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高等数学不定积分综合测试题上课讲义

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1
第四章测试题A 卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、函数2x为 的一个原函数.
2、已知一阶导数 2(())1fxdxx ，则(1)f=

3、若()arctanxfxdxxC，则1()dxfx=
4、已知()fx二阶导数()fx连续，则不定积分()xfxdx=
5、不定积分coscos()xxde=
二、选择题（每小题4分，共20分）
1、已知函数2(1)x为()fx的一个原函数，则下列函数中是()fx的原函数的是 [ ]
(A) 21x (B) 21x (C) 22xx (D) 22xx
2、已知 ()sinxxefxdxexC，则()fxdx= [ ]
(A) sinxC (B) cosxC
(C) cossinxxC (D) cossinxxC
3、若函数lnxx为()fx的一个原函数，则不定积分()xfxdx= [ ]
(A) 1lnxCx (B) 1lnxCx
(C) 12lnxCx (D) 12lnxCx
4、已知函数()fx在(,)内可导，且恒有()fx=0，又有(1)1f，则函数
()fx
= [ ]

(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x
5、若函数()fx的一个原函数为lnx，则一阶导数()fx= [ ]
2

(A) 1x (B) 21x (C) lnx (D) lnxx
三、解答题

1、（7分）计算 22(1)dxxx.
2、（7分）计算 1xdxe.
3、（7分）计算 321xdxx.
4、（7分）计算 254dxxx.
5、（8分）计算 65dxxx.
6、（7分）计算 23xxedx.
7、（8分）已知222(sin)costan01fxxxx ，求()fx.
8、（9分）计算 cosaxIebxdx.


3

第四章测试题B卷
一、填空题（20分）
1、不定积分(sin)dx .
2、已知()(),fxdxFxC则()()Fxfxdx .
3、若21(ln),2fxdxxC则()fxdx .
4、3(1)(1)xxdx .
5、2lnxdx .
二、选择题（25分）
1、若2(),fxdxxC则2(1)xfxdx [ ]

(A) 222(1)xC (B) 222(1)xC
(C) 221(1)2xC (D) 221(1)2xC
2、设()2,xfxdxxC则()fx [ ]

(A) 2ln22xxC (B) 2ln21x (C) 22ln2x (D) 22ln21x
3、11dxx [ ]
（A）ln1xC （B） ln(1)xC
（C）ln(1)xC （D）ln1xC

4、存在常数A、B、C，使得21(1)(2)dxxx [ ]
（A）2()12ABdxxx （B） 2()12AxBxdxxx
4

（C）2()12ABxCdxxx （D）2()12AxBdxxx
5、若xe在(,)上的不定积分是()FxC,则 [ ]
(A) ,0(),0xxeCxFxeCx (B) ,0()2,0xxeCxFxeCx

(C) ,0()2,0xxexFxex (D) ,0(),0xxexFxex
三、计算题（48分）
1、（7分）求积分2arccos2101xdxx. 2、（7分）求311dxxx.

3、（7分）2(1)dxxx. 4、（01，数二，8分）求22(21)1dxxx.
5、（8分）求积分1sincosdxxx. 6、（06，数二，11分）求arcsinxxedxe.
四、（7分）计算2lnsinsinxdxx
5

第四章测试题A卷答案
一、填空题

1、2ln2x 2、22 3、241124xxC 4、()()xfxfxC
5、cos(cos1)xexC
二、选择题
1、D 2、C 3、C 4、A 5、B
三、解答题
1、1arctanxCx 2、ln(1)xxeC 3、2211ln(1)22xxC

4、11ln34xCx 5、6666arctanxxC 6、2221()2xxxeeC

7、21()ln(1)2fxxxC 8、22(sincos)axebbxabxCab
第四章测试题B卷答案
一、填空题

1、sinxC 2、2()2FxC 3、xeC 4、335222353xxxxC
5、2ln2xxxC
二、选择题
1、C 2、C 3、D 4、C 5、C
三、计算题

1、2arccos1102ln10xC 2、3662131616ln(11)xxxxC
6

3、221ln.21xCx 4、2arctan()1xCx 5、ln1tan2xC
6、解: arcsinxxedxe2arcsinarcsin1xxxxxxxeedeeeedxe

2arcsin1xxxxeeedxe2arcsin1xxxxdeeee


secxte令
sectanarcsintanxxttdt
eet

arcsinsecxxeetdt

arcsinlnsectanxxeettC
2arcsinln1xxxxeeeeC


四、 2lnsinsinxdxxcotlnsincotxxxxC.

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高职课件《高等数学》第四章不定积分课件

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9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学 不定积分例题、思路和答案(超全)---精品管理资料

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第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4—11。

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法.思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1）思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解.解：532223x dx x C --==-+⎰★（2）dx⎰思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★（3）22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★（4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解:3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰★★（6)221x dx x +⎰思路：注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5）(6）两题的解题思路是一致的.一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分.★（7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路：分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★（8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

高等数学第四章不定积分习题知识讲解

高等数学第四章不定积分习题知识讲解

第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为dxx x d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。

（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。

（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。

高等数学第四章 第四节 不定积分 课件

高等数学第四章 第四节 不定积分 课件


例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2

4
A

4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2