函数的定义域和值域知识点总结

函数的定义域和值域知识

点总结

Last updated on the afternoon of January 3, 2021

函数定义域的几种求法：

一、 已知复杂函数，求f （x ）

例1. 若函数f(x+1)的定义域是[-2,3]，求f(x)的定义域

例2. 若f(√)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域

总结：

二、已知简单函数f(x)，求复杂函数

例1.若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x+2)的定义域

总结：

三、综合一和二，求函数的定义域

例1.若函数f(x+1)的定义域是[-2,3],求函数f(2x-1)的定义域

四、当定义域为R 时，求未知数的取值范围

例1.已知函数y=√mx2−6mx +m +8的定义域为R ，求m 的取值范围

例3. 已知函数y=√ax2+4ax+33

的定义域为R ，求实数a 的取值范围 总结：

函数值域

基本初等函数的定义域和值域

1. 一次函数f(x)=k x+b(k ≠0)的定义域是R ，值域是R

2. 反比例函数f(x)=k x (k ≠0)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),值域是(-∞,0)∪(0,+∞)

3. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a ≠0)的定义域是R 。 当a>0时，值域是[f(-b 2a ),+∞);当a<0,时，值域是(-∞,f(-b 2a )]

函数值域的常用方法：

一、利用简单函数值域求复杂函数值域

例1．求函数y=√的值域

解：已知√0，所以√-1≧-1，所以函数y=√-1的值域为[-1,+∞] 例2．求函数y=- x 2的值域例3.求函数y=√4−x2的值域

例4.求函数y=1x +1的值域例5.求函数y=6x +1的值域

二、配方法

例6．求函数y= x2-4x+5的值域例7.求函数y= x2-6x+10的值域

解：y= x2-4x+5=(x-2)2+1≧1

所以，函数y= x2-4x+5的值域为[1,+∞)

例8.求函数y=8x2−4x+5的值域

三、将函数形式变成x=()y 的形式，利用已知函数值或者Δ的取值范围来判定 例9．求函数y=2x2+4x−7x2+2x+3的值域

解：函数变形：y x2+2yx+3y=2 x2+4x-7即：(y-2) x2+2(y-2)x+3y+7=0

当y=0时，显然不成立；

当y ≠0时，上式可以看作是关于x 的一元二次方程，由于定义域x ∈R ，则有Δ≧0，

即：Δ=4(y-2)2-4(y-2)(3y+7)≧0

所以2y 2+5y-18≦0,解得：-92≦y ﹤2(x=2舍去)

所以函数y=2x2+4x−7x2+2x+3的值域为[-92,2）