －a(a∈R，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)=x 2，且当x ＜0时， f′(x)＜x ，若∃x 0∈{x|f(x)＋2≥f ＋2x}，使得(2－x )g(g(x 0))=x 0，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.(－∞，e ＋12](－∞，e ＋2](－∞，e ＋12](－∞，e ＋2]二、填空题13.已知抛物线C ：x 2=2py(p>0)， P ，Q 是C 上任意两点，点M 满足·≥0，则p 的(0，－1)MP → MQ → 取值范围是________.14.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B=sin 2C －sin Asin B ，则sin 2A·tan 2B 的最大值是_____.215.若x ，y 满足约束条件Error!等差数列满足a 1=x ， a 5=y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的{an }最大值为________.16.在下列命题中：①函数f(x)=在定义域内为单调递减函数；1x ②函数f(x)=x ＋(x>0)的最小值为2；a xa ③已知定义在R 上周期为4的函数f(x)满足f(2－x)=f(2＋x)，则f(x)一定为偶函数；④已知函数f(x)=ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)，则a ＋b ＋c=0是f(x)有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f(x)=x －sin x ，若a ＋b>0，则f(a)＋f(b)>0.其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号)答案解析1.答案为：D ；解析：复数z=i =3i －2i 2=3i ＋2，∴=2－3i ，故选D.(3－2i )z 2.答案为：C;解析：根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x∈，且tan x=，0<cos x<1，∴tan x>sin x ，∴q 为真命题，故选C.(0，π2)sin x cos x 3.答案为：C;解析：∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量，∴=1，e 1·e 2=0，|e1|＝|e2|∴===，|a |(3e1－e2)29|e1|2－6e1·e2＋|e2|210===，|b |(2e1＋e2)24|e1|2＋4e1·e2＋|e2|25a·b=·=62－2=5，设a 与b 的夹角为θ，(3e1－e2)(2e1＋e2)|e1||e2|则cos θ===，∵θ∈，∴θ=45°，故选C.a·b |a ||b |510×522[0°，180°]4.答案为：C;解析：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=±x ，则可以设其方程为－x 2=λ3y23(λ≠0)，又由其过点，得－22=λ，解得λ=－1，则双曲线的标准方程为x 2－=1，故选(2，3)323y23C.5.答案为：C;解析：当n=5时，执行程序框图，i=1，n=16，i=2，n=8，i=3，n=4，i=4，n=2，i=5，n=1，i=6，结束循环，输出i=6；当n=32时，执行程序框图，i=1，n=16，i=2，n=8，i=3，n=4，i=4，n=2，i=5，n=1，i=6，结束循环，输出i=6.易知当n=4时，不符合，故n=5或n=32，故选C.6.答案为：C;解析：如图，设AC∩BD=O，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO∥SA，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角.设SA=AB=2a ，则OE=SA=a ，BE=SA=a ，OB=SA=a ，12323222所以△EOB 为直角三角形，所以cos∠BEO===，故选C.OE BE a 3a 337.答案为：C;解析：由题意得{a n }的前n 项和S n =×n=2n 2＋n ，∴a n =4n －1，∴b n =n ，n∈N *，112n ＋1∴==－，∴＋＋…＋=＋＋…＋=1bnbn ＋11n (n ＋1)1n 1n ＋11b1b21b2b31b10b11(1－12)(12－13)(110－111)，故选C.10118.答案为：B;解析：区域M 表示的是底为2，高为的三角形，面积为×2×=2，区域N 表示的221222是以原点为圆心，半径为1的半圆(在x 轴上方)，面积为π×12=，由几何概型计算公12π2式，得点落在N 内的概率为P==，故选B.π22π49.答案为：A;解析：因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶，所以由正弦定理得a∶b∶c=2∶3∶，77又△ABC 的周长为10＋2，所以可得a=4，b=6，c=2，77所以△ABC 的面积为S===6.14×[c2a2－(c2＋a2－b22)2]14×[(27)2×42－((27)2＋42－622)2]310.答案为：D;解析：由已知得g(x)=sin(2x －2φ)，满足|f(x 1)－g(x 2)|=2，不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min =，令2x 1=，2x 2－2φ=－，此时|x 1π3π2π2－x 2|==.|π2－φ|π3又0＜φ＜，故φ=，故选D.π2π611.答案为：A;12.答案为：B;解析：设F(x)=f(x)－，则F′(x)=f′(x)－x ＜0，x22故函数F(x)=f(x)－是上的单调递减函数，又由f(－x)＋f(x)=x 2可知，x22(－∞，0)F(－x)＋F(x)=f(－x)＋f(x)－2×=0，则函数F(x)=f(x)－是奇函数，x22x22所以函数F(x)=f(x)－是上的单调递减函数；x22(－∞，＋∞)由题设中f(x)＋2≥f ＋2x 可得F(x)≥F ⇒x≤1，(2－x )(2－x )所以问题转化为x=e x ＋3x －a 在上有解，即a=e x ＋2x 在上有解，(－∞，1](－∞，1]令g(x)=e x ＋2x ，则g′(x)=e x ＋2>0，故g(x)=e x ＋2x 在上单调递增，(－∞，1]则g(x)≤g(1)=e＋2，故选B.一、填空题13.答案为：(0，2];解析：当直线MQ ，MP 与抛物线相切时，两向量夹角最大，设直线MQ 的斜率为k ，则当k≥1 时，恒有·≥0成立，直线MQ 的方程为y=kx －1，MP → MQ → 与x 2=2py 联立，得 x 2－2pkx ＋2p=0，由Δ=0 ，得 k 2=≥1，可得p≤2，2p所以p 的取值范围是(0，2].14.答案为：3－2;2解析：由正弦定理，得a 2＋b 2=c 2－ab ，由余弦定理，得cos C==－，2a2＋b2－c22ab22∵0＜C ＜π，∴C=，A=－B ，2A=－2B ， 3π4π4π2∴sin 2A·tan 2B=cos 2B·=sin2B cos2B (2cos2B －1)(1－cos2B )cos2B=3－≤3－2=3－2，当且仅当cos 2B=时取等号，(2cos2B ＋1cos2B)2cos2B·1cos2B 222即sin 2A·tan 2B 的最大值是3－2.215.答案为：;334解析：由约束条件Error!作出可行域如图，联立Error!解得B ，因为a 1=x ，a 5=y ，所以公差d=，(2，3)y －x 4a 3＋a 4＋a 5=S 5－S 2=3a 4=3=3×=，设z=＋，(a5－d )(y －y －x 4)3(3y ＋x )49y 43x 4当直线过点B 时，有最大值，即S 5－S 2 的最大值为.(2，3)33433416.答案为：③⑤;解析：①错，因为函数f(x)=在定义域内不具有单调性；1x当a>0时，函数f(x)=x ＋(x>0)的最小值为2，a xa 当a≤0时，函数f(x)=x ＋(x>0)无最小值，故②错；a x由周期为4及f(2－x)=f(2＋x)⇒f(4－x)=f(－x)=f(x)，③正确；函数f(x)=ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)有极值，则f′(x)=0有不相等的实数根，则b 2>3ac ，故④不正确；函数f(x)=x －sin x 是奇函数且在R 上单调递增，所以a ＋b>0⇒a>－b ⇒f(a)>f(－b)=－f(b)⇒f(a)＋f(b)>0，故⑤正确.故正确命题的序号为③⑤.。

