数学-湖北省部分重点中学2017-2018学年高一下学期期中考试试题(文)

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。

恩施高中郧阳中学三校联合体2017-2018学年高一年级第一次联考文数试卷沙市中学本试题卷共4页，共22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

所有答案均须答在答题卡上，答在试卷上、草稿纸上无效。

★祝考试顺利★一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由中不等式变形得，解得，即，由中不等式变形得，即，解得，即，则，故选B.2. 已知数列，则是这个数列的（）A. 第6 项B. 第7项C. 第8项D. 第9项【答案】C【解析】数列中的各项可变形为：数列，所以通项公式为，令，得，故选C.3. 若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因此A错，B对；取，可得，故错误；.取，可得，故错误，故选B.4. 已知角的终边在上，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为角的终边与单位圆交于点，故选B.5. 已知平面向量满足，与的夹角为60°,若,则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的夹角为，且，则，又由，可得，变形可得，即，解可得，故选D.6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉的部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7. 在等比数列｛｝中，若，且，则 =（）A. B. C. D. 6【答案】A【解析】，与为方程的两个根，解得或，，，故，故选A.8. 在中，，则一定是（_______）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】 ,由余弦定理可得，，故，故一定是等边三角形，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.9. 如图是正方体的平面展开图。

湖北省重点高中2017-2018届高一下学期联考期中考试文科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题0，则下列不等式成立的是（ ）><≤2.在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意n∈N ＋有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }的前20项和为（ ）A. 45B. 55C. 65D. 753.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，b ＝2，B ＝60°，若这个三角形有两解，则a 的范围（ ） A. 2<a <43√3 B. 2<a ≤43√3 C. a ＞2 D. a ＜24.已知数列{a n }满足a n+1=1+a n1−an，a 1＝2，则a 2018＝（ ） A. 2 B. －3 C. −12D. 135.设数列√2，√5，2√2，√11，…，则2√5是这个数列的（ ） A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项6.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为（ ） A. 500米 B. 600米 C. 700米 D. 800米7.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1007a 1012＋a 1008a 1011＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 2018＝A. 2017B. 2018C. 2019D. 20208.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[13，12]，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是（ ） A. （2，3） B. （13，12） C. （－∞，13）∪（12，＋∞） D. （－3，－2） 9.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，B =π3，b ＝3，c ＝2，则△ABC 的面积是（ ）A.3√2+5√32 B. √3+3√24C. √3+3√22D. 3√3−√2410.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是:一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A. 5盏 B. 4盏 C. 3盏 D. 2盏11.如图，在△ABC 中，D 为边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB =√3BD ，BC ＝2BD ，则cosC的值为（ ）A. √33B. √36C.√306D. √6312.设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( ) A. {S n }为递减数列 B. {S n }为递增数列C. {S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D. {S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列第II 卷（非选择题）二、解答题n n 项的和为S n （n ∈N ＋），数列{b n }是首项为2的等比数列且公比大于0，b 3＋b 5＝40，b 2＝a 4－6a 1，S 11＝11b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式． （2）求数列{a 2n b n }的前n 项和．14.解关于x 的不等式mx 2＋（2m －1）x －2＞0（m ∈R ）．15.已知a ，b ，c 分别是△ABC 角A 、B 、C 的对边长，m ⃑⃑⃑⃑ =(−1,sinA)，n⃑⃑ =(cosA +1,√3)．（1）求f(A)=m ⃑⃑ ⋅n ⃑ 的最大值（2）若m ⃑⃑⃑⃑ ⊥n⃑⃑ ，b =4√23，cosB=√33，求a 值．16.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cosA =1213，cosC =35．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？17.如图是由正整数构成的数表，用a ij 表示i 行第j 个数（i ，j ∈N ＋）．此表中a il ＝a ii ＝i ，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3）令c n−1=√2b n+n−2(n≥2)，记T n为数列{1c n c n+1}前n项和，求T nC n+1的最大三、填空题18.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+12n+5，则数列{a n}的通项公式a n＝________．19.如图，一辆汽车在一条水平公路上向西行驶，到A处测得公路北侧有一山顶D在西偏北30°方向上，行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．20.已知S n是等差数列{a n}（n属于N＋）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11．其中正确命题的序号是________．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√3，c=2√2，1+tanA tanB =2cb，则角C大小为。

2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（）A．（2，12） B．（﹣2，12）C．14 D．104．已知数列{a n}的通项为a n=，则满足a n+1＜a n的n的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量=（a+c，b），=（b﹣a，c﹣a），若向量∥，则角C的大小是（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．727．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．5179．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 米．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．2016-2017学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知等比数列{a n}满足：a3•a7=，则cosa5=（）A．B．C．± D．±【考点】88：等比数列的通项公式；GI：三角函数的化简求值．【分析】直接利用等比数列的性质结合已知求得．则答案可求．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a3•a7=，得，∴．∴cosa5=cos（±）=．故选：B．2．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C 的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．3．已知向量=（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），且（﹣）⊥，则•（+）=（ ）A ．（2，12）B ．（﹣2，12）C ．14D ．10【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，的坐标，再由（﹣）⊥列式求得k 值，得到，然后利用数量积的坐标运算求得•（+）．【解答】解：∵ =（﹣1，2），=（3，1），=（k ，4），∴=（﹣4，1），=（2，3），∵（﹣）⊥，∴﹣4k+4=0，解得k=1．∴，则•（+）=（1，4）•（2，3）=1×2+4×3=14．故选：C ．4．已知数列{a n }的通项为a n =，则满足a n+1＜a n 的n 的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【考点】82：数列的函数特性．【分析】a n =，a n+1＜a n ，＜，化为：＜．对n 分类讨论即可得出．【解答】解：a n =，a n+1＜a n ，∴＜，化为：＜． 由9﹣2n ＞0，11﹣2n ＞0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＞0，解得，取n=5．由9﹣2n ＜0，11﹣2n ＜0，11﹣2n ＜9﹣2n ，解得n ∈∅．因此满足a n+1＜a n 的n 的最大值为5．