经典全等三角形复习题(重点备用,知识点归纳)3

1. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,111749AD是整数,求AD解：延伸AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：AD B C延伸CD与P,使D为CP中点.衔接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF衔接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF.∵∠ABC=∠AED.∴∠ABE=∠AEB.∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等.∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2). 4. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延伸线于点GCG∥EF,可得,∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG∠CGD ＝∠EFD 又,EF∥AB∴,∠EFD ＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC ＝CG 又 EF ＝CG∴EF＝AC5. 已知：AD 等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠CB ACDF21 E A证实：延伸AB取点E,使AE＝AC,衔接DE∵AD等分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE证实：在AE上取F,使EF＝EB,衔接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE ＝CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC 等分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS ）∴AD＝AF∴AE＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解：延伸AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=28. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：AD B C∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=29.已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF和EF.∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF.∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边).∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF.衔接BE.在三角形BEF中,BF=EF.∴∠EBF=∠BEF.又∵∠ABC=∠AED.∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等.∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).10. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延伸线于点GCG∥EF,可得,∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD≌△CGDEF ＝CG∠CGD ＝∠EFD 又EF∥AB∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形,AC ＝CG 又 EF ＝CG∴EF＝AC11. 已知：AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证实：延伸AB 取点E,使AE ＝AC,衔接DE∵AD 等分∠BACB ACDF21 ECD B A∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C12.已知：AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE在AE上取F,使EF＝EB,衔接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CF E＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC等分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在BC上截取BF=AB,衔接EF∵BE等分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE 等分∠BCDCE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS ）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：∠F=∠CAB‖ED,得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,∵∠EAB=∠BDE,∴∠AED=∠ABD,∴四边形ABDE 是平行四边形.∴得：AE=BD,∵AF=CD,EF=BC,∴三角形AEF 全等于三角形DBC,∴∠F=∠C.14. 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C DCB A FE证实：设线段AB,CD 地点的直线交于E,（当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC 时,E 点是射线AB,DC 的交点）.则： △AED 是等腰三角形.∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE (等量加等量,或等量减等量）∴△BEC 是等腰三角形∴∠B=∠C.15. P 是∠BAC 等分线AD 上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB在AC 上取点E,使AE ＝AB.∵AE ＝ABAP ＝AP∠EAP ＝∠BAE,∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB.PC ＜EC ＋PE∴PC＜（AC －AE ）＋PB∴PC－PB ＜AC －AB.16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证：AC-AB=2BE证实：在AC 上取一点D,使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC -∠DBC=3∠C -∠C=2∠C;∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD 中,AE 是角BAD 的角等分线,∴AE 垂直BD∵BE⊥AE∴点E 必定在直线BD 上,在等腰三角形ABD PD A CB中,AB=AD,AE 垂直BD∴点E 也是BD 的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC -AB∴AC -AB=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC∵作AG∥BD 交DE 延伸线于G∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=218．如图,在△ABC 中,BD=DC,∠1=∠2,求证：AD⊥BC．解：延伸AD 至BC 于点E,∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB∴△ABC 是等腰三角形∴AB=AC 在△ABD 和△ACD 中 ｛AB=AC∠1=∠2 BD=DC∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE 是△ABC 的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC19．如图,OM 等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB=∠OBA证实：∵OM 等分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90F A E DCB∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB20．（5分）如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延伸线,与AP订交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21．如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证：∠C=2∠B延伸AC到E 使AE=AC 衔接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE可得∠B=∠E△CDE为等腰∠ACB=2∠B22．（6分）如图①,E.F分离为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC 于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD,ME=MF（2）当E.F两点移动到如图②的地位时,其余前提不变,上述结论可否成立？若成立请赐与证实;若不成立请解释来由．（1）衔接BE,DF．∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA 中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）,∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD,ME=MF;（2）衔接BE,DF．∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在Rt△DEC和Rt△BFA 中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）,∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD,ME=MF．23．已知：如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,（1）求证：△AED≌△EBC．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：证实：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE,DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC24．（7分）如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F．求证：BD=2CE．证实：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠AB E=∠CB E∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,衔接AG,则：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE25.如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED≌△BFC.证实：∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）26.（10分）如图：AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF.求证：AM是△ABC的中线.证实：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.27.（10分）如图：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证：BD⊥AC.∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC28.（10分）AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证：BF=CF在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29.（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上.证实：衔接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM 和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE31．已知：点 A.F.E.C在统一条直线上, AF＝CE,BE∥DF,BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行,内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS）32.已知：如图所示,AB＝AD,BC＝DC,E.F分离是DC.BC的中点,求证： AE＝AF.DEAF衔接BD;∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF;∵AB=ADDE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF.33．如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．证实：在△ADC,△ABC中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC（两角加一边）∵AB=AD,BC=CD在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD∴△DEC≌△BEC（双方夹一角）∴∠DEC=∠BEC34．已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD＝CF,求证：△ABC≌△DEF．∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF（ASA）35．已知：如图,AB=AC,BD AC,CE AB,垂足分离为D.E,BD.CE订交于点F,求证：BE=CD．证实：∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)∴BE =CD36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC 于F.求证：DE=DF ．证实：∵AD 是∠BAC 的等分线 ∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED 与∠AFD=90°在△AED 与△AFD 中∠EAD=∠FADAC DE FAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS ）∴AE=AF在△AEO 与△AFO 中∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AF O （SAS ）∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF37.已知：如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE ．若AB=5 ,求AD 的长？ ∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC 于C,DE⊥AC 于E 依据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE（ASA ）∴AD=AB=538．如图：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为 E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实：∵AB=AC∴∠B=∠C DCB AE∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．39.如图,给出五个等量关系：①②③④⑤．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实．已知：①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA求证：△DAB≌△CBA证实：∵AD=BC,∠DAB=∠CBA又∵AB=AB∴△DAB≌△CBA40．在△ABC中,,,直线经由点,且于,于.(1)当直线绕点扭转到图1的地位时,求证：①≌;②;(2)当直线绕点扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB,∴CE=AD,CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD,CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD ﹣BE41．如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF, AE B MCF在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC（SAS）,∴EC=BF;（2）如图,依据（1）,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）,∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF．42．如图：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;（2）AM⊥AN.证实：（1）∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（边角边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF∴四边形BCEF是平行四边形∴BC‖EF44．如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请解释来由在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共,∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45.（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．证实：∵AD是△ABC的中线BD=CD ∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等,两直线平行）.46.(10分)已知：如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,．求证：．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90º又∵AB=CD,BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL ）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD47.(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB 和△DOC 中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在△ACB 和△DBC 中AC=DB A D ECBF,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBC∴AB=CD48.(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小.证实：过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形.RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE49.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. ∵AB=DC,AC=DB,BC=BCA CE D B A B E CD∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE,AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DE50．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC＝∠BDE．作CG⊥AB,交AD 于H,则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE AB CD E F图9。

