数学奥林匹克高中训练题_121_
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3- 8 3+ 8 . , 5 5 1 - 2 sin θ 7 - 6 sin θ + 4 + 2cos θ + 4
2
注意到
) = f (θ
由于 Δ < 0, 则 y ′ > 0 恒成立 . 故 y = 2 x + 7 x + 28 x + 3 在 R 上单调递 增 , 不满足定义 .
7. 5.
.
7 4
cot A・ cot B + cot B・ cot C + cot C ・ cot A = 1,
30
3 , + ∞ 上单调递增 , 在 3
3 3 上单调 , 3 3
递减 , 满足定义 . 3 2 ③y = 2 x - 3 x - 6 x - 1. 注意到 y ′ = 6x - 6x - 6 > 0 Ζx
2
74 37 ξ= 5 × = . 因此 , E 100 10 2. 4 3
ab .
2
M ( m , 0 ) ( 0 < m < a ) 是一个动点 . 令 f ( m ) 是
以点 M 为圆心 、 与椭圆 C 相切的半径最小的 圆的半径 . 求 f ( m ) .
3 2 11. ( 15 分 ) 已知方程 8 t - 4 t - 4 t + 1 =
( - ∞, m ) ∪ ( n, + ∞) .
2
其中 , 可令
A、 B 、 C 为 △AB C 的三个内角 ,
x = cot A, y = cot B , z = cot C,
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中 等 数 学
其中 ,
A≤
B≤
C ≤ 为一个非钝角
2
意一点为 P ( x0 , y0 ) . 则
2 2 2
x0 a
2
2
又 A ( 0, - 1 )是定点 , B 为以点 ( - 2, - 1 ) 为圆心 、 2为半径的圆上的点 . 所以 , 由几何知识易知 cos 〈OA, OB 〉 的 取值范围是
6. ①②③.
( 2, + ∞) 上 ①y = x | x - 2 |在 ( - ∞, 1 ) 、 单调递增 , 在 ( 1, 2 ) 上单调递减 , 满足定义 . 3 ②y = x - x + 1. 2 注意到 y ′ = 3x - 1 > 0
AC ) 的外接圆 Γ 上 , 劣弧 B C中点为 D , 点 E、 F
设
O 的内接三角形为 △AB C.
显然当 △AB C 是锐角或直角三角形时 , 面积可以取最大值 (因为若 △AB C 是钝角三 角形 , 可将钝角 (不妨设为 A ) 所对边以圆心
). 为对称中心作中心对称成为 B ′ C′
分别在劣弧 BD、 劣弧 AB上 , △AB E 和 △ACE 的内心分别为 P、 Q. 已知
综上所述 , 所有满足条件的实数 a 的值 为 2013 和 2 109. (周东庭 汪伟林 湖北省黄冈市浠水 县实验中学 , 438200 )
42
中 等 数 学
二、 解答题 (共 44 分 )
9. ( 14 分 )设 x、 y、 z为非负实数 , 满足
xy + yz + zx = 1.
{ 1, 2, …, 100 }中合数共有 74 个 , 设 ξ 为
相同 ) . 则 取 到 合 数 的 个 数 的 数 学 期 望 是
.
+ ∞) 上单调递增 , 在 ( a, b) 上单调递减 .
则以下函数是好函数的有
ab 可由圆的面积
3
.
2. 椭圆面积公式 S =
①y = x | x - 2 | , ②y = x - x + 1, ③y = 2 x - 3 x - 6 x - 1, ④y = 2 x + 7 x + 28 x + 3.
7. p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = p6 的正质数解
( p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 ) 有
2 2 2 2 2 2 7 4 3 2
公式 S =
r 得出 : 只需将圆沿着一个方向
2
“ 拉长 ” 即可 . 仿此 , 若一个椭圆半长轴 、 半短 轴分别为 a、 b, 将其以长轴为轴旋转 , 得到 的“ 椭球 ” 的体积为 的最大值是
显然只有 p5 = 3, p6 = 5. 由此知所有质数解的组数是 C5 = 5.