故选：C ．5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．设向量=（a+c ，b ），=（b ﹣a ，c ﹣a ），若向量∥，则角C 的大小是（ ）A．B．C．D．【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量．【分析】因为，根据向量平行定理可得（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a），展开即得b2+a2﹣c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值．【解答】解：∵∴（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2=ab2cosC=1∴C=故选B．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．7．已知=（1，﹣1），=﹣， =+，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（）A．2 B．4 C．2 D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．【解答】解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则⊥，即•=0，则（﹣）•（+）=0，即||2﹣||2=0，则||=||=，又||=||，即|﹣|=|+|，平方得||2+||2﹣2•=||2+||2+2•，得•=0，则||2=||2+||2﹣2•=||2+||2=2+2=4，则||=2，则△OAB的面积S=||•||=×2×2=2．故选：A．8．一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第9行中的第6个数是（）A．132 B．261 C．262 D．517【考点】F1：归纳推理．【分析】先根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1，求出第8行的最后一个数，从而求出所求．【解答】解：根据题意可知第n行有2n﹣1个数，此行最后一个数的为2n﹣1．那么第8行的最后一个数是28﹣1=255，该数表中第9行的第6个数是261，故选：B．9．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（）A．锐角非等边三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A﹣B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【解答】解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B=0，即A=B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）=（1﹣cosC）+=1﹣cosC，﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）=1﹣cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）=1﹣cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）=2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC=0，即cosC（cosC﹣2）=0，∴cosC=0或cosC=2（舍去），∴C=90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选：C．10．在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】通过解直角三角形得到BD=BC，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出λ，μ值．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D11．设数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2018=（）A．1 B．2 C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，数列{a n}是以4为周期的函数数列，可求得a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2013•a2014•a2015•a2016=1，从而可得答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2==，a3==﹣，a4==﹣3，a5==2，…即a n+4=a n，∴数列{a n}是以4为周期的函数，又a1•a2•a3•a4=a5•a6•a7•a8=…=a2005•a2006•a2007•a2008=1，T n为数列{a n}的前n项之积，∴T2018=（a1•a2•a3•a4）•（a5•a6•a7•a8）…（a2013•a2014•a2015•a2016）•a2017•a2018=a1•a2==，故选：D．12．已知△ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则•的取值范围为（）A．[2，18） B．（，2] C．[2，）D．（2，9﹣3）【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知a+b+c=6，且b2=ac，由基本不等式及三角形中的边角关系求得b的范围得到b的范围，代入数量积公式可得•=﹣（b+3）2+27．则•的取值范围可求．【解答】解：由题意可得a+b+c=6，且b2=ac，∴b=≤=，从而0＜b≤2．再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，又b＞0，解得b＞，∴＜b≤2，∵cosB==，∴•=ac•cosB====﹣（b+3）2+27．则2≤•＜．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在方向上的投影为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】求出向量b的模，向量a，b的数量积，再由向量在方向上的投影，计算即可得到．【解答】解： =（1，），则||==2，•（﹣）=﹣3，则=﹣3=4﹣3=1，即有向量在方向上的投影为=．故答案为：．14．已知数列{a n}的前n项和S n=3n﹣2，求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【分析】首先求出n=1时a1的值，然后求出n≥2时a n的数列表达式，最后验证a1是否满足所求递推式，于是即可求出{a n}的通项公式．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1，当n=1时，a1=1不满足此递推式，故a n=．15．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h= 150（+）米．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】用h表示出BC，AQ，列方程解出h．【解答】解：CQ=200sin15°=50（﹣），AQ==h，BC===（2﹣）h﹣50（3﹣5），∴h﹣（2﹣）h+50（3﹣5）=200cos15°=50（+），解得h=150（+）．故答案为：150（+）．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N+，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，再由（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立求得实数t的取值范围．【解答】解：由S n=（﹣1）n a n++n﹣3，得a1=﹣；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n++n﹣3﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1﹣﹣（n﹣1）+3=（﹣1）n a n+（﹣1）n a n﹣1﹣+1，若n为偶数，则a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣1（n为正奇数）；若n为奇数，则a n﹣1=﹣2a n﹣+1=2（﹣1）﹣+1=3﹣，∴a n=3﹣（n为正偶数）．函数a n=﹣1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=﹣，函数a n=3﹣（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=，若（t﹣a n+1）（t﹣a n）＜0恒成立，则a1＜t＜a2，即﹣＜t＜．故答案为：（﹣，）．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=log2a n，数列{bn}的前n项和为T n，求使得T n取最大值的正整数n的值．【考点】8I：数列与函数的综合；8E：数列的求和．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比，然后求解通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用，求解数列的最大项，即可得到结果．（法二利用二次函数的性质求解）．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由已知的S3=3a3+2a2有2a3+a2﹣a1=0，即2a1q2+a1q﹣a1=0，又a1＞0，∴2q2+q﹣1=0，故q=或q=﹣1（舍），…∴a n=a4q n﹣4=（）n﹣7，…6 分（2）由（1）知b n=log2a n=7﹣n，设T n为其最大项，则有：即，得6≤n≤7，故当n=6或7时，T n达到最大．…（法2），亦可给分．18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，．（1）求角A的度数；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得4cos2A﹣4cosA+1=0，解得：cosA=，结合A为三角形内角可求A的值．（2）由余弦定理得b2+c2﹣a2﹣bc=0，结合已知可求c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）依题意可得：，…∴整理可得4cos2A﹣4cosA+1=0，∴解得：cosA=，…∴．…（2）由余弦定理得：cosA==，∴b2+c2﹣a2﹣bc=0，∴3+c2﹣（﹣c）2=0，∴3﹣c2+3﹣=0，∴c=，…∴．…19．已知向量满足，||=1，|k+|=|﹣k|，k＞0．（1）求与的夹角θ的最大值；（2）若与共线，求实数k的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量的模，平方展开，推出向量的数量积，然后求解向量的夹角的最大值．