专题1.3 全等三角形-重难点题型【苏科版】【题型1 全等三角形的对应元素判断】【例1】（2020秋•潍城区期中）如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【变式1-1】（2020秋•合江县月考）如图，已知△ABC≌△CDA，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABC和△CDA的面积相等B．△ABC和△CDA的周长相等C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD D．AD∥BC，且AD＝CB【分析】由全等三角形的性质可得S△ABC＝S△CDA，△ABC和△CDA的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC，进而可得AD∥BC，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴S△ABC＝S△CDA，△ABC和△CDA的周长相等，AD＝CB，∠B＝∠D，∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，故选项A、B、D都不符合题意，∵∠ACB不一定等于∠ACD，∴∠B+∠ACB不一定等于∠D+∠ACD，故选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．【变式1-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于下列结论：①AC＝AF；②∠F AB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠F AC．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用全等三角形的性质可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AF＝AC，EF＝CB，∠F AE＝∠BAC，∴∠F AE﹣∠F AB＝∠BAC﹣∠BAF，即∠BAE＝∠F AC，∴正确的结论是①③④，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形，对应边相等，对应角相等．【变式1-3】（2020秋•北碚区期中）如图所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一条直线上．下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD＝AC其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD＝∠EBD，即可判断①；先由全等三角形的对应边相等得出BD＝CD，BE＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DE⊥BC，则∠BED＝90°，再根据全等三角形的对应角相等得出∠A＝∠BED＝90°，即可判断②；根据全等三角形的对应角相等得出∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，从而可判断∠C，即可判断③；根据全等三角形的对应边相等得出BE＝CE，再根据三角形中线的定义即可判断④；根据全等三角形的对应边相等得出BD＝CD，但A、D、C 可能不在同一直线上，所以AD+CD可能不等于AC．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD，∴BD是∠ABE的平分线，故①正确；②∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，BE＝CE，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵△ADB≌△EDB，∴∠A＝∠BED＝90°，∴AB⊥AD，∵A、D、C可能不在同一直线上∴AB可能不垂直于AC，故②不正确；③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，∵∠A＝90°若A、D、C不在同一直线上，则∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正确；④∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE，∴线段DE是△BDC的中线，故④正确；⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，若A、D、C不在同一直线上，则AD+CD＞AC，∴AD+BD＞AC，故⑤不正确．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难度适中．【题型2 利用全等三角形的性质求角度】【例2】（2020秋•兰山区期末）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（）A．30°B．50°C．44°D．34°【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝30°，∵∠CGF＝∠D+∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，∴∠BCA＝116°，∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝34°，故选：D．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC 度数的值为．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-2】（2020秋•覃塘区期中）如图，已知△AEF≌△ABC，点E在BC边上，EF与AC交于点D．若∠B＝64°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．【分析】根据全等三角形的性质和三角形外角性质解答即可．【解答】解：∵△AEF≌△ABC，∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝64°，∵点E在BC边上，∴∠AEB＝∠B＝64°，∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣64°﹣64°＝52°，又∵∠C＝30°，且∠CDF是△CDE的外角，∴∠CDF＝∠DEC+∠C＝52°+30°＝82°．【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答．【变式2-3】（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．【题型3 利用全等三角形的性质求线段长度】【例3】（2020秋•永吉县期中）如图，△EFG≌△NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG 和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．【分析】由△EFG≌△NMH，EF和NM，FG和MH是对应边，得到EG和NH是对应边，根据全等三角形的性质得到EG＝NH，根据线段的和差计算即可得到结果．【解答】解：∵△EFG≌△NMH，EF和NM，FG和MH是对应边，∴EG和NH是对应边，∴EG＝NH，∴EH+HG＝HG+NG，∴EH＝NG，∵EH＝1.1，∴NG＝1.1∵NH＝3.3cm，∴HG＝NH﹣NG＝3.3﹣1.1＝2.2（cm）．【点评】本题主要考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键．【变式3-1】（2020秋•永定区期中）如图，△ADE≌△BCF，AD＝8cm，CD＝6cm，则BD的长为cm．【分析】根据全等三角形的性质得出AD＝BC＝8cm，进而即可求得BD＝BC﹣CD＝2cm．【解答】解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC＝8cm，∵BD＝BC﹣CD，CD＝6cm，∴BD＝8﹣6＝2（cm）．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•东莞市校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知△AEH≌△CEB，EB＝5，AE＝7，则CH的长是．【分析】根据全等三角形的性质分别求出EC、EH，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵△AEH≌△CEB，∴EC＝AE＝7，EH＝EB＝5，∴CH＝EC﹣EH＝7﹣5＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式3-3】（2020秋•中山市期中）一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x ﹣2y ，x +2y ，若这两个三角形全等，则x +y 的值是 ．【分析】根据全等三角形的性质可得方程组{3x −2y =5x +2y =7，或{x +2y =53x −2y =7，解方程组可得答案． 【解答】解：由题意得{3x −2y =5x +2y =7，或{x +2y =53x −2y =7， 解得：{x =3y =2或{x =3y =1， x +y ＝5或x +y ＝4，故答案为：5或4【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．【题型4 与全等三角形性质有关的证明】【例4】（2020秋•安徽月考）如图，△ABC ≌△ADE ，点E 在边BC 上，求证：∠BED ＝∠BAD ．【分析】根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】证明：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠C ＝∠AED ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠BAE ＝∠DAE ﹣∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ，∵∠AEB ＝∠AED +∠DEB ＝∠CAE +∠C ，∴∠CAE ＝∠BED ，∴∠BED ＝∠BAD ．【点评】本题考查了三角形全等的性质，三角形的外角的性质，关键是熟练掌握全等三角形的性质．【变式4-1】（2020秋•大安市校级期中）已知△ABF ≌△DCE ，E 与F 是对应顶点．证明AF ∥DE ．【分析】根据全等三角形的性质得出∠B ＝∠C ，∠BAF ＝∠CDE ，根据三角形外角性质求出∠AFE ＝∠DEF ，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，∠BAF＝∠CDE，∴∠B+∠BAF＝∠C+∠CDE，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角性质，平行线的判定等知识点，能灵活运用定理机芯推理是解此题的关键．