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《高中数学经典高考难题集锦》一、集合问题1. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，求集合A的元素。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值。
然后，将这些值组成集合A。
2. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∩B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出同时属于集合A和集合B的元素，即求出集合A∩B。
3. 已知集合A={x|x^25x+6=0}，集合B={x|x^24x+3=0}，求集合A∪B。
解答思路：我们需要解方程x^25x+6=0和x^24x+3=0，找出满足条件的x的值。
然后，找出属于集合A或集合B的元素，即求出集合A∪B。
二、函数问题1. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的零点。
解答思路：函数的零点即函数图像与x轴的交点，也就是使函数值为0的x的值。
因此，我们需要解方程x^25x+6=0，找出满足条件的x的值，这些值即为函数f(x)的零点。
2. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的单调区间。
解答思路：函数的单调性是指函数在其定义域内是否单调递增或单调递减。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)，然后判断f'(x)的符号来确定函数的单调性。
当f'(x)>0时，函数单调递增；当f'(x)<0时，函数单调递减。
3. 已知函数f(x)=x^25x+6，求函数f(x)的极值。
解答思路：函数的极值是指函数在其定义域内的最大值或最小值。
我们可以通过求函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)，然后判断f'(x)和f''(x)的符号来确定函数的极值。
当f'(x)=0且f''(x)>0时，函数在该点取得极小值；当f'(x)=0且f''(x)<0时，函数在该点取得极大值。
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2 2B ．2C ．4D ．4 24．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．67．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2＋2x ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2a －b的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－4，2)9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．610．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________．13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)．14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0. (1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x的值．难点突破16．(12分)如图K36－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上．(1)设AD＝x(x≥1)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予以证明．图K36－1课时作业(三十六)【基础热身】1．A [解析] ∵x <0，∴－x >0，∴y ＝x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2.故选A. 2．A [解析] M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，当a >0时，M ≥4，当a <0时， M ≤－4.3．C [解析] 1x ＋13y ＝x ＋3y x ＋x ＋3y 3y ＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ·x 3y ＝4.当且仅当3yx＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时等号成立，故选C. 4．B [解析] 因为a >0，b >0，所以a ＋2b ≥22ab ，则ab ＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≥22，即ab ≥8.故选B.【能力提升】5．D [解析] 依题意，得a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，于是（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2xy ＝x 2＋y 2＋2xyxy≥2xy ＋2xy xy＝4.故选D.6．D [解析] 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y＝232x ＋y＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y的最小值是6，选D.7．D [解析] 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0，所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.故选D.8．D [解析] 因为x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＝x y ，2x ＋1y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时等号成立，由此可得(x ＋2y )min ＝8.依题意，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故选D.9．C [解析] 由x >0，y >0，x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，则3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立． 10．4 [解析] 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2（x ＋1）（2y ＋1）＝6，∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.11．18 [解析] 由已知等式，运用基本不等式，可得xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，整理得(xy )2－22xy －6≥0，解得xy ≤－2(舍去)或xy ≥32，所以xy ≥18，即xy 的最小值为18.12．－4 [解析] 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.13．8 [解析] 依题意，设全部货车从A 市到B 市的时间为t ，则t ＝400v＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2400v ·16v400＝216＝8.故填8. 14．解：(1)由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0， 得(x 2＋y 2＋5)(x 2＋y 2－4)≤0，因为x 2＋y 2＋5＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4， 故x 2＋y 2的取值范围为[0，4]．(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2. 15．解：(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2yx＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号．(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. 【难点突破】16．解：(1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x ·AE .① 又S △ADE ＝12S △ABC ⇒32＝12x ·AE ·sin60°⇒x ·AE ＝2.②将②代入①得y 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2(y ＞0)， ∴y ＝x 2＋4x2－2(1≤x ≤2)．(2)如果DE 是水管，y ＝x 2＋4x2－2≥2·2－2＝2，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时“＝”号成立，故DE ∥BC ，且DE ＝ 2.如果DE 是参观线路，记f (x )＝x 2＋4x2，可知函数f (x )在[1，2]上单调递减，在[2，2]上单调递增， 故f (x )max ＝f (1)＝f (2)＝5，∴y max ＝5－2＝ 3. 即DE 为AB 边中线或AC 边中线时，DE 最长．。
高中数学试讲常考的题目有很多，以下是一些常见的题目：1. 求函数y=sinx+cosx的取值范围。