（2）通过，说明与夹角为0或π，利用数量积列出方程求解即可．【解答】解：（1）即∴…..∵，当且仅当且k＞0即k=1时等号成立…..此时又y=cosθ在[0，π]上单调递减，从而…．（2）∵，∴与夹角为0或π，…又∵k＞0，∴…20．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形（△AMN和△A'MN）．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点M与点A，B均不重合，A'落在边BC上且不与端点B，C重合，设∠AMN=θ．（1）若，求此时公共绿地的面积；（2）为方便小区居民的行走，设计时要求AN，A'N的长度最短，求此时绿地公共走道MN的长度．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意可知A=，故△AMN为等边三角形，根据BM与AM的关系得出AM，代入面积公式计算；（2）用θ表示出AM，利用正弦定理得出AN关于θ的函数，利用三角恒等变换求出AN取得最小值对应的θ值，再计算MN的长．【解答】解：（1）∵△AMN≌△A'MN，∴∠AMN=∠A′MN=，∴∠BMA′=，∴BM=A′M=AM．∴AM==，∵AB=a，BC=，∠B=，∴∠A=，∴△AMN是等边三角形，∴S=2S△AMN=2×=．（2）∵∠BMA′=π﹣2θ，AM=A′M，∴BM=A′Mcos∠BMA′=﹣AMcos2θ．∵AM+BM=a，即AM（1﹣cos2θ）=a，∴AM==．在△AMN中，由正弦定理可得：，∴，令f（θ）=2sinθsin（﹣θ）=2sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ+=sin（2θ﹣）+．∵，∴当即时f（θ）取最大值，∴当θ=时AN最短，此时△AMN是等边三角形，．21．已知数列{a n}满足（n∈N*），a1=1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若记b n为满足不等式的正整数k的个数，数列{}的前n项和为S n，求关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）对条件式取倒数，移项即可得出﹣=，故而数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出即可得出a n；（2）根据不等式得出b n，利用错位相减法求出S n，从而得出S n＜4032的最大正整数解．【解答】解：（1）∵，∴﹣=1，即﹣=，又=1，∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）=n+，∴a n=．（2）∵（）n＜a k≤（）n﹣1，即（）n＜≤（）n﹣1，∴2n﹣1＜k≤2n+1﹣1，∴b n=2n+1﹣1﹣（2n﹣1）=2n，∴=（n+1）2n﹣1，∴S n=2•20+3•21+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，∴2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，两式相减得：﹣S n=2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）•2n=2+﹣（n+1）•2n，=﹣n•2n，∴S n=n•2n．∵S n+1﹣S n=（n+1）•2n+1﹣n•2n=（n+2）•2n＞0，∴{S n}单调递增，又S8=2048＜4032，S9=4608＞4032，∴关于n的不等式S n＜4032的最大正整数解为8．22．已知数列{a n}满足a1=1，点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=a1， =+…+（n≥2且n∈N*），求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）对于（2）中的数列{b n}，求证：（1+b1）（1+b2）…（1+b n）＜b1b2…b n（n∈N*）．【考点】8K：数列与不等式的综合；8H：数列递推式．【分析】（1）利用点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，可得a n+1+1=2（a n+1），从而可得{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列的通项公式；（2）确定=+，即可求b n+1a n﹣（b n+1）a n+1的值；（3）由（2）可知，（n≥2），b2=a2，证明…＜即可．【解答】（1）解：∵点（a n，a n+1）在直线y=2x+1上，∴a n+1+1=2（a n+1）∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2n﹣1；（2）解：∴=+∴b n+1a n﹣（b n+1）a n+1=0n=1时，b2a1﹣（b1+1）a2=﹣3；（3）证明：由（2）可知，（n≥2），b2=a2∴…=…=••…=2=2（+…+）∵k≥2时，∴+…+=+…+＜1+2[（）+…+（）]=1+2（）＜∴…＜∴．。

2017-2018学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+a4=（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣92．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（）A．ab2＜ab＜a B．a＜ab＜ab2C．ab＞b＞ab2D．ab＞ab2＞a3．（5分）若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）4．（5分）已知△ABC中，a=6，b=8，c=10，则其内切圆半径与外接圆半径分别等于（）A．2，5 B． C． D．5．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）在△ABC，内角A，B，C的对边a，b，c满足a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x+y的最小值为（）A．0 B．2 C．4 D．88．（5分）已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C 西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为（）A．km B．km C．km D．km9．（5分）对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0]B．（﹣8，0）C．（﹣8，0]D．[0，8）10．（5分）在等差数列{a n}中，a16＞0，a17＜0且a16＞|a17|，S n为数列{a n}的前n项和，则使S n＞0的n的最大值为（）A．31 B．32 C．33 D．3411．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣，a n=1﹣（n≥2，n∈N*），则a2018的值为（）A．B．5 C．D．12．（5分）已知正项等比数列{a n}（n∈N*）满足a2018=a2017+2a2016，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2，则S9=．14．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是．15．（5分）我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+2b2=3c2，则cosC 的最小值为．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C=120°．（1）求a；（2）求AB边上的高CD的长．18．已知函数f（x）=x2﹣ax （a∈R）．（1）若a=2，求不等式f（x）≥3的解集（2）若x∈[1，+∞）时，f（x）≥﹣x2﹣2恒成立，求a的取值范围．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足（1）求A的大小；（2）若a=10，，C角最小，求△ABC的面积S．20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额﹣成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．21．设数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=3x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求使得成立的最小正整数n．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=1+log2a n，（I）求数列{a n b n}的前n项和T n；（II）求的最小值．2017-2018学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+a4=（）A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣9【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是，则a1+a2+a3+a4=﹣1+4﹣7+10=6．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（）A．ab2＜ab＜a B．a＜ab＜ab2C．ab＞b＞ab2D．ab＞ab2＞a【分析】根据不等式的性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案．【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴0＜b2＜1，ab＞0，∴ab2＞a，ab2＜ab，ab＞a，∴ab＞ab2＞a，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度不大，属于基础题．3．（5分）若关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0的解集是（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【分析】根据不等式ax﹣1＞0的解集求得a的值，代入不等式（ax﹣1）（x+2）≥0即可求得解集．【解答】解：关于x的不等式ax﹣1＞0的解集是（1，+∞），∴ax＞1，∴=1，解得a=1；∴关于x的不等式（ax﹣1）（x+2）≥0化为（x﹣1）（x+2）≥0，解得x≤﹣2或x≥1，∴所求不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了一元一次、一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4．（5分）已知△ABC中，a=6，b=8，c=10，则其内切圆半径与外接圆半径分别等于（）A．