2011深圳一模文科数学

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分50分．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D B C A D C B C C B

5. 数列(1)n是首项与公比均为1的等比数列.

6. ,aOPOQ利用平行四边形法则做出向量OPOQ，再平移即发现. .aFO

7．从振幅、最小正周期的大小入手：b的振幅最大，故b为()fx；a的最小正周期最大，故a为(),hx从而c为()gx.

8. 圆面222:()1Cxaya的圆心(,0)a在平面区域:24xy内,

则210(,1)(1,2).204aaa

9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列，若(2,3,1)P，则(1,2,3)Q.

10.画图即知:函数lnyx的图象与直线yx有唯一公共点(,),tt

eln().xxxxxt 故两个函数的所有次不动点之和()0.mtt

或利用函数lnyx的图象与函数exy的图象关于直线yx对称即得出答案.

二、填空题：本大题每小题5分；第14、15两小题中选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分)，满分20分．

11．25. 12．. 23 13．(108)2yx． 14．4． 15．23.

第13题写或不写100x都可以，写成如2108yx等均可.

11.每个个体被抽入样的概率均为100110000100，

在)3000,2500[内的频率为 230.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001＝25人.

12. 画出左(侧)视图如图,其面积为23.

13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293,

分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.naannn

14. 最长线段PQ即圆22(2)4xy的直径.

15. 根据射影定理得

222(43)(2)6,12.CBBDBABDBDBDCDADBD

三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分14分）

已知向量1 sin2a(，)与向量4 2cos52b(，)垂直，其中为第二象限角．

（1）求tan的值；

（2）在ABC中，abc，，分别为AB，，C所对的边，若2222bcabc，求tanA()的值．

【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识，以及运算求解能力.

解: (1) (1,sin)2a,4(,2cos),52bab

42sincos0,522ab即4sin.5……………………3分

为第二象限角,

23sin4cos1sin,tan.5cos3 ………………………6分

(2) 在ABC中,

2222,bcabc

2222cos.22bcaAbc …………………………………………9分

(0,π)A,

π,tan1,4AA ……………………11分 tantan1tan().1tantan7AAA ……………………14分

17．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，//ABCD，3CDAB，平面SAD平面ABCD，M是线段AD上一点，AMAB，DMDC，SMAD．

（1）证明：BM平面SMC；

（2）设三棱锥CSBM与四棱锥SABCD的体积分别为1V与V，求1VV的值．

【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

（1） 证明: 平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD,

SM平面SAD，SMAD

SM平面ABCD,„„„„„„„1分

BM平面,ABCD

.SMBM „„„„„„„2分

四边形ABCD是直角梯形，AB//CD,,AMAB,DMDC

,MABMDC都是等腰直角三角形,

45,90,.AMBCMFBMCBMCM………………4分

SM平面SMC，CM平面SMC，SMCMM,

BM平面SMC…………………………………………6分

（2） 解: 三棱锥CSBM与三棱锥SCBM的体积相等,

由( 1 ) 知SM平面ABCD,

得1113211()32SMBMCMVVSMABCDAD,……………………………………………9分

设,ABa由3CDAB,,AMAB,DMDC

得3,2,32,4,CDaBMaCMaADa

从而12323.(3)48VaaVaaa ……………………………12分 M S

D

C B A 18．（本小题满分14分）

已知函数313fxxaxb()，其中实数 ab，是常数．

（1）已知0 1 2a，，，0 1 2b，，，求事件A“10f()”发生的概率；

（2）若fx()是R上的奇函数，ga()是fx()在区间1 1，上的最小值，求当1a时ga()的解析式．

【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法，以及运算求解能力.

解：(1) 当0,1,2,0,1,2ab时，等可能发生的基本事件(,)ab共有9个：

(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，…………………………4分

其中事件A “1(1)03fab”，包含6个基本事件：

(00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， …………………………4分

故62()93PA．…………………………6分

答：事件“(1)0f”发生的概率23.………………7分

(2) 31(),3fxxaxb是R上的奇函数，得(0)0,0.fb………………8分

∴31(),3fxxax 2()fxxa, ………………………9分

① 当1a时，因为11x，所以()0fx，()fx在区间1,1上单调递减，

从而1()(1)3gafa；……………………11分

② 当1a时，因为11x，所以()0fx，()fx在区间1,1上单调递增，

从而1()(1)3gafa. ……………………13分

综上，知1,13().1,13aagaaa ……………………14分

19．（本题满分12分）

如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线A B C D

O

F E 段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识，考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法，以及将实际问题转化为数学问题的能力.

解法一：以O为原点，直线AD为y轴，

建立如图所示的直角坐标系，依题意

可设抛物线弧OC的方程为2(02)yaxx

∵点C的坐标为(2,1)，

∴221a，14a

故边缘线OC的方程为21(02)4yxx. ……4分

要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为21(,)(02)4Pttt，

∵12yx，

∴直线EF的的方程可表示为211()42yttxt，即21124ytxt，…………6分

由此可求得21(2,)4Ett，21(0,)4Ft.

∴2211|||(1)|144AFtt，2211|||()(1)|144BEtttt，…8分

设梯形ABEF的面积为()St，则

1()||||||2StABAFBE2211(1)(1)44ttt2122tt

2155(1)222t. ……………………………………………………………10分

∴当1t时，5().2St，

故()St的最大值为2.5. 此时||0.75,|AFBE.………11分

答：当0.75m,1.75mAFBE时，可使剩余的A B C D

O

F E

x y

P 直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m. ………………………………………………………………………12分

解法二：以A为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC的方程为21(02)yaxx

∵点C的坐标为(2,2)，

∴2212a，14a

故边缘线OC的方程

为211(02)4yxx. ………4分

要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为21(,1)(02)4Pttt，

∵12yx，

∴直线EF的的方程可表示为2111()42yttxt，即211124ytxt，…6分

由此可求得21(2,1)4Ett，21(0,1)4Ft.

∴21||14AFt，21||14BEtt，……………7分

设梯形ABEF的面积为()St，则

1()||||||2StABAFBE2211(1)(1)44ttt2122tt

2155(1)222t. ……………………………………………………………10分

∴当1t时，5().2St，

故()St的最大值为2.5. 此时||0.75,||1.75AFBE.………11分

答：当0.75m,1.75mAFBE时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m. ………………………………………………………………………12分