【变式4-2】（2020春•成都期中）如图，△ABC中，点E是AB边上一点，△BCE≌△ACE，ED∥AC，DF ⊥AB．（1）判断CE与AB是否垂直，并说明理由；（2）证明：∠EDF＝∠BDF．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）CE⊥AB，理由：∵△BCE≌△ACE，∴BEC＝∠AEC=12×180°＝90°，∴CE⊥AB；（2）∵ED∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∵△BCE≌△ACE，∴∠BCE＝∠ACE，∴∠CED＝∠DCE，∵DF⊥AB，∴DF∥CE，∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠CED，∴∠EDF＝∠BDF．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式4-3】（2020秋•定远县月考）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，AC＝DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE＝∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠E，求出∠ACB＝∠BCE，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴BC＝DE+CE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E，又∵△ABC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E，∴∠ACB＝∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠ACB＝90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【题型5 与全等三角形性质有关的综合】【例5】（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解答】解：（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝27°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝11cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝11﹣5＝6cm，∴AB＝3cm．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．【变式5-1】（2020秋•新罗区校级月考）如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm．（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm，计算即可；（2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD＝BC＝3cm，BE＝AB＝2cm，∴DE＝BD﹣BE＝1cm；（2）DB与AC垂直，理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，又A、B、C在一条直线上，∴∠EBC＝90°，∴DB与AC垂直．（3）直线AD与直线CE垂直．理由：如图，延长CE交AD于F，∵△ABD≌△EBC，∴∠D＝∠C，∵Rt△ABD中，∠A+∠D＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∴∠AFC＝90°，即CE⊥AD．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．【变式5-2】（2018春•德化县期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，即可求出答案；（2）①根据全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，即可得出答案；②根据三角形外角性质求出∠AEF，根据三角形外角性质求出∠AFD即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式5-3】（2020春•铁西区期中）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．AD上方的点，连接AE、CE、BF、DF，若△ACE≌△FDB，FD＝3，AD＝8．（1）判断直线CE与DF是否平行？并说明理由；（2）求CD的长；（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）CE∥DF，理由：∵△ACE≌△FDB，∴∠ACE＝∠D，∴CE∥DF；（2）∵△ACE≌△FDB，∴AC＝DF＝3，∵AD＝8，∴CD＝AD﹣AC＝8﹣3＝5；（3）∵△ACE≌△FDB，∴∠DBF＝∠E＝26°，∵CE∥DF，∴∠1＝∠F＝53°，∴∠ACE＝180°﹣26°﹣53°＝101°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．【题型6 与全等三角形性质有关的动点问题】【例6】（2020秋•丹徒区校级月考）如图，已知AB＝3，AC＝2，点D、E分别为线段BA、CA延长线上的动点，如果△ABC与△ADE全等，则AD为．【分析】分△ABC≌△ADE和△ABC≌△ADE两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△ADE时，AD＝AB＝3，当△ABC≌△AED时，AD＝AC＝2，故答案为：2或3．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式6-1】（2020秋•滨湖区期中）如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为s．【分析】由条件分两种情况，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，由条件可得到关于t的方程，当△BPE≌△CPQ，则有BP＝PC，同样可得出t的方程，可求出t的值．【解答】解：∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm，∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm，当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4，故答案为：1或4．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t的方程是解题的关键．【变式6-2】如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A 出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QP A两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，∵点P的速度为2cm/s，∴8÷2＝4（s）；当△ABC≌△QP A时，当AP＝BC＝4，∵点P的速度为2cm/s，∴4÷2＝2（s）故选：D．【点评】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．【变式6-3】（2020春•广饶县期末）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9cm ，AC ＝12cm ，AB ＝15cm ，现有一动点P ，从点A 出发，沿着三角形的边AC →CB →BA 运动，回到点A 停止，速度为3cm /s ，设运动时间为ts ．（1）如图（1），当t ＝ 时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；（2）如图（2），在△DEF 中，∠E ＝90°，DE ＝4cm ，DF ＝5cm ，∠D ＝∠A ．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB →BC →CA 运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ ≌△DEF ，求点Q 的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P 在BC 上时，②当点P 在BA 上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P 移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ ≌△DEF ，可得对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC 上，AP ＝4，AQ ＝5，②当点P 在AB 上，AP ＝4，AQ ＝5，分别求出P 移动的距离和时间，进而求出Q 的移动速度．【解答】解：（1）①当点P 在BC 上时，如图①﹣1，若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则CP =12BC =92cm ，此时，点P 移动的距离为AC +CP ＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒， ②当点P 在BA 上时，如图①﹣2若△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；则PD =12BC ，即点P 为BA 中点，此时，点P 移动的距离为AC +CB +BP ＝12+9+152=572cm ，移动的时间为：572÷3=192秒， 故答案为：112或192；（2）△APQ ≌△DEF ，即，对应顶点为A 与D ，P 与E ，Q 与F ；①当点P 在AC 上，如图②﹣1所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，∴点Q 移动的速度为5÷（4÷3）=154cm /s ，②当点P 在AB 上，如图②﹣2所示：此时，AP ＝4，AQ ＝5，即，点P 移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm ，点Q 移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm ，∴点Q 移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm /s ， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ ≌△DEF ，点Q 的运动速为154cm /s 或9332cm /s ．【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．。