2，5 B． C． D．【分析】根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，求出它外接圆的半径R，再利用等积法求出内切圆的半径r．【解答】解：△ABC中，a=6，b=8，c=10，满足a2+b2=c2=100，∴△ABC是直角三角形；∴外接圆的半径是R=c=5，设内切圆的半径为r，则（6+8+10）r=×6×8，解得r=2；∴△ABC内切圆半径与外接圆半径分别为2，5．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆半径的计算问题，是基础题．5．（5分）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由等比数列通项公式得a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，再由数列{a n}为正项等比数列，能求出a2+a6．【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．（5分）在△ABC，内角A，B，C的对边a，b，c满足a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为：A+B+C=π，所以：sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，可得：sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为：A、B、C是三角形内角，所以：B=C．所以：三角形是等腰三角形．故选：A．【点评】本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z=2x+y的最小值为（）A．0 B．2 C．4 D．8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（﹣1，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距直线，z有最小值为0．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．（5分）已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C 西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为（）A．km B．km C．km D．km【分析】根据题意求得∠ACB=150°，再利用余弦定理求得AB的值．【解答】解：由题意可得∠ACB=（90°﹣25°）+85°=150°，又AC=2，BC=，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos150°=13，∴AB=，故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，求得∠ACB=150°，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9．（5分）对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0]B．（﹣8，0）C．（﹣8，0]D．[0，8）【分析】当a=0时对于任意实数x不等式显然成立；当a≠0时，由二次不等式对应的二次函数的图象开口向下且判别式小于0列不等式组求解a的范围．【解答】解：当a=0时，不等式ax2﹣ax﹣2＜0化为﹣2＜0，此式显然成立；当a≠0时，要使对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立，则，解得：﹣8＜a＜0．综上，对一切实数x，不等式ax2﹣ax﹣2＜0恒成立的实数a的取值范围是（﹣8，0]．故选：C．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了由二次不等式成立求解参数的取值范围问题，是中档题．10．（5分）在等差数列{a n}中，a16＞0，a17＜0且a16＞|a17|，S n为数列{a n}的前n项和，则使S n＞0的n的最大值为（）A．31 B．32 C．33 D．34【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a16＞0，a17＜0，可得a1+15d＞0，a1+16d＜0，可得d＜0，a1＞0，由a16＞|a17|，可得a16+a17＞0，2a17＜0，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a16＞0，a17＜0，∴a1+15d＞0，a1+16d＜0，∴﹣d＞0，解得d＜0，∴a1＞0，∵a16＞|a17|，∴a16+a17＞0，2a17＜0，∴a1+a32＞0，a1+a33＜0．∴使S n＞0的n的最大值是32．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在数列{a n}中，a1=﹣，a n=1﹣（n≥2，n∈N*），则a2018的值为（）A．B．5 C．D．【分析】a1=﹣，a n=1﹣（n≥2，n∈N*），可得a n+3=a n．利用周期性即可得出．【解答】解：a1=﹣，a n=1﹣（n≥2，n∈N*），∴a2=1﹣=5，a3=1﹣=，a4=1﹣=﹣，……，=a n．∴a n+3∴a2018=a672×3+2=a2=5．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知正项等比数列{a n}（n∈N*）满足a2018=a2017+2a2016，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．2 B．C．D．【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再根据求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n}（n∈N*）满足a2018=a2017+2a2016，∴设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∴，化简得：q2﹣q﹣2=0，解得q=2或﹣1（舍负）．∵，∴，即，∴q m+n﹣2=16，即2m+n﹣2=16，∴m+n﹣2=4，m+n=6．则==≥=1+．当且仅当m=n时取“=”．即的最小值为1+．故选：B．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=2，则S9=18．【分析】由等差数列{a n}的性质得S9===9a5，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=2，∴S9===9a5=18．故答案为：18．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是4．【分析】画出可行域，判断直线y=﹣x+2，y=x+2的位置关系，然后求解直线y=﹣x+2，y=x+2及x=2围成的三角形，求这个三角形的面积即可．【解答】解：画出约束条件的可行域如图，直线y=﹣x+2，y=x+2，的斜率分别是1，﹣1，两条直线垂直，满足不等式组的平面区域为这两直线与x=2围成的三角形，AC=AB=2，∠BAC=90°三角形的面积为：×2×2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了二元一次不等式表示的可行域及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得求解．15．（5分）我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为．【分析】设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【解答】解：设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．则，解得．∴a2=．∴该女子第2天所织布的尺数为．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+2b2=3c2，则cosC的最小值为．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cosC的最小值．【解答】解：∵a2+2b2=3c2，∴c2=，∴cosC===≥=．故答案为：．【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C=120°．（1）求a；（2）求AB边上的高CD的长．【分析】（1）根据a，b，c成公差为2的等差数列，可得b=a+2，c=a+4，C=120°．由余弦定理即可求出a；（2）法一，三角形的面积公式得：求解即可；法二：利用正弦定理求解sinA，利用直角三角形的性质即可求解CD；【解答】解：（1）由题意，a，b，c成公差为2的等差数列，得b=a+2，c=a+4，由余弦定理得：，即a2﹣a﹣6=0，∴a=3或a=﹣2（舍去），∴a=3．（2）解法1：由（1）知a=3，b=5，c=7，由三角形的面积公式得：，∴，即AB边上的高．解法2：由（1）知a=3，b=5，c=7，由正弦定理得，即，在Rt△ACD中，，即AB边上的高．【点评】本题考查了等差的定义，正余弦定理和三角形面积公式的运用．属于中档题．18．已知函数f（x）=x2﹣ax （a∈R）．（1）若a=2，求不等式f（x）≥3的解集（2）若x∈[1，+∞）时，f（x）≥﹣x2﹣2恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）若a=2，f（x）≥3，即x2﹣2x﹣3≥0，解得答案；（2）f（x）≥﹣x2﹣2，即a≤2（x+）在x∈[1，+∞）时恒成立，构造函数h （x）=2（x+），求出最小值，可得a的取值范围．【解答】解：（1）若a=2，f（x）≥3，即x2﹣2x﹣3≥0即（x﹣3）（x+1）≥0所以{x|x≤﹣1或x≥3}…（6分）（2）解：f（x）≥﹣x2﹣2，即a≤2（x+）在x∈[1，+∞）时恒成立，…（8分）令h（x）=2（x+），等价于a≤h（x）min在x∈[1，+∞）时恒成立，…（10分）所以，当且仅当x=，即x=1时，取等号；所以a≤4．…（12分）故所求a的取值范围是a≤4．…（13分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，难度中档．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足（1）求A的大小；（2）若a=10，，C角最小，求△ABC的面积S．【分析】（1）利用正弦定理与三角形内角和定理，结合三角恒等变换求得A的值；（2）利用余弦定理求得c的值，再计算△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，由正弦定理得，=，所以sin Bcos A=cos Csin A+sin Ccos A，即sin Bcos A=sin（A+C）=sinB，因为B∈（0，π），所以sin B≠0，所以cos A=；因为A∈（0，π），所以A=；（2）由余弦定理及a=10，b=8，得102=（8）2+c2﹣2×8×c，解之得c=14（舍）或c=2；所以△ABC的面积为S=bcsin A=8．