8. 3 8 . , 5 5
个矮且视力不好的学生数是 4, 个高且 视力好的学生数是 6, 其余同学有 30 人 . 最后一排空两个位子的方法数是 C7 , 其 中 , 2 的幂是 0; 排个矮且视力不好的学生的方法数是
当且仅当 p = 2 时 , p ≡4 ( mod 8 ) , 所以 , p1 、
p2 、 p3 、 p4 、 p5 中必有 4 个 2 (不妨设为 p1 、 p2 、 p3 、 p4 ) , 另一个是奇质数 , 且 p6 是奇质数 .
2 2 故 16 = p6 - p5 = ( p6 + p5 ) ( p6 - p5 ) .
5.
n- 1
( n, + ∞ ) 上单调递增 , 在 ( m , n ) 上单调递
2 2
n - 1 1- n n- 1 =2 + . n n
减 , 满足定义 . ④y = 2 x + 7 x + 28 x + 3. 注意到 y ′ = 14 x + 28 x + 28
3 2 3 = 14 ( x ) + 28 x + 28. 6 3 7 4
(因为 Δ > 0, 所以 , 存在 m 、 n 为 6x -
2
6 x - 6 = 0 的两实根且 m < n. )
3 2 故 y = 2 x - 3 x - 6 x - 1 在 ( - ∞, m ) 、
故 { bn } 是以 1 为首项 、 2 为公比的等比 数列 . n- 1 因此 , bn = 2 . 故 an = 2
. n - 2n - 2 . 2 n +n
3
.
组.
3. 半径为 R 的圆的内接三角形的面积
8. 某班教室桌椅 6 排 7 列 , 有 40 名同
学 . 空出最后一排的某两个位置 , 其余人按身 高和视力排座位 . 班中有 24 人身高高 , 有 18 人视力好 , 其中 , 有 6 名同学同时具备此两个 条件 . 已知若一名同学个子矮视力又不好 , 则 他必须坐在前三排 ; 若一名同学个子高视力 又好 , 则他必须坐在最后三排 . 设排座位的方
4
4. 已知 a1 = 1, an + 1 = 2 an +
则 { an }的通项公式为
5. f (θ) =
.
1 - 2sinθ 7 - 6 sin θ+ 4 +2 cos θ+
法是 A, 则 A 的质因数分解中的 2 的次数是
.
的取值范围是 偶数 ) .
.
条件 ;
2
于是 , a = k + 2 009. 又 Δ = a - 2 009 - 4 ×
2
2
2
= - ( k + 2 009 ) - 2 009 + 2 × 2 061 = - k + 104 ≥0.
2
解得 -
104 ≤k ≤ 104.
2 109, 这时方程为 x + 10 x + 24 = 0, 其根为
x1 = - 4, x2 = - 6, 也符合题设条件 .
2
由 k ≥0, 知 0 ≤k ≤ 104 ( k 为偶数 ) . 则 k = 0, 2, 4, 6, 8, 10. ( 1 ) 当 k = 0, 4, 6, 8 时 , Δ 都不是完全平 方数 , 原 方 程 都 没 有 整 数 根 , 不 符 合 题 设
B FD = PFQ.
求证 :直线 A F、 PQ 、 D E 三线共点 .
( 50 分 ) 已知实数 a、 二、 b、 c、 t, 满足 a、 b、 c ( t, t + 1 ) ( t > 0 ) . 求证 :
因此 , S △AB ′ C ′ > S △AB C . α, 下面设 AOB = 2
2
+
y0 b
2
2
= 1. 从而 ,
2
△AB C 的三个内角 . 设
t A = t - α, , B = t +α, C=
- 2 t,
M P = ( x0 - m ) + y0 = ( x0 - m ) + 1 -
x0 a
2
2
b
2
4
3
z
,α
[ 0, t) . 则
= 11 cot A + cot B
b 2 2 2 +b 2 x0 - 2m x0 + m a
2
( 2 ) 当 k = 2 时 ,Δ = 100, a = k + 2 009 = a - 2 061
2
2 013. 这时方程为 x + 2 x - 24 = 0, 其根为 x1 = 4, x2 = - 6, 符合题设条件 ;
( 3 ) 当 k = 10 时 , Δ = 4, a = k + 2 009 =
β BOC = 2 ,
1
( a - b + 1) ( b - a + 2)
γ,α +β +γ = . COA = 2
+ +
则 S△AB C =
1