全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。

步骤二：连接线段 AX。

步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。

又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。

因此，∠AXB = ∠EXF。

步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。

因此，∠ABX = ∠EFX。

步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。

因此，AB = EF。

综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。

步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。

步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。

综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。

步骤二：连接线段 BC 和 EF。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形复习一、全等三角形判定和性质一般三角形直角三角形判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法； 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质对应边相等，对应角相等；注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 一定要分清全等三角对应顶点、对应边和对应角。

二、证明三角形全等的思路：1、已知两边2、已知一边一角3、已知两个角三、练习 1．如图，AD 、A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的高，且AB=A ’B ’，AD=A ’D ’， 请你补充一个条件_________________使△ABC ≌△A ’B ’C ’.2．如图，OA=OB ，OC=OD ，∠O=60°,∠C=25°,则 ∠BED 等于________°.3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在以下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．4．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为 .5．如图，已知OA=OB ，OC=OD ，以下结论中：①∠A=∠B ；②DE=CE ；③连OE ，则OE 平分∠O ，准确的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③6．如图，AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于0，AE ⊥BC ．于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角形有( )对。

A ．5 B ．6 C ．7 D ．87.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35度，得到△A ’B ’C, A ’B ’交AC 乎点D ，已知∠A ’DC=90°，则∠A 的度数是_____________.找夹角（SAS ）找第三边（SSS ） 找直角（HL ） 找已知角的另一边（SAS ） 再找任意一个角（ASA 或AAS ）找夹边（ASA ） D B C A E 1 2 3 α （第4题） 找其中一角的对边（AAS ） A BC A ’B ’ D （第7题） AC BD EFO （第6题）8. 如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC，②AD=AE，③AM=AN，④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：9. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

全等三角形知识点归纳与复习（一）1。

的两个三角形全等；2．全等三角形的对应边_ ；对应角 ;对应边上的高 ;对应角的平分线；对应边的中线；对应周长，对应面积。

3．证明全等三角形的方法（1）三边的两个三角形形全等,简写为“”或“”。

（2）的两个三角形全等，简写为“边角边”或“”。

(3）的两个三角形全等,简写为“角边角”或“”。

（4）的两个三角形全等，简写为“角角边”或“”.（5）和对应相等的两个直角三角形全等，简写为“”或“HL”（6）和对应相等的两个直角三角形全等，简写为“ "或“HH”（7）两边及第三边上的对应相等的两个锐角三角形（8）两边及其中一边上的对应相等的两个锐角三角形4。

证明全等三角形的基本思路（1）已知两边（2）已知一边一角（3)已知两角5。

角平分线的性质：_______________________________用法:∵_____________;_________;_________∴QD=QE6。

角平分线的判定：______________________________用法：∵_____________；_________；_________∴点Q在∠AOB的平分线上二、基础过关1．下列条件能判断△ABC和△DEF全等的是（ )A．AB=DE，AC=DF,∠B=∠E B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC．∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D2．在△ABC和△DEF中，如果∠C=∠D，∠B=∠E，要证这两个三角形全等,还需条件（ )A．AB=ED B．AB=FD C．AC=DF D．∠A=∠F3．在△ABC和△A’B’C’中，AB=A'B'，AC=A’C’,要证△ABC≌△A'B’C’，有以下四种思路证明：①BC=B’C’；②∠A=∠A’；③∠B=∠B’；④∠C=∠C’,其中正确的思路有（）A．①②③④B．②③④C．①②D．③④4．在△△中，已知,，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ )Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．如图5,已知：∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充条件（ )A．AB＝AD，AC＝AE B．AB＝AD，BC＝DEC．AC＝AE,BC＝DE D．以上都不对6．如图6,AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（）A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C C．∠A＝∠C D．∠1＝∠2 7．△ABC和中,若，，则需要补充条件可得到△ABC ≌．8．如图3所示，AB 、CD 相交于O,且AO ＝OB，观察图形，明显有,只需补充条件 ,则有△AOC≌△ (ASA)．三、综合提高1．如图所示，已知AE⊥AB,AF⊥AC ，AE=AB ，AF=AC。