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是基础题．20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本C（x）万元，且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2018年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额﹣成本）（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和当x≥40两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜40时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥40时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．【解答】解：（1）当0＜x＜40时，L（x）=500x﹣10x2﹣100x﹣2500=﹣10x2+400x ﹣2500；当x≥40时，L（x）=500x﹣501x﹣++4500﹣2500=2000﹣（x+）；∴L（x）=．（2）当0＜x＜40时，L（x）=﹣10（x﹣20）2+1500，∴当x=20时，L（x）max=L（20）=1500；当x≥40时，L（x）=2000﹣（x+）≤2000﹣2=2000﹣200=1800；当且仅当x=，即x=100时，L（x）max=L（100）=1800＞1500；∴当x=100时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元．【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．设数列{a n}的前n项和为S n，点均在函数y=3x﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求使得成立的最小正整数n．【分析】（1）根据点均在函数y=3x﹣2的图象上，带入可得关系式，由a n=S n﹣S n﹣1，可得数列{a n}的通项公式；（2）由b n=，可得数列{b n}的通项公式；裂项相消可得{b n}的前n项和T n，即可求解；【解答】解：（1）∵点点在函数y=3x﹣2的图象上，∴，即S n=3n2﹣2n．∴a1=s1=1当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）=[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，当n=1时满足．∴数列{a n}的通项公式a n=6n﹣5．（2）由b n==，那么{b n}的前n项和T n=b1+b2+b3+……+b n=（1﹣+﹣++……+）=，因此，使得成立的最小整数n为9．【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消法是解决本题的关键．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=1+log2a n，（I）求数列{a n b n}的前n项和T n；（II）求的最小值．【分析】（1）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．可得n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1．n=1时，a1=2a﹣1，解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）（I）求数列{a n b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+……+n•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．（II）=，当且仅当时即时取等号，又因为n∈N*，不合题意．分别计算：当n=2时，当n=3时，的值即可得出．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣1（n∈N*）．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1．n=1时，a1=2a﹣1，解得a1=1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=1+log2a n=1+n﹣1=n．a nb n=n•2n﹣1．（I）求数列{a n b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+……+n•2n﹣1．2T n=2+2×22+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，相减可得：﹣T n=1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，解得．（II）=，当且仅当时即时取等号，又因为n∈N*，不合题意．当n=2时，，当n=3时，，所以当n=2取到最小值．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知，且，则tanφ=（）A．B．C．D．2．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a5=8，a7=2，则a11为（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，，则角B=（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量=（2，0），﹣=（3，1），则下列结论正确的是（）A．=2B．C．⊥（）D．||=|| 5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3+a8=12，S9=45，则a7=（）A．10B．9C．8D．76．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）设△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且向量，，若与共线，则角C的大小为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为，，则=（）A．﹣5B．﹣1C．﹣3D．﹣69．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）已知数列{a n}，{b n}是等差数列，其前n项和分别为S n，T n，且，则=（）A．B．C．D．11．（5分）设函数与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且是f（x）图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（）A．B．C．D．12．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，，则下列结论正确的是（）A．S2018=﹣2018，a2014＞a5B．S2018=2018，a2014＞a5C．S2018=﹣2018，a2014＜a5D．S2018=2018，a2014＜a5二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）﹣=．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，若则角C=16．（5分）△ABC中，，则△ABC的周长为．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）已知，求与的夹角；（2）已知，若，求实数λ的值．18．（12分）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的对称中心；（2）若对于任意的，都有|f（x）﹣m|≤1恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）设数列{a n}满足，a1=2，且．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项．（2）数列c n=2﹣3log3（a n﹣1），求数列的前n项和T n．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求边AB的长；（2）若点D是边BC上的一点，且△ACD的面积为，求∠ADC的正弦值．22．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0（1）求{S n}的通项公式；（2）求{a n}的通项公式；（3）设，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知，且，则tanφ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴cosφ==，则tanφ=．故选：C．2．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a5=8，a7=2，则a11为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a5=8，a7=2，∴，解得．∴a11==．故选：B．3．（5分）在△ABC中，，则角B=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，△ABC中，，变形可得=，又由正弦定理=，则有sinB=cosB，即tanB=，则B=，故选：A．4．（5分）已知向量=（2，0），﹣=（3，1），则下列结论正确的是（）A．=2B．C．⊥（）D．||=||【解答】解：根据题意，向量=（2，0），﹣=（3，1），则=（﹣1，﹣1），依次分析选项：对于A，•=2×（﹣1）+0×（﹣1）=﹣2，A错误；对于B，0×（﹣1）≠2×（﹣1），与不平行，B错误；对于C，+=（1，﹣1），•（+）=（﹣1）×1+（﹣1）×（﹣1）=0，则⊥（+），C正确；对于D，||=2，||==，D错误；故选：C．5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3+a8=12，S9=45，则a7=（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a8=12，S9=45，∴2a1+9d=12，9a1+d=45，联立解得：a1=﹣3，d=2．则a7=﹣3+2×6=9．故选：B．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=4+c2﹣2×2×c×，即：c2﹣2c+1=0，∴解得：c=1，∴S=bcsinA==．△ABC故选：C．7．（5分）设△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且向量，，若与共线，则角C的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，向量，，与共线，∴，整理，得a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC===﹣，∴C=．