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防灾科技学院
2010~2011学年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）
使用班级本科各班适用 答题时间120分钟
一 、
填空题（每题3分，共21分）
1、设“甲地发生春季旱情”=A 、“乙地发生春季旱情”=B 是两个随机事件，且4/1)(=A P
，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则情”“甲或乙地发生春季旱=
C 发生的概率为 1/3 ；
2、已知10张奖券中有2张有奖的，现有两人购买，每人买一张，则其中恰有一人中奖的概率为 16/45 ；
3、设某批电子元件的正品率为5/4，次品率为5/1，现对这批电子元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数的分布律为
,2,1,5
4
51}{1
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k X P k ； 4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数X 服从参数为20=λ泊松分布，则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为201--e ；
5、设随机变量X 在]6,1[上服从均匀分布，则方程012
=++Xx x 有实根的概率为 4/5或0.8
；
6、设X 和Y 相互独立，且分别服从参数为3和5的泊松分布，则Y X +服从参数为 8 的泊松分布；
7、设样本4321,,,X X X X 为来自总体)1,0(N 的样本，()3
/24
2322
1
X
X X
X Y ++=
，则Y 服
从)3(t 。
二、单项选择题（本大题共7小题，每题3分，共21分）
1、袋中有5个球（3个红球，2个白球），每次取1个，无放回地抽取两次，则第二次取到红球的概率为（ A ）
(A) 53； (B) 43； (C) 21； (D) 10
3；
2、设随机变量X 的概率分布律为 ,2,1,0,}{=>==k b b k X P k λ，则参数=λ（ C ）
(A) 0>λ的任意实数； (B) 1+=b λ； (C) 11+=
b λ；(D) 1
1
-=b λ； 3、设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞+=x x x f ,)
1(1
)(2
π，则X Y 2=的概率密度为（ B ）
（A ）
)41(12y +π；（B ）；)4(22y +π（C ） )
1(12
y +π；（D ） y arctan 1
π； 4、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≤≤=.
0,0,
10,3)(2x x x x f ，则=)(X E （ C ）
(A) 0 ； (B) 1； (C)
4
3
； (D) 3； 5、设随机变量X 与Y 相互独立，其方差分别为6和3，则=-)2(Y X D （ D ）
（A ）9； （B ）15； （C ）21； （D ）27；
6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体)2,1(2N 的简单随机样本，X 为样本均值，则下列统计量服从标准正态分布的是（C ）
（A ）
21-X ； （B ）41
-X ； （C ）n X /21-； （D ）2
1-X ； 7、总体21,X X 是取自总体))(1,(未知μμN 的一个样本，下列四个估计量均为μ的无偏估计，则其中最有效的是 ( D )
)(A 1X ； )(B 213132X X +；)(C 214143X X +； )(D 212
1
21X X +.
三、
7分，共14分。） 1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”
和“—”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台未必收到“·”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”，求：（1）收报台收到信号“·”的概率；（2）当收报台收到信号“·”时，发报台是发出信号“·”的概率。
解：设 A =“发出信号‘’”， B =“发出信号‘—’”， C =“收到信号‘·’”，已知6.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)(=A C P ，1.0)(=B C P …………… (3分) （1）由全概率公式
52.01.04.08.06.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B C P B P A C P A P C P ……… (2分) （2）由Bayes 公式 13
12
52.08.06.0)
()()()(=⨯=
=C P A C P A P C A P …… (2分) 2、随机变量X 的概率密度为
+∞<<-∞=-x Ae x f x
,)(，
求（1）常数A ； （2）}10{<解：（1）[
]
A Ae
dx e A dx Ae
dx x f x x
x
222)(10
=-====+∞
-∞+-∞+∞
--∞+∞
-⎰
⎰
⎰
，
∴ 2
1
=A ………………………………（2分）
（2）.2
121}10{110---=
=<<⎰e dx e X P x
……………………（2分） （3）当01
21)()(===⎰⎰∞-∞-，当0≥x 时，
x x
t t x t t x e e e dt e dt e dt t f x F --∞--∞-∞--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+==⎰⎰⎰21121212121)()(0
000，
X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-.
0,1,0,
)(2121x e x e x F x
x ………………………………（3分）
四、
（本大题共2小题，每题7分，共14分。） 1、盒子里有3只红球，2只白球，在其中不放
回任取2次，每次任取1只。定义随机变量⎩⎨⎧=，第一次取得白球；，第一次取得红球，
10X ，
⎩⎨⎧=，第二次取得白球；，第二次取得红球，
1
0Y ，求（1）二维随机变量),(Y X 的联合分布律；（2）
求}{Y X P =；（3）Y X ,是否相互独立。
解：（1）1034253}0,0{=⋅===Y X
P ，10
3
4352}0,1{=⋅===Y X P
1034253}1,0{=⋅===Y X P ，10
1
4152}1,1{=⋅===Y X P ………（3分）
（2）4.0}1,1{}0,0{)(===+====Y X P Y X P Y X
P ………………（3分）
（3）因为}0{}0{3.0}0,0{==≠===Y P X P Y X P ，Y X ,不相互独立。（1分）
2、已知随机变量X 的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.
,0,0,2
cos 21
)(其他πx x x f （1）求X 的分布函数).(x F
（2）现对X 独立地重复观察4次，以Y 表
示大于6/π的次数，求Y 的分布律。
解：（1）因为 当0≤x 时，00)(==
⎰
∞
-x
dx x F ，当π≤≤x 0时，
2s i n 2s i n 2c o s 210)(0
0x x dx x dx x F x
x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=+=⎰
⎰∞
-，当π>x ， 1)(=x F ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.1
0,2sin ,
0,0)(ππx x x x x F ，，……………………（4分） （2）因为X 大于6/π的概率为2/1)6/(1=-=πF p ，所以Y 服从)2
1
,4(b ，概率分布
律为 .4,3,2,1,0,21214}{4=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k k k X P k
k ………………（4分）