中考数学总复习《全等三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )A. B. C. D.2.下列叙述中错误的是( )A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.下列四个选项图中，与题图中的图案完全一致的是( )A. B. C. D.4.如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是( )A.AD＝AEB.DB＝AEC.DF＝EFD.DB＝EC5.如果两个三角形全等，那么下列结论不正确的是( )A.这两个三角形的对应边相等B.这两个三角形都是锐角三角形C.这两个三角形的面积相等D.这两个三角形的周长相等6.已知图中的两个三角形全等，则∠a度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°7.已知下列条件，不能作出唯一三角形的是( )A.两边及其夹角B.两角及其夹边C.三边D.两边及除夹角外的另一个角8.如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去9.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是( )A.②B.①②③C.①②④D.①②③④10.如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1＝∠2＝22.5°.下列结论：①∠1＝∠3；②BD＋DH＝AB；③2AH＝BH；④若DF⊥BE于点F，则AE﹣FH＝DF.其中正确的结论是( )A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④二、填空题11.如图，四边形ABCD≌四边形A/B/C/D/，则∠A的大小是________.12.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x＋y＝.13.工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法得△MOC≌△NOC的依据是．14.如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝38°，则∠AEB＝ .15.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD ＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上(如图所示)，可以说明△EDC ≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是16.在△ABC中，AB＝8，AC＝10，则BC边上的中线AD的取值范围是 .三、解答题17.如图，线段AC与线段BD相交于点O，连结AB，BC，CD，∠A＝∠D，OA＝OD.求证：∠1＝∠2.18.如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B，C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD，BD，CD．求证：AD平分∠BAC．19.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED;(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．20.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB的延长线上一点，点E在BC 边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD．(1)求证：△ABE≌△CBD．(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．21.如图，AD∥BC，∠D＝90°．(1)如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB＝35°，求∠PAD的度数为多少？22.(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论.答案1.D.2.C3.A4.B.5.B6.D7.D.8.C9.C10.C.11.答案为：95°.12.答案为：10.13.答案为：SSS.14.答案为：128°.15.答案为：ASA.16.答案为：1＜AD ＜9.17.证明：在△AOB 和△DOC 中∵⎩⎨⎧∠A ＝∠D ，OA ＝OD ，∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ≌△DOC(ASA)∴AB ＝DC ，OB ＝OC.∴OA ＋OC ＝OD ＋OB ，即AC ＝DB.在△ABC 和△DCB 中∵⎩⎨⎧AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(SSS)∴∠1＝∠2.18.证明：在△ABD 和△ACD 中∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)∴∠BAD ＝∠CAD即AD 平分∠BAC ．19.解：(1)∵AE 和BD 相交于点O∴∠AOD ＝∠BOE.在△AOD 和△BOE 中∠A ＝∠B ，∠AOD ＝∠BOE∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2∴∠1＝∠BEO∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA)；(2)∵△AEC ≌△BED∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中∵EC ＝ED ，∠1＝42°∴∠C ＝∠EDC ＝69°∴∠BDE ＝∠C ＝69°.20.证明：(1)∵∠ABC ＝90°∴∠CBD ＝90°＝∠ABC ．在△ABE 和△CBD 中∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS)．(2)∵△ABE ≌△CBD∴∠AEB ＝∠CDB ．∵∠AEB 为△AEC 的一个外角∴∠AEB ＝∠CAE ＋∠ACB ＝27°＋45°＝72° ∴∠BDC ＝72°．21.解：点P 是线段CD 的中点． 证明如下：过点P 作PE ⊥AB 于E∵AD ∥BC ，PD ⊥CD 于D∴PC ⊥BC∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ∴PD ＝PE ，PC ＝PE∴PC ＝PD∴点P 是线段CD 的中点．(2)35°22.解：(1)证明：延长AE 交DC 的延长线于点F∵E 是BC 的中点∴CE ＝BE∵AB ∥DC∴∠BAE ＝∠F在△AEB 和△FEC 中∴△AEB≌△FEC∴AB＝FC∵AE是∠BAD的平分线∴∠BAE＝∠EAD∵AB∥CD∴∠BAE＝∠F∴∠EAD＝∠F∴AD＝DF∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB(2)如图②，延长AE交DF的延长线于点G∵E是BC的中点∴CE＝BE∵AB∥DC∴∠BAE＝∠G在△AEB和△GEC中∴△AEB≌△GEC∴AB＝GC∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG＝∠FAG∵AB∥CD∴∠BAG＝∠G∴∠FAG＝∠G∴FA＝FG∴AB＝CG＝AF＋CF第11 页共11 页。