故选：D．8．（5分）如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为，，则=（）A．﹣5B．﹣1C．﹣3D．﹣6【解答】解：如图，作=，∵由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为，，∴||==，||==，cos＜＞=﹣cos∠ABE===﹣，∴=||•||cos＜＞==﹣1．故选：B．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数的图象可得A=1，由=•=﹣，可得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π 求得φ=，故函数的解析式为f（x）=sin（2x+）．由f（x）=sin（2x+）=cos（﹣2x）=cos2（x﹣），故将f（x）的图象向左平移个单位，即可得到g（x）=cos2x的图象．故选：A．10．（5分）已知数列{a n}，{b n}是等差数列，其前n项和分别为S n，T n，且，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}是等差数列，其前n项和分别为S n，T n，且，∴=======．故选：C．11．（5分）设函数与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且是f（x）图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，A=3，函数f（x）的周期为，求得ω=2，且A=3，再由2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，结合|φ|≤，可得φ=，∴f（x）=3sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故区间[，]不是函数的增区间．故选：D．12．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，，则下列结论正确的是（）A．S2018=﹣2018，a2014＞a5B．S2018=2018，a2014＞a5C．S2018=﹣2018，a2014＜a5D．S2018=2018，a2014＜a5【解答】解：∵等差数列{a n}前n项和为S n，，∴设f（x）=x3+2018x，则f（﹣x）=﹣x3﹣2018x=﹣f（x），且f（x）是增函数，又，∴1+a5=﹣1﹣a2014＞0，∴a5+a2014=﹣2，a2014＜a5，∴S2018===﹣2018．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）﹣=．【解答】解：cos2﹣sin2=cos（2×）=cos=．故答案为：14．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为a n=【解答】解：数列{a n}的前n项和，可得n=1时，a1=S1=++3=6；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+3﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）﹣3=n+2．则a n=．故答案为：a n=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，若则角C=【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，∴=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sin2C，∴A+B=2C，∴角C=．故答案为：．16．（5分）△ABC中，，则△ABC的周长为8+．【解答】解：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，==bc•sinA，可得bc=15，再由S△ABC∴解得：b=3，c=5．又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=19，解得：a=．∴三角形的周长a+b+c=．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）已知，求与的夹角；（2）已知，若，求实数λ的值．【解答】解：（1），，cos，∴与的夹角为．（2）λ，，即（λ﹣4）×1+（λ+6）×1=0，解得λ=﹣1．18．（12分）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．19．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的对称中心；（2）若对于任意的，都有|f（x）﹣m|≤1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）=．令，得，∴f（x）的对称中心为；（2）由|f（x）﹣m|≤1，得恒成立，∵，∴，由m≤f（x）+1恒成立，得；由m≥f（x）﹣1恒成立，得．综上，．20．（12分）设数列{a n}满足，a1=2，且．（1）求证：数列{a n﹣1}为等比数列，并求数列{a n}的通项．（2）数列c n=2﹣3log3（a n﹣1），求数列的前n项和T n．【解答】证明：（1）∵a n=a n﹣1+，n≥2，∴a n﹣1=（a n﹣1），n≥2，﹣1∵a1﹣1=2﹣1=1≠0，∴∴数列{a n﹣1}是以1为首项，为公比的等比数列，∴a n﹣1=（）n﹣1，∴a n=（）n﹣1+1，n∈N*解：（2）c n=2﹣3log3（a n﹣1）=2+3（n﹣1）=3n﹣1，∴，∴21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求边AB的长；（2）若点D是边BC上的一点，且△ACD的面积为，求∠ADC的正弦值．【解答】解：（1）∵，，∴B=C，∴b=c=2．（2）∵，∴解得：，∴在△ACD中，由余弦定理得：，可得：，∴在△ACD中，由正弦定理得：．22．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0（1）求{S n}的通项公式；（2）求{a n}的通项公式；（3）设，若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围【解答】解：（1），∴，∴，∵S1=a1=1满足上式，∴（2）n≥2时，当n=1时，a1=1符合上式，∴（3），∵{c n}是递减数列∴∀n∈N*，c n+1＜c n，即，∴只需设数列{t n}的通项公式，∴=，∴n＞2时，t n﹣t n﹣1＜0，即t n＜t n﹣1当n=2时，t2=t1所以{t n}的最大项为，∴．。

湖北省咸宁市通城二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共50分）1．若等差数列{a n}的前三项和S3=15，则a2等于（）A．3B．4C．5D．62．在等比数列{a n}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前12项和为（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣3．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2β）的值为（）A．B．C．D．5．函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6．α，β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ的值是（）A．﹣B．C．D．7．已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．（）n﹣1C．（）n﹣1D．9．已知f（x）=sin2（x+）+2若a=f（lg5），b=f（lg），则a+b=（）A．3B．4C．5D．610．若f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为常数）在[0，]上的最小值为﹣3，则a的值为（）A．4B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=．12．设△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则sinB=．13．数列{a n}的通项公式a n=cos，其前n项和为S n，则S2015等于．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=．15．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=．三、解答题16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．17．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间．19．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的动点，（1）求的值（2）求的最大值．20．在△ABC中，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．21．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．湖北省咸宁市通城二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题（每小题5分，共50分）1．若等差数列{a n}的前三项和S3=15，则a2等于（）A．3B．4C．5D．6考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得S3=3a2，解方程可得．解答：解：∵等差数列{a n}的前三项和S3=15，∴S3===3a2=15，∴a2=5，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．在等比数列{a n}（n∈N*）中，若a1=1，a4=，则该数列的前12项和为（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的求和公式进行计算即可．解答：解：由a4==q3，得q=，则数列的前12项和S==2﹣，故选：D点评：本题主要考查等比数列的求和公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．3．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题4．已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2β）的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角差的正切公式求得tan（2β）=tan[（α+β）﹣（α﹣β）]的值．