2. 求函数y=sinxcosx的最值。
3. 求函数y=log(sinx)的最大值和最小值。
4. 求函数y=x^2+2x+3的最小值。
5. 求函数y=x^3+3x^2+5x+2的单调区间。
6. 求函数y=log(1-x)(x^2-4)的单调区间。
7. 求函数y=sin(wx+φ)+cos(wx+φ)的最小正周期。
8. 求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切的条件。
9. 求不等式ax^2+bx+c<0的解集。
10. 求不等式x^3-3x<0的解集。
除了以上题目，以下是一些其他常考的题目：1. 求函数y=x^3-3x^2+1的单调区间。
2. 求函数y=cos(x^2)的最大值和最小值。
3. 求函数y=log(1+x)的最大值和单调区间。
4. 求函数y=x^4-4x^3+3的最小值和最大值。
5. 求直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相交的条件。
6. 求函数f(x)=sin(wx+φ)+1的单调区间和对称轴。
7. 求方程sin(mx+n)=0的根的情况（如有几个实根、是否有正根）。
8. 求解不等式$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0>0$的解集。
9. 求圆$x^{2}+y^{2}=r^{2}$与圆$x^{2}+y^{2}=4$的位置关系（内切、外切、相交）。
以上题目只是高中数学试讲中常见的一些题目，具体情况还需要根据学生的实际情况和教学目标来选择合适的题目进行讲解。
此外，也可以根据需要自行设计一些具有启发性和探究性的题目，以激发学生的学习兴趣和思维能力。
第1页共11页2023年高考数学一轮总复习第36讲：直线的交点坐标与距离公式【教材回扣】1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l 1，l 2，斜率分别为k 1，k 2平行________k 1与k 2都不存在垂直________k 1与k 2一个为零，另一个不存在2.两条直线的交点3．三种距离三种距离条件公式两点间的距离A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)|AB |＝____________点到直线的距离P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d d ＝______________两平行线间的距离直线Ax ＋By ＋C 1＝0到直线Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d d ＝________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．当直线l 1和l 2斜率都存在时，则k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.()2．如果两条直线l 1和l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()3．点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.()4．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.()题组二教材改编1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为()A ．3x ＋4y －5＝0B ．3x ＋4y ＋5＝0C ．3x －4y ＋5＝0D ．3x －4y －5＝02．经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y －7＝0的。
高考数学解答题精华1. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
答案：最小值为 1。
2. 设\( \triangle ABC \) 是直角三角形，\( \cos A = \frac{1}{3} \)，求 \( \sin A \) 的值。
答案：\( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)。
3. 求解方程组：\( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases} \)。
答案：\( x = 3, y = 2 \)。
4. 已知 \( \tan \theta = 3 \)，求 \( \sin \theta \) 和\( \cos \theta \) 的值。
答案：\( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{3}{\sqrt{1 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)，\( \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \)。
5. 已知 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，求 \( \cos \alpha \) 的值。
答案：\( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5} \)。
6. 求函数 \( g(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) 在 \( [1, 2] \) 上的最大值和最小值。
目录目录 (1)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法 (2)第2关：参数范围问题—常见解题6法 (6)第3关：数列求和问题—解题策略8法 (9)第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 (13)第5关：三角函数最值问题—解题9法 (19)第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 (24)第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 (37)第8关：均值不等式问题—拼凑8法 (43)第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 (49)第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 (55)第11关：排列组合应用问题—解题21法 (59)第12关：几何概型问题—5类重要题型 (66)第13关：直线中的对称问题—4类对称题型 (69)第14关：利用导数证明不等式问题—4大解题技巧 (71)第15关：函数中易混问题—11对 (76)第16关：三项展开式问题—破解“四法” (82)第17关：由递推关系求数列通项问题—“不动点”法 (83)第18关：类比推理问题—高考命题新亮点 (87)第19关：函数定义域问题—知识大盘点 (93)第20关：求函数值域问题—7类题型16种方法 (100)第21关：求函数解析式问题—7种求法 (121)第22关：解答立体几何问题—5大数学思想方法 (124)第23关：数列通项公式—常见9种求法 (129)第24关：导数应用问题—9种错解剖析 (141)第25关：三角函数与平面向量综合问题—6种类型 (144)第26关：概率题错解分类剖析—7大类型 (150)第27关：抽象函数问题—分类解析 (153)第28关：三次函数专题—全解全析 (157)第29关：二次函数在闭区间上的最值问题—大盘点 (169)第30关：解析几何与向量综合问题—知识点大扫描 (178)第31关：平面向量与三角形四心知识的交汇 (179)第32关：数学解题的“灵魂变奏曲”—转化思想 (183)第33关：函数零点问题—求解策略 (194)第34关：求离心率取值范围—常见6法 (199)第35关：高考数学选择题—解题策略 (202)第36关：高考数学填空题—解题策略 (211)第1关：极值点偏移问题--对数不等式法我们熟知平均值不等式：即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式，以下简单给出证明：不妨设，设，则原不等式变为：以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是A. B. C. D.有极小值点，且【答案】C【解析】函数导函数：有极值点，而极值，，A正确.有两个零点：，，即：①②①-②得：根据对数平均值不等式：，而，B正确，C错误而①+②得：，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，，，则，①②①-②得：，化简得：③而根据对数平均值不等式：③等式代换到上述不等式④根据：（由③得出）∴④式变为：∵，∴，∴在函数单减区间中，即：题目3：(2010天津理)已知函数.如果，且.证明：.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设，则，，两边取对数①②①-②得：根据对数平均值不等式题目4：（2014江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.证明：（为函数的导函数）.【解析】根据题意：，移项取对数得：①②①-②得：，即：根据对数平均值不等式：，①+②得：根据均值不等式：∵函数在单调递减∴题目5：已知函数与直线交于两点. 求证：【解析】由，，可得：①，②①-②得：③①+②得：④根据对数平均值不等式利用③④式可得：由题于与交于不同两点，易得出则∴上式简化为:∴第2关：参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