八年级数学全等三角形知识点归纳及分类练习一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：SSS⑴边边边（）：三边对应相等的两个三角形全等.SAS⑵边角边（）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.ASA⑶角边角（）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.AAS⑷角角边（）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.HL⑸斜边、直角边（）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：1性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.2性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.练习一12.1全等三角形一、基础达标1．如图12-1-4所示，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )图12-1-4A．20° B．30°C．35° D．40°2．如图12-1-5所示，△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是()图12-1-5A．∠1＝∠2 B．AC＝CAC．∠D＝∠B D．AC＝BC3．如图12-1-6，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是()A．5 B．4 C．3 D．2图12-1-64．[2016·成都]如图12-1-7，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝．图12-1-75．如图12-1-8，△AOC≌△BOD，试证明AC∥BD.图12-1-8二、能力提升6．如图12-1-9，已知△ABC≌△DCB.(1)分别写出它们的对应角和对应边；(2)请说明∠1＝∠2的理由．图12-1-97．如图12-1-10，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2.图12-1-10(1)求AC的长度；(2)求证：CE∥BF.三、创新题型8．如图12-1-11，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.(1)当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为__ __．(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°.①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．图12-1-11参考答案【知识管理】1．完全重合2．完全重合　顶点　边　角　全等于　对应顶点3．相等　相等【归类探究】例1　AC的对应边是DE，AB的对应边是DF，CB的对应边是EF；∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F是对应角．例2　A【当堂测评】1．B　2.C　3.61°　15【分层作业】1．B　2.D　3.A　4.120°　5.略6．(1)对应角是∠A和∠D，∠1和∠2，∠ABC和∠DCB，对应边是AB和DC，AC和DB，BC和CB；(2)理由：全等三角形的对应角相等．7．(1)AC＝5　(2)略8．(1)3　(2)∠DBC＝25°；∠AFD＝130°.练习二12.2三角形全等的判定三角形全等的判定(SSS)一、基础达标1．如图12-2-6所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定( )图12-2-6A．△ABD≌△ACD B．△B DE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不正确2．如图12-2-7，点D，E在线段BC上，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，要判定△ABD≌△ACE，较为快捷的判定依据是．图12-2-73．一个平分角的仪器如图12-2-8所示，其中AB＝AD，BC＝DC. 求证：∠BAC＝∠DAC.图12-2-84．如图12-2-9，四边形ABCD中，AB＝CD，CB＝AD.求证：△ABC≌△CDA.图12-2-9二、能力提升5．如图12-2-10，AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，求证：△AEB≌△ADC.图12-2-106．如图12-2-11，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AC∥DF.图12-2-11三、创新题型7．如图12-2-12所示，AB＝AE，BC＝ED，CF＝DF，AC＝AD.图12-2-12求证：∠BAF＝∠EAF.参考答案【知识管理】2．相等【归类探究】例1　略　例2　(1)略　(2)AB∥DE，AC∥DF.理由略．【当堂测评】1．D　2.SSS　3.36°　4.AB＝DC三角形全等的判定(SAS)一、基础达标1．如图12-2-18所示，已知∠1＝∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件( )图12-2-18A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠C＝∠DD．OA＝OB2．如图12-2-19所示，B E＝CD，AE＝AD，∠1＝∠2，∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为( )图12-2-19A．20° B．30° C．40° D．50°3．如图12-2-20，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF.请你添加一个条件：(只需添加一个即可)，使△ABC≌△DEF.图12-2-204．如图12-2-21，C是线段AB的中点，CD＝BE, CD∥BE.求证：∠D＝∠E.图12-2-21二、能力提高5．如图12-2-22，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.求证：BC∥EF.图12-2-226.如图12-2-23，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.图12-2-23三、创新题型7．如图12-2-24，点A，B，C，D在同一直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.图12-2-24参考答案【知识管理】1．唯一确定2．夹角　对应关系【归类探究】例1　略例2　△OAB≌△ODC，△ABC≌△DCB.理由略．【当堂测评】1．A　2.D　3.(1)(3)　4.不是　AC＝DF【分层作业】1．B　2.C　3.AC＝DF或∠B＝∠DEF或AB∥DE三角形全等的判定(ASA，AAS)一、基础达标1．如图12-2-30，已知∠ABC＝∠BA D，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )图12-2-30A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D D．BC＝AD2．如图12-2-31，点D，E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是_ _(只写一个条件即可)．图12-2-313．[2015·福州]如图12-2-32，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图12-2-32三、能力提升4．如图12-2-33，已知∠AOD＝∠COB，∠A＝∠C，O是AC的中点．图12-2-33求证：△AOB≌△COD.5．如图12-2-34，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.图12-2-34四、创新题型6．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图12-2-35所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点．不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？图12-2-35参考答案【知识管理】2．夹边3．对边【归类探究】例1　略　例2　(1)略　(2)∠D＝75°【当堂测评】1．D　2.B　3.D　4.B【分层作业】1．A　2.∠ADC＝∠AEB或∠CEB＝∠BDC或∠C＝∠B或AB＝AC或BD＝CE3．略　4.略　5.略6．△AOF与△DOC全等．理由略．直角三角形全等的判定(HL)一基础过关1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF2．如图12-2-40，AB⊥AC于A，BD⊥CD于D，若AC＝DB，则下列结论中不正确的是( )图12-2-40A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DCBC．OB＝OD D．OA＝OD3．如图12-2-41，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠AB C和∠DFE之间的关系是( )图12-2-41A．∠ABC＝∠DFEB．∠ABC>∠DFEC．∠ABC<∠DFED．∠ABC＋∠DFE＝90°4．如图12-2-42，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件__ __，若加条件∠B＝∠C，则可用__ __判定．图12-2-425．如图12-2-43，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF.求证：图12-2-43(1)AF＝CE；(2)AB∥CD.二、能力提升6．如图12-2-44，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF.图122-44求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.三、创新题型7．如图12245，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若B，C在DE的同侧(如图12-2-45(1)所示)，AD＝CE.求证：AB⊥AC.(2)若B，C在DE的两侧(如图12-2-45(2)所示)，AD＝CE，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(1)(2)12-2-45参考答案【知识管理】2．一条直角边　斜边、直角边(或HL)【归类探究】例1　AD 是△ABC 的中线，理由略．例2　(1)3对，分别是：△ABD ≌△ACD ，△ADE ≌△ADF ，△BDE ≌△CDF.(2)答案不唯一，略．【当堂测评】1．B 2.A 3.A 4.HL【分层作业】1．B 2.C 3.D 4.AB ＝AC AAS5．(1)略　(2)略　6.略7．(1)略　(2)AB ⊥A C.证明略．角的平分线的性质一、基础过关1．如图12-3-6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 12于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )图12-3-6A ．15B ．30C ．45D ．602．如图12-3-7，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若△BDE 的周长是5 cm ，则AB 的长为__ __．图12-3-73．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．图12-3-8已知：如图12-3-8，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上．__ __求证：__ _．请你补全已知和求证，并写出证明过程．4．如图12-3-9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB＝10，CD＝3.图12-3-9(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．二、能力提升5．如图12-3-10，PB，PC分别是△ABC的两个外角的平分线且相交于点P.求证：点P在∠A的平分线上．图12-3-106．如图12-3-11，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN.图12-3-11三、创新题型7．如图12-3-12，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.图12-3-12求证：AD是△ABC的角平分线．参考答案【知识管理】1．距离相等2．角的平分线上3．相等【归类探究】例1　略　例2　略【当堂测评】1．B　2.B　3.A　4.3【分层作业】1．B　2.5 cm3．PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.　PD＝PE.证明略．4．(1)DE＝3　(2)S△ADB＝15　5.略　6.略　7.略。