解答：解：∵tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2β）=tan[（α+β）﹣（α﹣β）]===﹣，故选：D．点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．5．函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：函数解析式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出函数的最小正周期，根据正弦函数为奇函数，即可得到正确的选项．解答：解：y=﹣sin2xcos2x=﹣sin4x，∵ω=4，∴T==，又正弦函数为奇函数，则函数为周期是的奇函数．故选C点评：此题考查了二倍角的正弦，正弦函数的奇偶性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．6．α，β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则cosβ的值是（）A．﹣B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由α，β都是锐角求出α+β的范围，由题意和平方关系求出cosα和sin（α+β），由两角差的余弦公式求出cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值．解答：解：∵α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），∵sinα=，cos（α+β）=﹣，∴cosα==，sin（α+β）==，∴cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=，故选：A．点评：本题考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，注意角之间的关系以及三角函数值的符号，属于中档题．7．已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式可得sin（x+）=a﹣，再由﹣1≤sin（x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解不等式求得a的取值范围．解答：解：∵已知sinx+cosx=2a﹣3，∴sinx+cosx=a﹣，即sin（x+）=a﹣．再由﹣1≤sin（x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解得≤a≤，故选A．点评：本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则S n=（）A．2n﹣1B．（）n﹣1C．（）n﹣1D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由S n=2a n+1，可得S n=2（S n+1﹣S n），化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵S n=2a n+1，∴S n=2（S n+1﹣S n），化为，∴数列{S n}是等比数列，首项是1∴S n=．故选：B．点评：本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式及其前n项和公式，属于基础题．9．已知f（x）=sin2（x+）+2若a=f（lg5），b=f（lg），则a+b=（）A．3B．4C．5D．6考点：函数的值；二倍角的正弦．专题：函数的性质及应用．分析：首先对f（x）利用倍角公式化简为+sin2x，又因为lg=﹣lg5，代入解析式得到所求．解答：解：由已知f（x）=sin2（x+）+2=﹣cos（2x+）=，又a=f（lg5），b=f（lg），所以a+b=5+sin（2lg5）+sin（2lg）=5+sin（2lg5）+sin（﹣2lg5）=5；故选：C．点评：本题考查了三角函数的倍角公式、诱导公式、互为倒数的两个正数的同底数的对数互为相反数；注意符号．10．若f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为常数）在[0，]上的最小值为﹣3，则a的值为（）A．4B．﹣3 C．﹣4 D．﹣6考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：直接结合三角恒等变换公式化简，然后，结合[0，]求得2x+的范围，借助于三角函数的单调性确定sin（2x+）的最小值，得2×=﹣3，即可解得a的值．解答：解：∵函数f（x）=2cos2x+sin2x+a=cos2x+sin2x+a+1=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）min=2×=﹣3，∴解得：a=﹣3．故选：B．点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据a4+a6=2a5=求得a5的值，再根据，进而求得a1，进而根据求得d．解答：解：a4+a6=2a5=6∴a5=3，∴故答案为点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．12．设△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据余弦定理，正弦定理进行求解即可．解答：解：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣2×=4，即c=2，则cosB===，则sinB==，故答案为：点评：本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理是解决本题的关键．13．数列{a n}的通项公式a n=cos，其前n项和为S n，则S2015等于﹣1．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意可得数列为周期为4的周期数列，计算前4项的值可得．解答：解：∵=4，∴函数y=cos的周期为4，∴数列a n=cos为周期为4的周期数列，计算可得a1=0，a2=﹣1，a3=0，a4=1，∴S2015=503×（0﹣1+0+1）+（0﹣1+0）=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查数列求和，涉及数列的周期性，属基础题．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q 解答：解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为1 15．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．三、解答题16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作①，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a与c的值．解答：解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，∵A为三角形的内角，∴sinA≠0，∴sinB=cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，∴B=；（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a①，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：9=a2+c2﹣ac②，联立①②解得：a=，c=2．点评：此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．17．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由=a1 S k+2 ，求得正整数k的值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴{a n}的通项公式a n =2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1）．∵若a1，a k，S k+2成等比数列，∴=a1 S k+2 ，∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故k=6．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）画出函数的图象，根据图象写出函数f（x）的单调区间．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当x＜0时，﹣x＞0，由奇函数可得此时解析式，又可得f（0）=0，综合可得；（2）由分段函数解析式可得图象，可得单调递减区间．解答：解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，当x＜0时，﹣x＞0，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（）﹣x=﹣2x．∴函数的解析式为f（x）=（2）函数图象如图所示：通过函数的图象可得f（x）的单调递减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．点评：本题考查函数的解析式的求解，涉及函数的奇偶性和单调性，属基础题．19．已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的动点，（1）求的值（2）求的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）设∠ADE=θ，根据平面向量的数量积公式得到所求；（2）设∠EDC=α，由数量积公式分析的最大值的意义．解答：解：（1）设∠ADE=θ，根据平面向量的数量积公式=，由正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的动点可知，，因此；（2）设∠EDC=α，=2，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以的最大值为2．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；熟练掌握公式是关键．20．在△ABC中，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）根据商的关系、两角和的正弦公式化简已知的式子后，利用正弦定理和等比中项的性质证明结论；（Ⅱ）由条件和余弦定理求出cosB的值，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积S．解答：证明：（Ⅰ）由已知得：sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，∴sinB（+）=，∴sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，又sinB=sin（A+C），则sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列．解：（Ⅱ）∵a=1，c=2，∴b2=ac=2，由余弦定理得，，由0＜C＜π得，，∴△ABC的面积．点评：本题考查正弦、余弦定理的灵活应用，同角三角函数的基本关系，等比中项的性质等，注意三角形内角的范围，属于中档题．21．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．。

