2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．由直线12x =，x =2，曲线1
y x
=及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．
154
B ．174
C ．1ln 22
D ．2ln 2(2008宁夏理)
2．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B ) (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 （2009全国卷Ⅰ理）
3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2
1x
e x x ++ (211)
1
24x x <-+
(C)21cos 12x x -… (D)21
ln(1)8
x x x +-…
4．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（ ）（全国二文）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
5．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无 盖的盒子，盒子容积的最大值是 ．
6．已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为 （，6） ．（3分）
7．设函数()2
ln f x x x =+，若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为
y ax b =+，则a b += ．
8．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/
()f x ，满足/
()()f x f x <且
(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ▲ .
9． x t x y cos sin +=在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . t=1
10．在曲线10632
3
-++=x x x y 的切线中斜率最小的切线方程是____________.
三、解答题
11．已知函数2
()ln ,()f x x g x x bx c ==++
（1）若函数()()()h x f x g x =+是单调递增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当0b =时，两曲线(),()y f x y g x ==有公共点P ，设曲线(),()y f x y g x ==在点P 处的切线分别为12,,l l 若切线12,,l l 与x 轴围成一个等腰三角形，求P 的坐标。 关键字：对数；二次函数；已知单调性；求参数的取值范围；二倍角公式；已知公共点
12．设3()3x f x =，对任意实数t ，记2
32
()3
t g x t x t =-．
(I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；
(II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
(ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．（浙江理）
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． (I ）
13．已知函数3
()3f x x x =- (Ⅰ）求()f x 的单调区间；
(Ⅱ）求()f x 在区间[-3,2]上的最值．
14．设常数0a ≥，函数2
()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.
(1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； (2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；
(3）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+．
15．已知函数3
2
()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是
510y x =-。
（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1
()()3
g x f x mx =+
，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值. （2009四川卷文）（本小题满分12分）
16． 已知函数2
()(2ln ),(0)f x x a x a x
=-
+->，讨论()f x 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
17．已知函数x
x a x f 1
ln )(+
=． （1）当0>a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；
（2）当0>a 时，若0>∀x ，均有1)ln 2(≤-x ax ，求实数a 的取值范围； （3）若02
)
()(21x f x f +的大小．
18．已知函数f (x )=ln(x +a )-x 2
-x 在x = 0处取得极值．
(1)求实数a 的值； (2)若关于x 的方程，f (x )=b x +-2
5
在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；
(3)证明：对任意的正整数n ，不等式ln 21
1n
n n n +<+都成立．
19．设函数ln ()ln ln(1)1x
f x x x x
=
-+++． (Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；
(Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．（辽宁卷22）
本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．
20．已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
1
()()2f x g x >+；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