完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。

2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。

证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。

3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。

证明：BE=CD。

4.点O是线段AB和线段CD的中点。

证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。

5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。

证明：∠B=∠D。

6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。

证明：AE=BC。

7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。

证明：AF=DF。

8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

证明：AB∥DE。

9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

证明：AE=CE。

10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。

证明：DE=CF。

11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。

证明：AE=FB。

12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。

13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。

证明：AB=AC。

14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。

证明：∠B=∠E。

15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。

16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。

全等三角形证实经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延伸AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证：12CD AB3. 已知：BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EF. 因为AD BCBC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF. 所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边). 所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF. 衔接BE. 在三角形BEF 中,BF=EF. 所以 ∠EBF=∠BEF. 又因为 ∠ABC=∠AED. 所以 ∠ABE=∠AEB. 所以 AB=AE. 在三角形ABF 和三角形AEF 中, AB=AE,BF=E F, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. 所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等. 所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).4. 已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC 证实： 过E 点,作EG//AC,交AD 延伸线于G则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2 又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2 ∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠C证实： 在AC 上截取AE=AB,衔接ED ∵AD 等分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 等分∠BAD,CE ⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE 证实： 在AE 上取F,使EF ＝EB,衔接CF 因为CE⊥AB 所以CD B AB AC DF 2 1 E∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF,CE ＝CE, 所以△CEB≌△CEF 所以∠B＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 等分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC,BE.CE 分离等分∠ABC.∠BCD,且点E 在AD 上.求证：BC=AB+DC.证实:在BC 上截取BF=BA,衔接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A; AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°; 又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D; 又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：∠F=∠C D CB A FEAB//ED,AE//BD 推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB,所以:∠C=∠F14. 已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD 地点的直线交于E,（当AD<BC 时,E 点是射线BA,CD 的交点,当AD>BC时,E 点是射线AB,DC 的交点）.则： △AED 是等腰三角形. 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量,或等量减等量） 所以：△BEC 是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P 是∠BAC 等分线AD 上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B‘,因为AD 是角BAC 的等分线,B'在线段AC 上（在AC 中央,因为AB 较短） 因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE ⊥AE,求证：AC-AB=2BE∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延伸BE 交AC 于F A BC D PD A C B因为,∠1 =∠2,BE⊥AE所以,△ABF 是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC -∠ABE=3∠C -2∠C=∠C BF=C F AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC 作AG∥BD 交DE 延伸线于G AGE 全等BDE AG=BD=5 AGF∽CDFAF=AG=5所以DC=CF=218．（5分）如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证：AD ⊥BC ．延伸AD 至H 交BC 于H; BD=DC;所以: ∠DBC=∠角DCB; ∠1=∠2;∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2; ∠ABC=∠ACB;所以: AB=AC;三角形ABD 全等于三角形ACD;∠BAD=∠CAD; AD 是等腰三角形的顶角等分线 所以: AD 垂直BC19．（5分）如图,OM 等分∠POQ ,MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ,A .B 为垂足,AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA因为AOM 与MOB 都为直角三角形.共用OM,且∠MOA=∠MOB F A EDCB所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA因为∠OAM=∠OBM=90度所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA20．（5分）如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的等分线与∠CBA 的等分线订交于E ,CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．证实： 做BE 的延伸线,与AP 订交于F 点, ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中,AE⊥BF,且AE 为∠FAB 的角等分线∴三角形FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中, ∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB, ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形,∴DF=BC ∴AB=A F=AD+DF=AD+BC21．（6分）如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的等分线,且AB =AC +CD ,求证：∠C =2∠B证实：在AB 上找点E,使AE=AC∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ADE≌△ADC.DE=CD,∠AED=∠C∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠EDB=2∠B22．（6分）如图①,E .F 分离为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M ．PED C BA D C BA（1）求证：MB =MD ,ME =MF（2）当E .F 两点移动到如图②的地位时,其余前提不变,上述结论可否成立？若成立请赐与证实;若不成立请解释来由．剖析：经由过程证实两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF 是平行四边形．再依据平行四边形的性质得出结论．解答：解：（1）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF;（2）衔接BE,DF ． ∵DE⊥AC 于E,BF⊥AC 于F,, ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中, ∵AF=CE,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴DE=BF ． ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∴MB=MD,ME=MF．23．（7分）已知：如图,DC ∥AB ,且DC =AE ,E 为AB 的中点,（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC 外,请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD 是平行四边形.于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC.由AE=BE,所以△AED≌△EBC.O ED C B A（2）△AEC.