湖北省荆州市沙市2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：每小题5分，共60分.1.已知3sin ,5ϕ=-且π,2ϕ<则tan ϕ=（ ）A.43-B. 43C.34-D. 342. 已知数列{}n a 是等比数列，578,2,a a == 则11a 为（ ）A.14 B. 18 C. 116D. 132 3. 在ABC ∆中,cos bB =则角 B =（ ） A.π6 B. π3 C . 2π3 D. π44.已知向量(2,0),(3,1),a a b =-=则下列结论正确的是（ ） A.=2a b ⋅ B. //a b C. (+)b a b ⊥ D. =a b5. 已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若389+12,45,a a S ==则7=a （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 76. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c π=,2,3A b a ==则ABC ∆的面积为（ ）A.B.3 C .2 D. 47.设ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且向量(,),p a c b =+(+,),q b a c a =-若p 与q 共线，则角C 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π38.如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为π,3=,,a ABb CD=则=a b⋅（）A．5-B．1-C．3-D．6-9.函数()sin()f x A xωϕ=+（其中π0)2A,φ><）的图象如图所示，为了得到()cosg x xω=的图象，则只要将)(xf的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度10.已知数列{},{}n na b是等差数列，其前n项和分别为,,n nS T且31,2nnS nT n+=+则77ab=（）A.229B.4617C .83D.5411.设函数π()=sin()(0,0,)2f x A x Aωϕωϕ+>>≤与直线3y=的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且π6x=是()f x图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（）A ．π[-,0]3B ．4π5π[-,-]36C ．2π7π[,]36D ．5ππ[-,-]6312.等差数列{}n a 前n 项和为,n S 355(1+)2018(1+)1,a a +=320142014(1+)2018(1+)a a +1,=-则下列结论正确的是（ ）A ．201820145=2018,S a a ->B ．201820145=2018,S a a >C ．201820145=2018,S a a -<D ．201820145=2018,S a a <二、填空题：每小题5分，共20分. 13.22ππcos sin 88-= __________. 14.已知数列{}n a 的前n 项和215322n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为__________. 15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,,a b c (sin ,sin ),(cos ,cos ),m A B n B A ==若sin 2m n C ⋅=则角=C __________.16.ABC ∆中，=π,3sin ,3ABC A S B C ∆==则ABC ∆的周长为__________. 三、解答题（共70分）17.（10分）（1）已知(1,3),(31,31),a b ==+求a 与b 的夹角； （2）已知(1,1),(2,3),a b ==-若(2),a b a λ-⊥求实数λ的值．18.（12分）已知tan ,tan αβ是方程2(1)10x p x +++=的两根，+(0,π).αβ∈（1）求+αβ；（2）若π3πcos(),(,),1024θαβθ--=∈求sin θ.19.（12分）已知函数23π())sin()cos 12f x x x x π=-+-+ （1）求函数()f x 的对称中心；（2）若对于任意的ππ[,],122x ∈-都有()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围.20. （12分）设数列{}n a 满足1,2a =，且112(2).33n n a a n -=+≥ （1）求证：数列{}1n a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项.（2）数列323log (1)n n c a =--，求数列+11{}n n c c ⋅的前n 项和.n T21. （12分） 在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c且2π,cos .32,B C b A == （1）求边AB 的长；（2）若点D 是边BC 上的一点，且ACD ∆求ADC ∠的正弦值.22. （12分）已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n S 的通项公式； （2）求{}n a 的通项公式； （3）设2n n n n c a λ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围【参考答案】一、选择题16:CBACBC712:DBDCDC --二、填空题13.2 14. 6,1=+2,2n n a n n =⎧⎨≥⎩ 15. π316.8+三、解答题17. 解：（1）1(31)1)4a b ⋅=⨯+=，=2(31)a b =+， 2cos =,2a b a b a b⋅=，夹角为π.4（2）2=(4,6)a b λλλ--+，(2)=0a b a λ-⋅，即(4)1+(6)1=0=1λλλ-⨯+⨯-，18.解：（1）由题tan +tan tan tan +1p p αβαβ=-⋅=，，tan tan tan()=11tan tan 1(1)pp αβαβαβ+-+==-⋅-+因为+(0,π)αβ∈，所以π+.4αβ=（2）ππ3ππππcos(),(,),(,)41024442，θθθ-=∈-∈得πsin()410θ-=ππsin =sin[()]44ππππ4=sin()cos +cos()sin 4444210105θθθθ-+--=19.解：（1）23π()π)sin()cos 12f x x x x =-+-+111π1sin )(cos )(1cos 2)12cos 2sin(2)222262x x x x x x ---++=-+=-+令π2=π6x k -得ππ=()212k x k +∈Z 对称中心为ππ1(,)()2122k k +∈Z （2）因为()1f x m -≤，所以()11()1()1m f x f x m m f x ≤+⎧-≤-≤⇒⎨≥-⎩恒成立ππππ5ππ[,],2[,],sin(2)[12263662x x x ∈--∈--∈-13()[]22f x ∈ ()1m f x ≤+恒成立，min 13()122m f x -≤+=()1m f x ≥-恒成立，max 31()11=22m f x ≥-=-综上12m ≤≤ 20. 解：（1）11112111(2)1(1)33333n n n n n a a n a a a ---=+≥⇒-=-=- 11=1010n a a -≠⇒-≠，111(2)13nn a n a --=≥- 所以数列{}1n a -是以1为首项，13为公比的等比数列，11111=(),=()1()33n n n n a a n --*-+∈N .（2）323log (1)23(1)31n n c a n n =--=+-=-，+111111=()(31)(32)33132n n c c n n n n =-⋅-⋅+-+，111111111111=()+()++()=()=3253253313232322(32)n n T n n n n -----+++. 21. 解（1）πcos 3sin cos()3sin 3B C C C =⇒-=133πcos sin 3sin tan ,26C C C C C ⇒+=⇒==， 2B C b c =⇒==.（2）1π33=sin 26ACD S b CD ∆⨯⨯⨯=， 在ACD ∆中，由余弦定理得2223333π7=2+()22cos 64AD -⨯⨯⨯=，7AD =， 在ACD ∆中，由正弦定理得27sin sin sin AD AC ADC C ADC =⇒∠=∠，22. 解：（1）()11330n n n n S n nS n S S n+++-+=⇒=， 12121121411n n nn n n S S S S n n S S S S n n----++∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-， ()()()()12121(2)326n n n n n n n S n S ++++∴==≥⋅ ， 111S a ==满足上式，()()216n n n nS ++∴=.（2）2n ≥时，()()()()()112111662n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=-=，当1n =时，11a =符合上式()12n n n a +∴=.（2）解：()2222112n n n n n n n c n n a n λλλ=-=-=-++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， {}n c 是递减数列，n *∴∀∈N ，1n n c c +<即+1222221n n n n λλ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭424222121n n n n λλλ⇒-<-⇒>-++++， ∴ 只需max4221n n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭，设数列{}nt 的通项公式4221n t n n =-++， ()14242462221121n n t t n n n n n n n n-⎛⎫∴-=---=-+≥ ⎪+++++⎝⎭ ()()()()()()()()4162212421212n n n n n n nn n n n n n +-++++-==++++，2n ∴>时，10n n t t --<，即1n n t t -<，当2n =时，21t t =，所以{}n t 的最大项为2113t t ==， 13λ∴>.。