课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练第33页一、选择题1.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于( )A. B. C. D.答案:A解析:由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=.2.设a=d x,b=1-d x,c=x3d x,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案:A解析:由题意可得a=d x=;b=1-d x=1-=1-;c=x3d x=,综上知a>b>c,故选A.3.设f(x)=f(x)d x的值是( )A.x2d xB.2x d xC.x2d x+2x d xD.2x d x+x2d x答案:D解析:由分段函数的定义及积分运算的性质知,f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2x d x+x2d x.4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.答案:A解析:s=(t2-t+2)d t=.5.如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.D.e2-2e+1答案:B解析:面积S=f(x)d x=(e x-e)d x=(e x-e x)=(e2-2e)-(e1-e)=e2-2e.6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分所示),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,故选D.二、填空题7.d x=.答案:π解析:设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x=×4π=π.8.(2013湖南高考)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:3解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=d x(n∈N*),则S100=.答案:ln101解析:由题意知a n=ln x=ln(n+1)-ln n,故S100=a1+a2+…+a100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=-ln1+ln101=ln101.三、解答题10.求由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积.解:在平面直角坐标系内,画出曲线y=x2+2x和直线y=x围成的封闭图形,如图所示,由得曲线与直线的两个交点的坐标分别为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为S=[x-(x2+2x)]d x==-.11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.因为f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2,所以即解得所以f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],当x=0时,f(x)取得最小值-4;当x=1或x=-1,f(x)取得最大值2.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影部分所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1),得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).由定积分的几何意义知:S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]d x+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]d x =-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

1 刷题增分练 10 导数在函数中的综合应用 刷题增分练⑩ 小题基础练提分快 一、选择题 1．[2019·山东陵县月考]已知函数f(x)＝x2ex，当x＝[－1,1]时，不等式f(x)

A.1e，＋∞ B.1e，＋∞ C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 答案：D

解析：由f′(x)＝ex(2x＋x2)＝x(x＋2)ex，得当－1

函数f(x)单调递减，当00，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max

＝f(1)＝e，则m>e.故选D.

2．函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则a的取值范围是( ) A.2e2，1e B.2e2，1e

C.2e2，1e D.1e2，2e 答案：A 解析：令f(x)＝lnx＋ax＝0，x∈[e－2，＋∞)，得－a＝xlnx.记H(x)

＝xlnx，x∈[e－2，＋∞)，则H′(x)＝1＋lnx，由此可知H(x)在[e－2，e－1]上单调递减，在(e－1，＋∞)上单调递增，且H(e－2)＝－2e－2

，H(e

－1)＝－e－1，当x→＋∞时，H(x)→＋∞，故当2e2≤a<1e时，f(x)在[e－2

，

＋∞)上有两个零点，选A. 3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是( )

答案：A 解析：根据f′(x)的图象知，函数y＝f(x)的极小值点是x＝－2，极大值点为x＝0，结合单调性知，选A. 2

4．[2019·河南息县中学段测]函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( ) A．20 B．18 C．3 D．0 答案：A 解析：对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于在区间(－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t.