△ACD.△ECD 都面积相等.24．（7分）如图,△ABC 中,∠BAC =90度,AB =AC ,BD 是∠ABC 的等分线,BD 的延伸线垂直于过C 点的直线于E ,直线CE 交BA 的延伸线于F ．求证：BD =2CE ． 证实：延伸BA.CE,两线订交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE25.（10分）如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.26.（10分）如图：AE.BC 交于点M,F 点在AM 上,BE ∥CF,BE=CF.求证：AM 是△ABC 的中线.证实： ∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.27.（10分）如图：在△ABC 中,BA=BC,D 是AC 的中点.求证：BD ⊥AC.FED C B AM F E CBA三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB 相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD 垂直AC28.（10分）AB=AC,DB=DC,F 是AD 的延伸线上的一点.求证：BF=CF证实：在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC29.（12分）如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.因为AB=DC AE=DF, CE=FBCE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF因为 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD ,如图所示,个中AB ∥CD ,在AB ,CD ,BC 三段路旁各有一只小石凳E ,F ,M ,且BE ＝CF ,M 在BC 的中点,试解释三只石凳E ,F ,M 正好在一条直线上.证： ∵AB 平行CD （已知） ∴∠B=∠C（两直线平行,内错角相等） ∵M 在BC 的中点（已知） ∴EM=FM（中点界说） 在△BME DCB A FD CB A F E DC BA和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证） ∴△BME 全等与△CMF（SAS ） ∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E,M,F 在统一向线上31．已知：点A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．证实： ∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS ）32.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.贯穿连接BD,得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在联合已知前提证得：△ADE ≌△ABF得AE=AF 33．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC. 又因为AC 是公共边,所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC. 所以BC 等于DC,角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等 DA F E 654321E D CB A于三角形BEC 所以∠5=∠634．已知AB ∥DE ,BC ∥EF ,D ,C 在AF 上,且AD ＝CF ,求证：△ABC ≌△DEF ．因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE,BC 平行EF 所以角A+角EDF,角BCA=角F （两直线平行,内错角相等） 然后SSA （角角边）三角形全等35．已知：如图,AB =AC ,BD AC ,CE AB ,垂足分离为D .E ,BD .CE 订交于点F ,求证：BE =CD ．证实：因为 AB=AC, 所以∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC,CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD36、如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的等分线,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F .求证：DE =DF ．AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB =5 ,求AD 的长？ 角C=角E=90度 角B=角EAD=90度-角BACBC=AE A C B DE F A EDC FD C B A E△ABC ≌△DAEAD=AB=538．如图：AB=AC,ME ⊥AB,MF ⊥AC,垂足分离为E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 ∴∠B=∠C又∵ME=MF,△BEM 和△CEM 是直角三角形∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC39.如图,给出五个等量关系：①AD BC =②AC BD =③CE DE =④D C ∠=∠⑤DAB CBA ∠=∠．请你以个中两个为前提,另三个中的一个为结论,推出一个准确的结论（只需写出一种情形）,并加以证实．已知：求证：证实：已知1,2 求证4 因为AD=BC AC=BD,在四边形ADBC 中,连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C以4,5为前提,1为结论. 即：在四边形ABCD 中,∠D=∠C,∠A=∠B,求证：AD=BC 因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C,∠A=∠B, 所以 2(∠A+∠D)=360°, ∠A+∠D=180°, 所以 AB//DC40．在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经由点C ,且C A B CＤ ＥMN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 扭转到图1的地位时,求证： ①ADC ∆≌CEB ∆;②BE AD DE +=;(2)当直线MN 绕点C 扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）证实：∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠BCE=90°, 而AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E, ∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 在Rt△ADC 和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=DC+CE=BE+AD;（2）不成立,证实：在△ADC 和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB, ∴△ADC≌△CEB （AAS ）, ∴AD=CE,DC=BE, ∴DE=CE -CD=AD-BE;41．如图所示,已知AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC ⊥BF（1）证实;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB 全等 所以EC=BF 角ECA=角F（2）(2)延伸FB 与EC 的延伸线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC 垂直BF42．如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;A E B M C F（2）AM ⊥AN.证实： （1） ∵BE⊥AC,CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC,CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN（2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 衔接BF.CE,证实△ABF 全等于△DEC（SAS ）,然后经由过程四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC 平行于EF44．如图,已知AC ∥BD,EA.EB 分离等分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E,则AB 与AC+BD 相等吗？请解释来由在AB 上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD F C AM N E1234所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45.（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．证实： ∵AD 是中线 ∴BD=CD∵DF=DE,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF46.(10分)已知：如图,AB ＝CD ,DE ⊥AC ,BF⊥AC ,E ,F 是垂足,DE BF ．求证：AB CD ∥．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°, 在Rt△DEC 和Rt△BFA 中,DE=BF,AB=CD, ∴Rt△DEC≌Rt△BFA, ∴∠C=∠A, ∴AB∥CD．47.(10分)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD【待定】48.(10分)如图,已知AC ⊥AB,DB ⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.结论：CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小. 证实： 过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB 由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形. RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90° AC E DB A D EC B F∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE49.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. 先证实△ABC ≌△BDC 的出角ABC=角DCB 在证实△ABE ≌△DCE得出AE=DE 50．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC ＝∠BDE ．证实：作CG 等分∠ACB 交AD 于G∵∠ACB=90° ∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90° AC=BC ∴∠B=∠BAC=45° ∴∠B=∠DCG=∠ACG ∵CF⊥AD ∴∠ACF+∠DCF=90° ∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF ∵ AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE ∴CG=BE ∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE ∴∠ADC=∠BDE AB EC DA B C D E F 图9。